Читать книгу: «Алгебра. Основы», страница 2

1. Введение в алгебру

Алгебра – это раздел математики, изучающий операции над числами и переменными, а также их взаимосвязи. Алгебра стала основой для более сложных математических концепций и применяется в различных областях науки и техники.

1.1 История алгебры

Алгебра имеет долгую и богатую историю, начиная с древних цивилизаций, таких как вавилоняне и египтяне. С течением времени она развивалась, и в Средние века арабские ученые внесли значительный вклад в ее развитие. Современная алгебра основывается на работах таких математиков, как Аль-Хорезми и Декарт.

1.2 Основные понятия и термины

– **Переменные** – символы, представляющие числа.

– **Константы** – фиксированные значения.

– **Уравнения** – математические выражения, утверждающие равенство между двумя сторонами.

– **Функции** – отношения, связывающие входные и выходные значения.

-–

2. Числовые выражения

2.1 Натуральные числа

Натуральные числа – это числа, используемые для счета (1, 2, 3, …). Они не включают отрицательные числа и ноль.

2.2 Целые числа

Целые числа включают в себя все натуральные числа, их отрицательные значения и ноль (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

2.3 Рациональные и иррациональные числа

– **Рациональные числа** – это числа, которые можно выразить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) – целые числа, а \(b \neq 0\).

– **Иррациональные числа** – это числа, которые не могут быть выражены в виде простой дроби (например, \(\sqrt{2}\), \(\pi\)).

2.4 Действительные числа

Действительные числа включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Это все числа, существующие на числовой прямой.

-–

3. Многочлены

3.1 Определение многочлена

Многочлен – это выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, объединенных операциями сложения, вычитания и умножения. Пример: \(P(x) = 3x^2 + 2x – 5\).

3.2 Степень многочлена

Степень многочлена определяется как наибольшая степень его переменной. Например, степень многочлена \(3x^2 + 2x – 5\) равна 2.

3.3 Операции с многочленами

– **Сложение**: \(P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x – 5) + (2x^2 – x + 4) = 5x^2 + x – 1\)

– **Вычитание**: \(P(x) – Q(x) = (3x^2 + 2x – 5) – (2x^2 – x + 4) = x^2 + 3x – 9\)

– **Умножение**: \(P(x) \cdot Q(x) = (3x^2 + 2x)(2x – 1) = 6x^3 + 3x^2 – 2x\)

3.4 Деление многочленов

Деление многочленов выполняется с помощью деления в столбик. Пример: деление \(3x^2 + 2x – 5\) на \(x – 1\).

-–