Читать книгу: «Тригонометрический зоопарк», страница 2

Зоопарк тригонометрических функций ○

Тригонометрические функции, они же «главные герои» тригонометрии, измеряют отношения сторон в треугольнике, но их влияние простирается гораздо дальше. Эти функции, вроде синуса и косинуса, помогают находить углы и длины сторон. Изначально их можно ввести в треугольнике.

Синус и косинус можно также представить как координаты точки на единичной окружности. Но мы расширяем горизонты.

Как только всё становится более-менее понятно, математики решают добавить ещё больше веселья. Возникают гиперболические функции: гиперболический синус (sh) и гиперболический косинус (ch). Они работают подобно обычным синусу и косинусу, но вместо окружности используются гиперболы. Потом естественно возникает соблазн расширить сиё понятие на остальные конические сечения – параболу, эллипс. Здесь начинается настоящая магия. Вводятся такие чудеса как лемнискатные функции, которые являются «гибридами» тригонометрических и гиперболических функций. Или, например, функция Гудермана, которая связует обычные тригонометрические функции с гиперболическими.

Но каков же тогда критерий тригонометричности?

Настоящие тригонометрические функции обязаны, как минимум, быть связаны с углами и длинами сторон, но не обязательно только в треугольнике. Всё, что вытекает из тригонометрических отношений и может быть выражено через углы, попадает в этот клуб.

И вот так, из простого измерения тени гномона, тригонометрия превратилась в сложнейшую науку с множеством функций и приложений. Так что, готовьтесь к увлекательному путешествию по её лабиринтам! Мы рассмотрим все известные на данный момент тригонометрические функции на треугольнике, окружности и так далее.. Ворота зоопарка открываются!

Синус sin

Синус – это тот самый парень, с которого начинается вся тригонометрия. Представьте, древние математики, тыча пальцем в треугольник, вдруг осознают, что отношения сторон могут быть полезными, и вот вам – синус!

Сначала синус представлялся как отношение противолежащей стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Но потом его нашли на единичной окружности. И там синус – это просто координата 𝑦 y точки на окружности, соответствующей углу α

Происхождение сегодняшнего названия было долгим и полным приключений: Окончательное название «синус» произошло из латинского «sinus», что переводится как «изгиб» или «залива». Однако, всё началось с санскритского термина «джья» (च्), который арабские учёные превратили в «джиба» (جب). Европейцы, видимо, решили, что это слишком скучно, прочитали транскрипцию коряво и назвали его «sinus».

В обычной жизни синус появляется в самых неожиданных местах: от квантовой физики до анализа музыкальных волн.

Итак, синус – это не просто математическая функция, это целый культурный феномен, переживший века и трансформации, чтобы стать фундаментальной частью математики и науки в целом.

На единичной окружности синус можно отмерить и изобразить так

Представьте круг радиусом 1 (да, именно единичный). Берём точку на окружности, соответствующую какому-нибудь углу. Теперь проецируем её на ось y. Ба-бах! Это и есть ваш синус. Да-да, высота от оси x до точки на окружности – это ваш драгоценный синус. Удивительно просто, а как звучит! Любые волны – это модифицированная версия синуса.

Как же из нашей прекрасной единичной окружности рождается синусовая волна? Сначала давайте поймём, что наш угол в радианах (не забываем, единичная окружность) будет гулять по оси x от 0 до 2π. Теперь берём и раскручиваем угол, а точнее его проекцию на ось y. Процесс следующий: Стартуем с угла 0: синус тоже 0. Продвигаемся к π/2: синус растёт до 1. Двигаемся к π: синус обратно падает до 0. Дальше к 3π/2: синус сползает до -1. И наконец, возвращаемся к 2π: синус опять становится 0. Теперь вы разворачиваете эту всю красоту на плоскость, и у вас появляется волна. Да, волна из кружочка! И получается она вот так: перемещая точку по окружности, вы замечаете, как проекция на ось y колеблется вверх-вниз. Эти колебания и образуют синусоидальную волну на графике. Синус – это не просто функция, это целый ритуал превращения углов в волны.

Так круг разматывается в бесконечную волну

Для построения четырёхмерных графиков в комплексной плоскости будем пользоваться такой раскраской аргумента.

Для построения четырёхмерного графика синуса в комплексной плоскости будем пользоваться такой раскраской аргумента.

Истинный синус в истинных числах

Интеллектуальное большинство рассматривает функции в основном только на прямой вещественных чисел. Но мы то с вами знаем, что это слишком ограниченный взгляд. Поэтому для полноты картины, будем так же приводить графики тригонометрических функций в настоящих, комплексных числах. Кстати, комплексные числа можно считать последним расширением человеческой числовой системы. Это вполне оправданно, ибо дальнейшее (кватернионы, седенеоны, октавы,…) логичнее называть числоподобными объектами, так как они теряют многое, присущее числам (коммутативность, и ассоциативность в ещё более запущенном случае). Более того, оказалось, что комплексные числа реальнее чем те, которыми читатель считает сдачу в магазине.

Мы можем изображать четырёхмерный мир на плоскости, благодаря методу раскраски области определения функции. В этом случае модуль комплексного числа отображается «светлостью»: чёрное – ноль, белое – бесконечность. Аргумент комплексных чисел от 0 до 2π задаём цветами радуги, что на самом деле можно сделать в разном порядке цветов. Поэтому, изображая четырёхмерные миры, не забывайте утруждать себя демонстрацией исходной вашей палитры цветов соответствующей аргументам.

Функцию синуса можно легко разложить в ряд Маклорена и использовать для подсчёта его значений со сколь угодно заданной точностью

Говоря о тригонометрических функциях, нельзя не сказать и об обратных к ним. Арк-функции, или обратные тригонометрические функции, – это те же самые объекты, только задом наперёд. Как это работает? Очень просто: если тригонометрическая функция переводит угол в значение, то арк-функция берёт это значение и возвращает угол.

Название «арк» пришло не из цирка, а из латинского слова «arcus», что значит «дуга». Потому что арк-функции возвращают угол, который соответствует данной дуге на окружности. Например, арк-синус arcsin говорит: «Эй, синус, давай мне угол, который даёт такое значение на окружности».

Почему это важно? Арк-функции используются в куче математических задач, где нужно найти исходный угол по известному значению тригонометрической функции. Без них геометрия и тригонометрия были бы намного сложнее.

Так что, когда вы видите приставку «арк», знайте: это просто функция, которая берёт значение и возвращает угол. И помните: в мире тригонометрии всё всегда возвращается к кругу.

Арк-функции на тригонометрическом круге живут здесь, на поверхности круга.

Ряд Маклорена тоже имеется

Перевёрнутый обрубок графика синуса, но можно было определить арксинус и иначе.

Комплексный арксинус, вроде не имеет особенностей, но его производная имеет полюс!

Строим график обратной функции арксинуса мы стандартным образом: Берём наш старый добрый график функции, и отражаем его относительно прямой y=x. Вуаля, график обратной функции готов! Это общий принцип обращения монотонных функций. Но так как синус синусоидален не монотонен, то приходится сталкиваться с необходимостью выбрать один вариант из бесконечного числа возможных воплощений арксинуса. Теоретически его можно было задать разместив вертикальный изгиб, хоть на высоте 500π, но решили не усложнять жизнь и взяли обрубок вокруг ноля. Почему? Да потому что так удобнее и понятнее! Чтобы построить наш график, берём кусок синуса, где он монотонный (то есть, без всяких загибов), и отражаем относительно диагонали y=x. В результате получается график, который растёт ровно там, где нужно, и не делает лишних телодвижений.

Для арксинуса обычно берут кусок синуса от —π/2 до π/2. Потому что на этом промежутке синус ведёт себя прилично, и это покрывает все значения от —1 до 1.

Для исчерпывающего описания тригонометрических функций нашего зоопарка, мы в дальнейшем так же будем приводить их место на тригонометрчиеском круге (если это возможно), происхождение названия, обратную функцию, их вещественный и комплексный 4-х мерный график с рядами Тейлора для удобного вычисления. XXI век всё таки на дворе, и даже реликтовые функции, которые вычислялись ранее с помощью умножения в столбик и таблиц, сейчас, в новой жизни получили удобный способ вычисления в виде бесконечных рядов. Так что готовьтесь, будет весело и познавательно!

Косинус cos

Рассмотрев синус, мы уже познакомились с ещё одним типом функций – арк-функциями. Следующий наш экспонат, одновременно представляет ещё один тип тригонометрических сущностей – ко-функций. Приставка co происходит от латинского complementary, означающего дополнительный. Дело в том, что первично синус рассматривается как отношение противолежащего к углу катета (того что напротив) к гипотенузе. Соответственно в треугольнике, у которого один угол прямой, а другой мы рассматриваем как основной, логично оставшийся третий назвать дополнительным. Тогда можно рассмотреть синус дополнительного угла. Его то и называют ко-синусом. Но если же плясать от основного рассматриваемого угла, то можно определить косинус, как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Такие дела. Аналогичным образом будут определяться практически все остальные ко-функции в нашем зоопарке, хотя будут и исключения.

Если синус – это высота точки на единичной окружности, то косинус – это её горизонтальная проекция. Фишка в том, что синус и косинус на самом деле – это просто фазы одной и той же функции. Смещение фазы на 90 градусов (или π/2 радиан) превращает синус в косинус и наоборот. Эта простота и симметрия делают их незаменимыми в математике и физике. Наконец, теперь мы можем начать выражать одни тригонометрические функции через другие:

cos α = sin (π/2 – α)

Есть у косинуса и обратная функция – арккосинус. И для её определения тоже приходится делать выбор из бесконечного числа вариантов.

Арккосинус – это та штука, которая любит выглядеть загадочно и сложно, но на самом деле он просто брат арксинуса. Вот представьте, что арккосинус стоит перед зеркалом и видит арксинус. Почему так? Потому что они связаны через π/2. Всё благодаря нашему старому другу, треугольнику. Если у вас есть угол θ, то его косинус – это просто синус угла (π/2 – θ). И наоборот.

Арккосинус выбирается на интервале от 0 до π, чтобы оставаться функцией, т.е. принимать одно значение для каждого аргумента. И в отличие от арксинуса, который прыгает в диапазоне от

-π/2 до π/2, арккосинус решил обитать в более спокойных водах.

Почему они в сумме дают π/2? Потому что арксинус и арккосинус – это два лица одного треугольника. Сумма их углов всегда будет π/2. Если синус измеряет вертикальную часть, то косинус измеряет горизонтальную. Таким образом, если вы знаете арксинус, вы всегда можете найти арккосинус, вычтя его из π/2. Вот такая простая, но гениальная тригонометрическая магия.

Так что, когда в следующий раз вы будете ломать голову над арккосинусом, просто помните: это всего лишь арксинус, смотрящий на себя в зеркало.

Просинус prosin

Встречайте первую устаревшую функцию из нашего зоопарка! Просинус prosinus является отношением высоты проведённой из прямого угла к гипотенузе к этой самой гипотенузе. Данную функцию можно так же выразить как просто произведение синуса на косинус. То есть:

prosin α = sin α cos α

Интересно сгинувшее в тьме веков происхождение названия данной древней функции. Действительно, слово «про» в данном случае звучит несколько необычно для обозначения произведения.

Существуют две основные версии происхождения этого термина:

1. От латинского «pro» в значении «вместо», «подобно». То есть просинус функционально похож на синус, но немного отличается, заменяя синус в некоторых вычислениях. Если взглянуть на его график то это действительно фактически копия синуса только слегка масштабированная в сторону уменьшения.

2. От греческого «προ» (про), означающего «перед», «прежде». Просинус могли называть «предсинусом», подразумевая, что это функция, предшествующая синусу в цепочке вычислений.

Из свойств высоты и гипотенузы прямоугольного треугольника

На кой он был нужен? Просинус, хотя и звучит как зловещий родственник синуса, был весьма полезен в астрономии, особенно при переходе между горизонтальной и экваториальной системами координат. Когда древние звездочёты считали склонение и часовой угол, просинус был их лучшим другом.

Этот странный объект помогал упрощать тригонометрические тождества, касающиеся двойных углов и сумм/разностей углов. В те времена, когда считали на пальцах и пользовались таблицами логарифмов, просинус был гением оптимизации: умножить два числа всегда проще, чем искать синус суммы углов. Да, просинус был вспомогательной функцией, но для навигации и астрономии прошлого он был незаменим. А теперь, когда у нас есть компьютеры, необходимость в нём отпала. Но его вклад в историю математики и астрономии остаётся неоспоримым.

Обратная функция к нему со всей очевидностью называется arcprosin, но вот уже выражается через рассмотренную ранее аркфункцию чуть сложнее. График так же является повёрнутым обрубком исходной функции на участке монотонности. Так как функция эта сама по себе устаревшая, рассмотрим её применение подробнее. Просинус полезен для нахождения высоты прямоугольного треугольника. Зачем это нужно? Ну, представьте себе, что вы моряк, бороздящий просторы океана, или астроном, наблюдающий за звёздами. В обоих случаях вам нужно точно рассчитывать углы и высоты, чтобы не сбиться с курса или правильно направить телескоп. Эта функция также использовалась в навигации для определения расстояний и высот объектов на горизонте. В архитектуре и строительстве она помогала инженерам правильно рассчитывать нагрузки и высоты конструкций, чтобы здания не падали, как карточные домики. Пока не изобрели компьютеры, которые могут всё просчитать за доли секунды, просинус был незаменимым инструментом. Таблицы логарифмов и геометрические отношения, такие как просинус, существенно упрощали жизнь учёных и инженеров прошлого. Сегодня мы можем только восхищаться изобретательностью тех, кто использовал его для великих дел.

Кас cas

Ещё одна комбинация уже известных нам синуса и косинуса имеет таки самостоятельное название. Но это не древняя функция, а новодел. Называется она cas – это сокращение от cosine and sine. Другое её название – ядро Хартли.

cas α = cos α + sin α

В этот раз это просто сумма косинуса и синуса. В математике преобразование Хартли – это интегральное преобразование, предложенное Ральфом В. Л. Хартли в 1942 году. Оно тесно связано с преобразованием Фурье, но преобразует действительные функции в действительные. В отличие от преобразования Фурье, Хартли не требует использования комплексных чисел и является обратным самому себе.

Как и любая уважающая себя тригонометрическая функция, cas α может быть изображена на тригонометрическом круге. Представьте себе комбинацию двух отрезков, отвечающих синусу и косинусу, соединённых вместе одним концом. Красота, да и только!

Такое переобозначение через символ cas α упрощает преобразования и расчёты, особенно при работе с действительными функциями. Это отличное дополнение к нашему тригонометрическому зоопарку, превращающее скучные формулы в элегантные математические выражения.

Но есть у cas и обратная функция, которая ведёт себя почти как арксинус, только сломанный в середине и оттого ставший симметричным. Что это значит? Если арксинус изящно поднимается и опускается в пределах [—π/2,π/2], то arccas делает тот же трюк, но с зеркальной симметрией относительно оси ординат. Выглядит странно, но на практике иногда бывает удобным.

Хорда crd

Когда-то давным-давно, в те времена, когда математики были жрецами и гадали на звёздах, появилась функция «Хорда». Хорда – это прабабушка синуса, которая в своё время была чуть ли не звездой античного тригонометрического бала. Она измеряет длину отрезка, соединяющего две точки на окружности, и звучит как «chord» – почти как аккорд, но вместо музыки у нас тут математика. В общем, все древние астрономы и геометры в Египте и Греции обожали её, пока не появился синус и не вытеснил старушку на пенсию.

Когда радианы вошли в моду, стало ясно, что синус – это всего лишь половина хорды. То есть, чтобы получить хорду, достаточно просто удвоить синус половинного угла. Формула звучит примерно так:

crd α = 2 sin (α/2)

Именно из этой формулы видно, что хорда и синус тесно связаны.

Это выражение также помогает объяснить, почему в более современных системах измерений синус вытеснил хорду: синус оказался более удобен для аналитических вычислений.

У хорды даже был свой аналог основного тригонометрического тождества, где вместо знаменитого ныне

sin α ² + cos α ² = 1 писали менее компактное:

crd α ² + crd (π – α) ² = 4 

Древние египтяне и греки обожали хорды. Они были для них чем-то вроде айфона в наше время – мастхэв для любого серьёзного учёного. Гиппарх, например, взял и составил целые таблицы хорд, которые были такими же популярными, как современные таблицы умножения. В Индии астрономы типа Арыабхаты тоже пользовались хордой, пока не поняли, что синус (джья) делает всю работу проще и быстрее.

Ну, и само собой, в те времена так же был популярен квест «найди угол по длине хорды». В современных обозначениях его решает arccrd α аркхорда. Она даёт вам центральный угол, и это было круто полезно для навигации и картографии в те стародавние времена.

Итак, хорда, хоть и вышла на пенсию, остаётся важным персонажем в истории математики. Как ветеран сцены, она уступила место молодым и перспективным, типа синуса и косинуса, но всё равно заслуживает уважения и почёта. Потому что без хорды не было бы той самой «тригонометрической революции», что мы знаем и любим сегодня.

Квадрантид qdr

Квадрантид, или антихорда, как только ни называют эту не столь уж известную тригонометрическую функцию – это настоящая тригонометрическая реликвия, которая, казалось бы, уже давно должна была оказаться на свалке истории, но всё же иногда просыпается, чтобы блеснуть своими специфическими свойствами. Обозначается она как qdr α и определяется как хорда угла, увеличенного на 90 градусов, или, если формально,

qdr α = cdr (α +π/2).

Зачем вообще нужна такая заморочка? Вопрос действительно резонный: зачем, спросите вы, нужны все эти углы, хордированные на 90 градусов? Дело в том, что квадрантид как-то удачно сводит к минимуму ошибки в ряде задач. Например, при переходе из одной системы координат в другую (например, из экваториальной в горизонтальную), или в навигации, где важен учёт углов от горизонта. В этих случаях углы между линиями зрения и вертикалями могут быть выражены через квадрантиды. И хотя всё это выглядит как серьёзная теоретическая физика, на практике квадрантиды помогают не потеряться, скажем, в море или не промахнуться мимо нужного объекта в астрономии.

Возьмём, к примеру, задачу навигации. В стародавние времена, когда GPS и ГЛОНАСС ещё не существовало, мореплаватели и астрономы использовали звёзды для определения местоположения. Звёзды, как известно, двигаться не любят (в пределах человеческой жизни). Но вот Земля крутится, и тут-то и начинается веселуха. Для корректного определения положения звезды или объекта на небе часто используют две системы координат: экваториальную и горизонтальную.

И вот тут выходит на сцену квадрантид. Допустим, у нас есть угол α, который мы измерили в экваториальной системе координат. Чтобы найти нужный объект в горизонтальной системе (или же на морской карте, где координаты также привязаны к горизонту), необходимо учитывать угол, дополненный до 90 градусов. Таким образом, антихорда (или квадрантид) позволяет нам перевести этот угол и, например, легко вычислить высоту небесного тела над горизонтом.

Примеры применения антихорды весьма обширны.

Астрономия и навигация: как уже было сказано, квадрантиды активно использовались в старой доброй астрономии для вычисления позиций звёзд и планет. Особенно полезна эта функция была для расчёта их видимой высоты на горизонте.

Геодезия и картография: в геодезии и картографии, где углы играют ключевую роль, квадрантиды помогали минимизировать погрешности при измерении углов и дистанций, особенно когда нужно было учитывать кривизну земной поверхности.

Морская навигация: старые морские карты нередко содержали специальные пометки, включающие квадрантиды для уточнения маршрутов и расчёта курса корабля.

Таким образом, квадрантид, хоть и является более редкой и специфической функцией, чем его «прямые» родственники, остаётся важным элементом тригонометрического инструментария.

Соответственно его обратная функция arcqdr α отличается от аркхорды вычитанием π/2.