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Capítulo 1

Desde dónde hablamos

La temática de este libro es el trabajo con la generalización en matemática a nivel de educación primaria. Tanto este recorte como la selección de aquello que analizamos y compartimos con el lector están atravesados por supuestos teóricos que requieren ser explicitados y refieren a la matemática y su enseñanza. Trazaremos algunas líneas que nos permitirán dar un marco sobre: el hacer matemático, el análisis didáctico como una herramienta docente, la idea de problema matemático, los contextos, entre otros.

Todos estos asuntos están permeados por una perspectiva epistemológica que iremos desarrollando. Algunas preguntas que abonan a nuestra perspectiva son ¿en qué consiste la matemática?, ¿para qué sirve?, ¿para qué enseñar matemática en la escuela? Creemos que la matemática es un producto cultural y social. Es cultural en tanto es resultado de la actividad humana y sus construcciones están condicionadas por las concepciones de la sociedad y del momento histórico en el que se desarrollan. Es social porque surge de la interacción entre individuos de una misma comunidad. Compartimos con Charlot (1986) que la actividad matemática refiere a crear, producir, fabricar y no a “mirar, ver y descubrir”. Es así que la matemática, su enseñanza y su aprendizaje, tiene que ver con la producción de ideas y no sobre el descubrimiento de las mismas. La posición que planteamos es que las ideas no están dadas, como sostenía Platón, sino que son fabricadas en un espacio y en un tiempo bajo ciertas condiciones de tal manera que son producto del pensamiento. Es decir que la matemática se hace, así como lo hacen los matemáticos en sus investigaciones, en el aula se produce matemática nueva para el sujeto que aprende y para esa comunidad clase. El autor sostiene:

“Hacer matemáticas es un trabajo del pensamiento que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.” Charlot (1986).

Esta mirada es la que nos invita a profundizar en el siguiente punto de lo que es el “hacer matemática”.

1.1. Hacer Matemática

La presencia de la matemática en la escuela responde a una necesidad social. Como individuos de una sociedad se hace necesario saber matemática para poder resolver y reconocer los problemas con los que nos encontramos, por lo que también es una necesidad individual.

Chevallard, Bosch y Gascón (2000), en el desarrollo de la teoría antropológica, enmarcan los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática como aspectos particulares del proceso de estudio de la matemática. Esto incluye tanto el trabajo que desarrolla el matemático, el profesor, el maestro, como el que realiza el alumno: los cuatro estudian problemas de la matemática.

Desde este lugar se concibe a la actividad matemática como una actividad de modelización.

Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo (matemático) de la realidad que queremos estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en este trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse, por lo tanto, con una actividad de modelización matemática (Chevallard, Bosch y Gascón, 2000: 51, cursivas en el original).

Esta actividad de modelización, es decir de construcción de modelos matemáticos para estudiar sistemas –en un contexto intra o extramatemático–, implica un hacer matemático. En ese hacer, al abordar un problema para resolverlo, se utilizan herramientas matemáticas que el individuo conoce y sabe usar. Pero puede suceder que no se cuente con esas herramientas, que sean instrumentos que ya existan pero no se conozcan. Es allí donde surge la necesidad de aprender –y, por ende, en la escuela, la actividad de enseñar– esas herramientas para estudiar ese sistema matemático. En ese proceso de aprendizaje, tanto matemáticos como docentes y alumnos crean matemática nueva. Dicho así, uno podría preguntarse qué crea el alumno si las ideas ya están creadas por la comunidad matemática, que es la que produce matemática. El que aprende crea matemática nueva para él en tanto miembro de una comunidad de clase. Ambos crean matemática en distintas comunidades.

Pensamos en un alumno que hace matemática, la crea. ¿Cuál es el mejor escenario para que esto ocurra, para que un alumno cree matemática?

La teoría de las situaciones didácticas, cuyo expositor es Guy Brousseau, propone un enfoque que pone el énfasis, entre otras cuestiones, en las interacciones sociales que se dan en el aula entre alumnos, docentes y saberes matemáticos en la construcción del conocimiento. Estas interacciones condicionan los aprendizajes de los alumnos, qué aprenden y cómo lo aprenden. En este sentido, Brousseau afirma:

No se trata solo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera los fundamentos de una cultura científica; las matemáticas en este nivel son el primer dominio en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad (1991: 19).

Esto implica generar un ámbito que los ponga en contacto con un hacer propio de la disciplina que tiene que ver con la construcción de ideas, y también con la construcción de ese hacer. El hacer es algo que se aprende. Explorar, anticipar, conjeturar, validar, leer y escribir forman parte del aprendizaje de ese hacer. Entre estos haceres, leer, escribir, conjeturar y validar tienen un lugar protagónico en el proceso de generalización, asunto que desarrollaremos en el capítulo 2.

Para seguir avanzando en lo que implica hacer matemática para el alumno, es necesario puntualizar las características de su objeto de estudio. La matemática como disciplina estudia objetos y relaciones cuya naturaleza no es material: no existen en la realidad, son objetos ideales. De ahí la imposibilidad de actuar directamente sobre ellos: lo hacemos sobre sus representaciones. Leer y escribir en matemática implica poder interpretar y producir distintos tipos de registros de representación semiótica, concepto desarrollado por Raymond Duval (1999a) y que por ser una cuestión estructurante será ampliado en el capítulo 3 «De las representaciones».

Consideraremos a la conjetura como la elaboración de una afirmación que se supone cierta pero que no ha sido probada o refutada. Esta elaboración está asociada en primer lugar con lo que la persona conoce de esos objetos, sus relaciones y sus funciones, los saberes que tiene disponibles. En segundo lugar, se vincula con la información que pueda extraer de la representación de ese objeto matemático, cualquiera sea su registro, esto es, de lo que pueda interpretar (leer). En tercer lugar, puede influir la capacidad de visualización que tenga el individuo. La visualización como proceso cognitivo requiere de la transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus representaciones hacia algún tipo de representación visual y viceversa (Torregrosa y Quesada, 2007). Por último, involucra la identificación de patrones o regularidades que serán formuladas para uno mismo o para comunicar a otros.

Estos elementos aparecen cuando el sujeto, que está elaborando una conjetura, explora de manera diversa. La búsqueda, la exploración, el probar con diferentes casos es parte del proceso de construcción de una conjetura. Dentro del modelo epistemológico cuasiempírico de la matemática, sostiene Gascón (2001), citando a Lakatos, que cuando se está en un período de desarrollo de teorías matemáticas, estas son informales. Es en esa etapa de teorías informales donde se estudian los problemas más interesantes tanto desde el punto de vista epistemológicos como histórico. En ellos se analizan los bordes de las ideas, las rupturas con respecto a lo que ya existe, se abona a la diferenciación entre varios conceptos. Se exploran los límites de validez de las ideas matemáticas en juego. Podemos comparar este proceso de la construcción de teorías matemáticas con la situación del sujeto que está aprendiendo. De alguna manera, está en posición de explorar los problemas, las ideas matemáticas que subyacen, los límites de estas, cuándo, dónde y cómo funcionan; aunque estas ideas y problemas no sean nuevos para la matemática.

¿Cuándo una conjetura deja de serlo?

Una conjetura deja de serlo cuando a través de la validación se determina si es verdadera o falsa (su valor de verdad). La validación es un proceso de control que implica someter a prueba una conjetura para determinar su carácter de verdad o falsedad. Nicolás Balacheff (1987) distingue dos tipos de pruebas:

• Pruebas pragmáticas: están vinculadas a la acción y a la experiencia. Se dan en un momento determinado (temporalizadas), son contextualizadas pues están asociadas a la situación.

• Pruebas intelectuales: quien las produce toma distancia de la acción, son despersonalizadas. Se desvinculan del contexto particular en el que se produjeron, son descontextualizadas. No se asocian a un tiempo en particular, son destemporalizadas. La demostración es una prueba intelectual particular que no vive en el ciclo escolar.

Estos tipos de pruebas no son etapas consecutivas, pueden coexistir en una clase y en una misma persona. A medida que las pruebas se producen van apareciendo razones matemáticas que comienzan a tener un lugar preponderante en la elaboración de explicaciones. Siguiendo a Balacheff (2000), el paso de la explicación a la prueba viene dada cuando una explicación es reconocida y aceptada por una comunidad, esta comunidad puede ser el aula. Es así que el pasaje de la explicación a la prueba es un proceso social.

1.2. ¿Cuándo se ponen en acto estos haceres?

Cuando el alumno se enfrenta a un problema. Resulta oportuno precisar qué se entiende por problema. El problema es fuente, lugar y criterio de elaboración del saber (Charnay, 1994). Este debe permitir al alumno utilizar los conocimientos que tiene construidos y así poder interactuar con el problema. Debe ofrecer una resistencia suficiente para que esos conocimientos no le alcancen, de manera de llevar al alumno a hacer evolucionar y cuestionar los conocimientos construidos. Por último, la validación debe venir de la situación misma y no ser el maestro el que «sancione» si esa resolución es correcta o no.¹ De esta manera, son los problemas los que dan sentido a los conceptos construidos.

Si se tienen las herramientas y la situación no ofrece resistencia, o no se tienen los conocimientos disponibles para interactuar con el problema o la situación está muy alejada de los conocimientos que se dispone, esa situación no constituye un problema para el alumno. Hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema a resolver.

Muchas veces conocer cuáles son las herramientas y conocimientos que posee el estudiante se transforma en una situación de incertidumbre para el docente, se entra en un terreno que no se puede “controlar” del todo. Žižek (2018) propone considerar la incertidumbre de la relación entre lo conocido y lo desconocido. Podemos teorizar sobre la construcción de relaciones entre conocido/desconocido y todas sus combinaciones.

Las relaciones en juego son entre:

 “conocido/conocido”, denota lo que sabemos que sabemos;

 “desconocido/conocido”, identifica lo que sabemos que no sabemos;

 “conocido/desconocido”, establece lo que no sabemos que sabemos;

 “desconocido/desconocido”, relaciona lo que no sabemos que no sabemos.

Estas relaciones se juegan siempre para todo sujeto en posición de pensar, aprender, interactuar con otros, resolver problemas, entre otras acciones. Parecería que para el sujeto que aprende la situación “más compleja” es la que implica la relación desconocido/desconocido. Sin embargo, para Žižek lo conocido/desconocido - los conceptos que no sabemos que sabemos-, sería la situación crucial, en el entendido que se estaría aún en un proceso de transformación sin identificar lo que conocemos y por eso no sabemos que lo usamos. Este desconocimiento del saber hace que a veces no se puedan abordar, en términos de resolución de problemas, las herramientas, ideas o conceptos necesarios para atrapar la solución del mismo. Cuando se está en situación de resolver un problema, al buscar en nuestra caja de herramientas, identificamos aquellos conocimientos que sabemos que sabemos (conocido/conocido). No es posible buscar algo que no sabemos que sabemos (lo conocido/desconocido), valga el juego de palabras.

Es así que se vuelve esencial que el maestro esté al tanto de los conocimientos disponibles con los que cuentan los alumnos para poder seleccionar o diseñar las situaciones que representarán verdaderos problemas. Sin duda, la teoría de las situaciones didácticas en la fase de institucionalización vuelve relevante el nombrar desde lo matemático los conceptos, ideas, herramientas, técnicas que han circulado y se han construído en el aula. Al hablar de nombrar, no es solo dar el nombre, también es establecer las relaciones, identificarlas y analizar el marco dentro del cual han servido para la construcción de nuevas ideas. En este proceso lo conocido/desconocido, se vuelve conocido/conocido.

1.3. Una herramienta de intervención: el análisis didáctico

Un escenario que favorezca la puesta en juego del hacer matemático es posible con la intención de un docente que considere este hacer como parte estructurante del desarrollo de una racionalidad matemática.

Una mirada sobre las interacciones que se dan en el aula en torno a un cierto saber nos permite distinguir aquellas que se dan entre el alumno y el problema, entre los alumnos, entre alumnos y docente, y entre el docente y el saber. Esta última se materializa a través de lo que el maestro selecciona como objeto de enseñanza, la secuencia que elabora, los problemas que decide proponer a sus alumnos, la puesta en aula de estas situaciones, los recortes que realiza.

Entendemos por intervención docente a todas aquellas decisiones que el docente toma para que estas interacciones sucedan y tienen consecuencias sobre aquello que quiere enseñar y promover en su grupo. Por lo tanto, estas intervenciones comienzan a tener lugar antes de la implementación de la secuencia en el aula.

El análisis didáctico, desde la teoría de las situaciones de Brousseau (1986), es una herramienta que le permite al docente seleccionar, analizar, prever, es decir planificar las intervenciones más oportunas para enseñar.

En el marco de la planificación de una secuencia de enseñanza, el análisis didáctico contempla lo referido a: el estudio del contenido matemático, las relaciones de este contenido con otros, el recorte del aspecto del contenido que se pretende abordar, así como la selección o construcción de las situaciones más potentes para trabajar con los alumnos en el abordaje de ese contenido. El análisis didáctico del contenido pone en situación al docente con la necesidad de rastrear cuestiones relativas a la apropiación por parte de los alumnos de las nociones que subyacen a ese contenido y a identificar las competencias matemáticas que se pretende promover.

La selección de las actividades y el análisis de la consigna son otra categoría fundamental en el proceso de planificación. Pensando en los ejes que nos convocan –geometría y aritmética–, seleccionar las figuras, el dominio numérico, el tipo de representación en el que se presentarán los datos, los instrumentos que se habilitarán o no, resultará determinante en lo que los alumnos desplieguen, pues se vincula directamente con los conocimientos que se pretende circulen. Estos elementos se asocian con las categorías de Žižek desarrolladas anteriormente: la relación entre lo conocido/desconocido y todas sus formulaciones.

Cabe precisar la diferencia entre tarea y actividad. Cuando nos referimos a tarea estamos pensando en lo que le implica al alumno cognitivamente el enfrentarse a esa situación, por ejemplo: relacionar, inferir, identificar, clasificar, categorizar, generalizar, etc. La actividad que se le proponga le va a demandar al alumno ciertas tareas cognitivas.

Es necesario que el docente realice la actividad que va a proponer para poder identificar las tareas cognitivas que esa actividad demanda al alumno.

Esto permite al docente pensar las posibles respuestas (o procedimientos) de los alumnos, los conocimientos puestos en juego y los que requieren para el abordaje de ese problema.

¿Por qué es importante prever estos aspectos?

Porque sobre la base de ellos es que el docente toma decisiones. Nos apoyamos en Philippe Perrenoud (2004), quien profundiza sobre el desarrollo de competencias profesionales para enseñar. De sus aportes nos interesa destacar algunos que se vinculan con el recorte que en este libro proponemos en los capítulos 4 y 5.

Describe un docente que pueda desarrollar la capacidad de:

 organizar y animar situaciones de aprendizaje;

 gestionar la progresión de los aprendizajes;

 elaborar y hacer evolucionar dispositivos de diferenciación;

 implicar a los alumnos en sus aprendizajes y su trabajo.

Detengámonos en las posibles intervenciones en la puesta en común. Este es un espacio colectivo en el que se privilegia la circulación de aquellas relaciones, respuestas, conclusiones, procedimientos que circularon –en el espacio en el que el alumno interactúa con el problema– y que el docente selecciona para que esas ideas se difundan, se construyan nuevas, se revisen otras, se amplíen o delimiten los alcances de una regla, etcétera.

Patricia Sadovsky y Paola Tarasow (2013) analizan la gestión de la puesta en común que realiza un docente, destacando características que hacen al desarrollo de las competencias de Perrenoud. Se describe a un docente que dé estatus de conocimiento a las distintas producciones de los niños y las coloque como objeto de discusión, que asuma la responsabilidad de que los alumnos «entren» en conciencia frente a una contradicción y finalmente construyan el carácter no contradictorio de las relaciones matemáticas. Esto último da cuenta de un saber construido por el maestro: «la contradicción es fuente de un desequilibrio cuya compensación devendrá en la producción de nuevo conocimiento para todos» (Sadovsky y Tarasow, 2013: 228).

A partir de estas consideraciones estamos en condiciones de pensar cuáles pueden ser posibles intervenciones docentes en la puesta en común que aporten al desarrollo de un espacio donde se cree matemática nueva para esa comunidad. La planificación de esas intervenciones, pensadas como hipótesis de trabajo, podrán dirigirse a:

 exigir más precisión, enriquecer, ampliar una explicación verbal, expandir una idea;

 seleccionar ideas relevantes que configuran la complejidad de lo que se está construyendo –de aquí la importancia de prever y conocer las posibles ideas que vayan a circular y que el docente identifique como relevantes–;

 apoyar la comprensión de una estrategia y verbalizarla;

 hacer una síntesis para seguir avanzando;

 plantear el alcance de las proposiciones;

 proponer un contraejemplo;

 generalizar un método, una idea o regla para difundirla, teniendo presente el cuidado respecto al carácter general de lo establecido para un caso particular, aspecto que desarrollaremos más adelante.

De igual manera, las intervenciones planificadas del maestro aportan a generalizar tipos de problemas, a «empaquetar» situaciones similares o condiciones similares, con el fin de arribar a conclusiones del estilo: «Estos problemas se parecen en...», «Con estos puedo resolver...», «Con estos no puedo resolver...». Esta forma de organizar la clase y las tareas para los alumnos habilita a espacios para la construcción de modelos matemáticos, conjuntos de problemas, ideas matemáticas que los unen y los diferencian con otros, establecer limitaciones, etcétera.

1.4. La lectura y la escritura en clase de matemática

La lectura y la escritura son haceres transversales a los procesos de enseñanza y aprendizaje, que se ponen en juego en una actividad matemática. Estos haceres surgen como necesidad, sostienen y dan continuidad al propio proceso. Como afirma Damisa, «Muchas veces, para poder profundizar alguna de esas acciones, necesitamos registrarlas de alguna manera y ahí es donde puede tener entrada la lectura y la escritura en Matemática» (2018: 46). En este marco, leer y escribir implica poder interpretar y producir distintos tipos de registros.²

La escritura es objeto y herramienta que posibilita volver sobre ella, ampliar, revisar y transformar ideas. En palabras de Jorge Larrosa: «pensar es una de las formas en las que a veces se da la escritura, y escribir es una de las formas en las que a veces se da el pensamiento» (2014: 197). Esto es más que un juego de palabras. El papel de la escritura en la comunidad de clase, en instancias individuales y también colectivas, pone al alumno en diálogo con sus ideas. A su vez, esas ideas funcionan como lentes con los que va a interpretar los problemas matemáticos.

El hacer matemático, considerado como objeto de trabajo y como estructurador de la actividad matemática que proponemos en la comunidad de clase, está atravesado por una concepción que implica el desarrollo de competencias matemáticas en los alumnos, producto y proceso de ese hacer.

¿Qué significa tener competencia matemática? En palabras de Mogens Niss, «Tener competencia matemática significa: poseer habilidad para comprender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos intra y extramatemáticos y situaciones en las que las matemáticas juegan o pueden tener un protagonismo» (1999, citado por González Marí, 2004: 13).

Esta competencia se adquiere y se desarrolla a lo largo del tiempo, no termina en el ciclo escolar ni su desarrollo es espontáneo. Usar distintas formas de pensamiento o de elegir un modelo matemático en función de la situación y el contexto son capacidades que marcan metas a largo plazo y su desarrollo responde a ciclos formativos más amplios.

Dentro de las competencias matemáticas nos interesa focalizarnos en la competencia lingüística o comunicativa, que implica comprender y producir textos que usen el código y el lenguaje matemático y obviamente el lenguaje natural al decir de Duval. Esta interpretación y producción de textos matemáticos da cuenta de los razonamientos seguidos por los alumnos que ayudan a formalizar su pensamiento.

1.5. Los Contextos

Al buscar el significado de la palabra contexto en el Diccionario de la Real Academia, encontramos que deriva del término en latín contextus. Aparecen cuatro acepciones del término:

1 Entorno lingüístico del que depende el sentido de una palabra, frase o fragmento determinados.

2 Entorno físico o de situación, político, histórico, cultural o de cualquier otra índole, en el que se considera un hecho.

3 Trabazón, composición o contenido de una historia o discurso.

4 Enredo, maraña o unión de cosas que se enlazan y entretejen.

De los aportes de Gómez Chacón (1998), nos resulta interesante poner foco en la última acepción que sostiene “unión de cosas que se enlazan y entretejen”. Esas “cosas” al enlazarse y entretejerse ayudan a la construcción de sentido y generan un todo. En la enseñanza y el aprendizaje de la matemática los enlaces y entretejidos adquieren relevancia al considerar, como hemos mencionado anteriormente, las conceptualizaciones, los modelos, las ideas matemáticas que se construyen, cómo reconocerlas, usarlas y comunicarlas, cuándo usarlas, etc.

Habitualmente cuando se habla de contextos se alude solamente a la idea de cómo está situada la actividad que se propone. Es decir el conjunto de problemas a resolver, el contexto de un proyecto, si el contexto es intramatemático o extramatemático (incluyendo en estos últimos los problemas de enunciados que sitúan una vinculación con la llamada “vida cotidiana”). Dentro de la institución escolar parece que la vida cotidiana tuviese cabida solamente cuando se invita al alumno a resolver problemas que aparentan ser “cotidianos”, pero que muchas veces no tienen vínculo con la realidad del alumno. No necesariamente los modelos matemáticos que se construyen con la resolución de problemas del tipo “en la feria gasto…”, tienen un correlato con la vida cotidiana.

“Todas las tareas están socialmente situadas, pero el contexto de la tarea es consecuencia de la construcción y de la respuesta del individuo” (Goméz Chacón, 1998, p.28)

La cita anterior nos plantea que el contexto de la tarea es producto de la interrelación del sujeto con la situación que se le propone y la construcción de su respuesta al mismo. Es el sujeto inmerso en la resolución, que provee de sentido a la situación, y de esa forma construye contexto para que el enlace y entretejido de las relaciones y conceptos matemáticos se produzcan. El contexto se construye. Desde esta perspectiva consideramos que los contextos forman parte de una interacción entre la situación planteada, las experiencias de los sujetos y las percepciones del ambiente de clase. En este sentido, los contextos no deben verse solo como elementos motivadores.

Notas al pie

1. Esto no implica que el maestro no tenga que intervenir o asumir decisiones para hacer avanzar ese conocimiento, acabado o no.

2. Aspecto que se articula en el capítulo 3.

Capítulo 2

Generalización proceso y producto

Sospecho, sin embargo, que no era muy capaz de pensar. Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer. En el abarrotado mundo de Funes no había sino detalles, casi inmediatos.

Jorge Luis Borges, Funes el memorioso

¿Se generaliza en la escuela? Si es así, ¿cómo se generaliza? ¿Por qué es importante generalizar en matemática? Estas son algunas preguntas que nos han motivado a escribir acerca del proceso de generalización a lo largo de la escolarización primaria.

Todas las personas tienden a generalizar, la generalización aparece en distintas situaciones de la vida cotidiana. Gracias a la generalización podemos codificar y organizar gran cantidad de información que nos permite actuar sin la necesidad de pensar cada vez que nos enfrentamos a algo. Analicemos una situación cotidiana. Para abrir una canilla y que circule agua fría no es necesario pensar cuál de los comandos girar. A partir de una construcción basada en la experiencia sabemos, sin pensarlo, que debemos abrir el comando de la derecha para obtener agua fría. A su vez, el agua fría se asocia con un color, el azul. Podemos pensar que para un niño el color ayuda a identificar la temperatura del agua y que le permite crear así una posible regla: «El azul indica agua fría». A partir de allí se va sistematizando ese dato y se pueden encontrar nuevas regularidades como «La canilla azul siempre está a la derecha». De este proceso se puede construir un tipo de generalización: «La canilla del agua fría está a la derecha». Esta propiedad está disponible en otros contextos, como en un dispensador de agua. Con este ejemplo podemos visualizar que estas reglas sirven para automatizar situaciones de la vida cotidiana que nos permiten empaquetar ideas bajo ciertas etiquetas y elaborar categorías. Imaginemos por un instante cómo sería vivir sin poder omitir lo común, sin poder olvidar las diferencias: viviríamos cada situación como única. Recordaríamos cada detalle como Funes el Memorioso, viviendo en un mundo abarrotado de detalles inmediatos. Todo sería inédito, siempre distinto; habría que disponer de una memoria infinita y estaríamos sujetos a ella.

2.1. ¿Qué representa la generalización en matemática?

Al igual que con el ejemplo de la canilla de agua fría, podemos encontrar generalizaciones de este tipo en matemática. Estas generalizaciones se desprenden a partir del reconocimiento de características de un conjunto de objetos en el cual podemos identificar regularidades y establecer una regla para ellos. Por ejemplo, en todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa¹ es igual a la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo. Es la regla que Pitágoras establece con su teorema para cualquier triángulo rectángulo. También para este caso se cumple la proposición recíproca: si en un triángulo la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al cuadrado del tercero entonces el triángulo es rectángulo. Hemos presentado la proposición recíproca del Teorema de Pitágoras como forma de evidenciar que a veces, a partir de una generalización surge otra, en este caso su recíproca.

Otro tipo de generalizaciones surge a partir de otras leyes y permiten dar un salto cualitativo sobre lo ya construido para ampliar proposiciones, como veremos a continuación. Es importante destacar que cada una exige acciones cognitivas y estrategias distintas para su desarrollo.

En matemática, la generalización es una forma de construir el conocimiento que permite la elaboración de leyes generales, reglas o propiedades que se dan en un grupo de objetos matemáticos bajo ciertas condiciones.

Según John Mason et al. (1999), la generalización es la esencia, el corazón de la matemática, que a lo largo de la historia ha sido sustento para la construcción de conocimiento en la comunidad de matemáticos profesionales. Se elaboran reglas generales sobre las cuales se construye nuevo conocimiento matemático.

Veamos un ejemplo de la Antigüedad, donde Euclides, en su Libro II de los Elementos, plantea una nueva generalización del teorema de Pitágoras. Recordemos primero lo que decía Pitágoras con su teorema:

Figura 1

La proposición de la generalización de Euclides afirma que si sobre los lados de un triángulo rectángulo se construyen figuras semejantes (que conservan su forma y tienen distinto tamaño), se cumple que la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos es igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa del triángulo, como se muestra en la figura 2.

Figura 2. (Extraído de Dalcín y Olave, 2012)

Figura 3

La generalización de Euclides pone en relevancia que al construir cualquier figura semejante sobre los lados del triángulo se sigue manteniendo la validez del teorema de Pitágoras. Veamos, según indica la figura 2, que si ABC es un triángulo rectángulo y F, F’ y F’’ son figuras semejantes construidas sobre los lados del triángulo, entonces la suma de las áreas de las figuras F’ y F’’ es igual al área de la figura F. Lo mismo sucede con las semicircunferencias de la figura 3. Lo que Euclides hace es ampliar la proposición del teorema de Pitágoras para otras figuras que se construyan sobre los lados del triángulo rectángulo bajo la condición de que sean semejantes. Sobre la regla que hizo Pitágoras se producen otras generalizaciones.