Читать книгу: «Алгебра. Основы», страница 5

11. Неравенства и их системы

11.1 Линейные неравенства

Линейные неравенства имеют вид \(ax + b < 0\). Решение осуществляется аналогично линейным уравнениям, но с учетом знака неравенства.

11.2 Квадратные неравенства

Квадратные неравенства решаются путем нахождения корней соответствующего квадратного уравнения и анализа знаков интервалов.

11.3 Системы неравенств

Системы неравенств решаются аналогично системам уравнений, и решение включает в себя пересечение решений отдельных неравенств.

-–

12. Прогрессии

12.1 Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Формула n-го члена:

\[

a_n = a_1 + (n-1)d

\]

где \(d\) – разность.

12.2 Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это последовательность, в которой отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно. Формула n-го члена:

\[

a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}

\]

где \(q\) – общее отношение.

12.3 Формулы суммы прогрессий

– Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[

S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

\]

– Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[

S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}, \quad q \neq 1

\]

-–

13. Комбинаторика

13.1 Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий методы подсчета и комбинирования объектов.

13.2 Перестановки и сочетания

– **Перестановка** – это расположение объектов в определенном порядке. Формула:

\[

P(n) = n!

\]

– **Сочетание** – это выбор объектов без учета порядка. Формула:

\[

C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

\]

13.3 Биномиальная теорема

Биномиальная теорема устанавливает связь между коэффициентами разложения \((a + b)^n\) и сочетаниями:

\[

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k

\]

-–