Читать книгу: «Manual de álgebra lineal 2da edición»

Name: Manual de álgebra lineal 2da edición
ISBN: 9789587893069

Sebastian Castañeda Hernández, Ismael Gutiérrez García, Agustín Barrios Sarmiento

Шрифт:

Castañeda Hernández, Sebastián.

Manual de Álgebra lineal / Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento, Ismael Gutiérrez García. – Segunda edición. – Barranquilla, Colombia: Editorial Universidad del Norte, 2020.

vii, 242 p. : il. ; 24 cm.

Incluye referencias bibliográficas.

ISBN 978-958-789-188-1 (impreso)

ISBN 978-958-789-189-8 (PDF)

ISBN 978-958-789-306-9 (ePub)

1. Álgebras lineales. I. Barrios Sarmiento, Agustín. II. Gutiérrez García, Ismael. I.tít.

(512.5 C346 ed. 23) (CO-BrUNB)

Vigilada Mineducación

www.uninorte.edu.co

Km 5, vía a Puerto Colombia, A.A. 1569

Área metropolitana de Barranquilla (Colombia)

Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento,

Ismael Gutiérrez García

Primera edición, noviembre de 2017

Segunda edición, marzo de 2020

Coordinación editorial

Zoila Sotomayor O.

Asistencia editorial

María Margarita Mendoza

Diagramación

Sebastián Castañeda Hernández

Diseño de portada

Joaquín Camargo Valle

Corrección de textos

Nury Ruiz Bárcenas

Revisión y arte final

Munir Kharfan de los Reyes

© Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio reprográfico, fónico o informático, así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microfilm, offset, mimeográfico u otros sin autorización previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos constituye un delito contra la propiedad intelectual.

Diseño epub: Hipertexto – Netizen Digital Solutions

Contenido

Prólogo a la primera edición

Prólogo a la segunda edición

Capítulo 1 Preliminares

1.1 Introducción

1.2 El concepto de estructura algebraica

1.3 La estructura de campo

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales

2.1 Introducción

2.2 El espacio ⁿ

2.3 Sistemas de ecuaciones lineales

2.3.1 La ecuación lineal

2.3.2 Ecuación homogénea. Subespacios

2.3.3 Sistemas de ecuaciones lineales

2.3.4 Técnicas de eliminación

2.3.5 Dependencia lineal, generadores

2.3.6 Subespacio generado por un conjunto

Capítulo 3 Espacio de matrices sobre un campo

3.1 El espacio ^m×n

3.2 Transposición y producto matricial

3.3 Ecuaciones matriciales Matrices invertibles

3.4 Bases y dimensión

Capítulo 4 La extensión del concepto de determinante

4.1 Introducción

4.2 Productos elementales y la definición de determinante

4.3 Otras propiedades del determinante

Capítulo 5 Vectores en ² y en ³

5.1 Introducción

5.2 Norma vectorial.Ortogonalidad

5.3 Sistemas de coordenadas cartesianas

5.4 Sistema coordenado cartesiano rectangular en ε₃

5.5 Segmentos dirigidos en ε_n

5.6 Aplicaciones geométricas

5.6.1 Colinealidad y ecuaciones vectoriales de rectas

5.6.2 Ecuaciones vectoriales de planos

5.6.3 Proyecciones ortogonales, distancia de un punto a una recta o a un plano

5.6.4 Otras aplicaciones

Capítulo 6 Aplicaciones lineales. Valores y vectores propios

6.1 Aplicaciones lineales

6.2 Matriz de una aplicación lineal

6.3 Valores y vectores propios

Capítulo A Ecuaciones lineales diofantinas

Capítulo B Uso de Maxima

Capítulo C El símbolo sumatorio

Capítulo D Alfabeto griego

Capítulo E Aplicaciones en códigos de bloque

E.1 Los parámetros de un código

E.2 Los parámetros de un código lineal

Bibliografía

Notas al pie

Prólogo a la primera edición

El presente texto puede considerarse como una simplificación del libro “Introducción al Álgebra Lineal” [3], de dos de los autores de este manual. Aquí se presenta un material mínimo para desarrollar en un semestre con tres horas semanales presenciales. La idea básica es que el texto sea utilizado como material de lectura obligatoria para los estudiantes, incluyendo lecturas en algunas sesiones presenciales en las cuales como control se entreguen tareas individuales o en parejas, a criterio del profesor. En ese sentido el manual incluye tareas de entrega obligatoria por parte del estudiante.

El contenido cubierto por el manual, como se puede apreciar, es el básico en un primer curso de álgebra lineal dirigido a estudiantes de primer semestre de Ingeniería, Economía, Administración de empresas, o programas donde la asignatura sea electiva. Para estudiantes de Ciencias (Física o Matemáticas, especialmente) el profesor podrá recomendar la profundización de los temas en el texto citado [3] o en otros textos adecuados. El capítulo uno introduce la definición de operación binaria y, en particular, la de ley de composición interna, a partir de ejemplos familiares que permitan una fácil comprensión a través de la lectura individual para el estudiante. Se introducen también las definiciones de las estructuras algebraicas básicas sobre las cuales se construye la estructura principal: la de espacio vectorial.

El capítulo dos aborda el estudio de los sistemas lineales y de las matrices sobre el campo real. Se introduce inicialmente la estructura de espacio vectorial de ⁿ así como el producto escalar y el producto matricial como herramientas teóricas importantes en el estudio de ecuaciones y sistemas lineales. En este mismo capítulo, en su apéndice, se muestra el caso de las ecuaciones lineales diofantinas y se sugiere el uso de software libre específico para cálculos en álgebra lineal. Se incluye también un primer acercamiento al concepto de determinante, para el caso de sistemas 2 × 2. Tal concepto será extendido en el capítulo tres a matrices n × n. Por razones de brevedad en la exposición, el desarrollo del material relativo a determinantes se limita en buena parte a presentar los resultados más importantes, citando el texto base de este manual.

El capítulo cuatro se dedica a los sistemas homogéneos y a los subespacios de ⁿ, aprovechando el contexto para introducir con rigurosidad los conceptos de base y dimensión de subespacios de ⁿ. Se cierra el capítulo con los conceptos de norma y vectores unitarios, introduciendo las definiciones de ángulo entre vectores, paralelismo y dirección desde un punto de vista algebraico. Estos conceptos serán interpretados geométricamente en el capítulo cinco, dedicado a los vectores en ² y ³ y a las aplicaciones geométricas de los resultados antes obtenidos.

Se incluyen, además del correspondiente al capítulo dos, tres apéndices al final. En el apéndice A, se hace una breve presentación del símbolo sumatorio y sus principales propiedades y en el B se presenta el alfabeto griego. En el apéndice C se presenta una breve introducción a la Teoría de códigos, de suma importancia en la teoría de la información. Básicamente, el objetivo de la teoría de códigos es codificar información que se transmite a través de canales “ruidosos”; es decir, susceptibles de distorsionar la información ya sea por razones internas o externas (por acción de terceros). Es entonces necesario que el mensaje sea codificado adecuadamente de manera que se pueda verificar su autenticidad y detectar posibles errores o distorsiones y corregirlos, de ser posible. En tal sentido, los códigos lineales (subespacios de ⁿ, siendo un campo finito) juegan un papel importante.

Finalmente, agradecemos cualquier comentario, sugerencia o corrección que consideren necesarios para mejorar la presente edición. Los autores.

scasta@uninorte.edu.co abarrios@uninorte.edu.co isgutier@uninorte.edu.co

Prólogo a la segunda edición

Para esta segunda edición se introducen algunos cambios, principalmente en el orden de los temas. El capítulo dos aborda el estudio de los sistemas lineales sobre el campo real y se aprovecha para introducir el concepto de subespacio, así como los de dependencia e independencia lineal y generadores, los cuales, en la edición anterior, se presentaban en el capítulo cuatro. Se aprovecha para definir espacios vectoriales en general. El apéndice sobre ecuaciones diofantinas, así como el del software para cálculos en álgebra lineal se trasladaron al final del texto. Se incluye también un primer acercamiento al concepto de determinante, para el caso de sistemas 2 × 2. Tal concepto será extendido en el capítulo cuatro a matrices n × n. Por razones de brevedad en la exposición, el desarrollo del material relativo a determinantes se limita en buena parte a presentar los resultados más importantes, citando el texto base de este manual. La estructura del espacio vectorial de matrices sobre un campo, inicialmente en el capítulo dos, se presenta en el capítulo tres.

El capítulo cuatro se dedica ahora, como se indicó, a la extensión del concepto de determinante, mientras que en el capítulo cinco se inicia con los conceptos algebraicos de norma y ángulo entre vectores, que serán interpretados geométricamente en el resto del capítulo, dedicado a los vectores en ² y ³ y a las aplicaciones geométricas de los resultados antes obtenidos. El último capítulo es una introducción a las aplicaciones o transformaciones lineales entre espacios vectoriales y a los valores y vectores propios para el caso de dimensión finita.

Se incluyen, además de los correspondientes antes al capítulo dos, los mismos apéndices de la edición uno al final.

Finalmente, agradecemos cualquier comentario, sugerencia o corrección que consideren necesarios para mejorar la presente edición. Los autores.

scasta@uninorte.edu.co abarrios@uninorte.edu.co isgutier@uninorte.edu.co

CAPÍTULO 1
Preliminares
1.1 Introducción

El Álgebra, hablando en términos rudimentarios pero modernos, es la disciplina matemática dedicada al estudio de las denominadas estructuras algebraicas. Una estructura así está formada básicamente por un conjunto no vacío y una o más operaciones definidas sobre ese conjunto. El Álgebra Lineal, tambíen en términos generales, tiene como objeto de estudio principal cierto tipo de estructura conocida como espacio lineal o espacio vectorial. En esta primera sección presentamos las definiciones de operación (especialmente las denominadas binarias) y de las estructuras algebraicas básicas: semigrupos, monoides, grupos, anillos y campos. En el capítulo dos, en particular, se hace una primera presentación de la estructura de espacio vectorial en un ejemplo específico. Tal definición se hará desde la perspectiva matemática o algebraica y en un capítulo posterior se relacionará con la noción física o geométrica de vector con la cual seguramente los lectores, aún los principiantes, tendrán alguna familiaridad. Iniciamos justamente con el concepto de estructura algebraica.

1.2 El concepto de estructura algebraica

Existe cierta familiaridad con la noción de operación, específicamente con la de operación binaria. Así, por ejemplo, la adición, la multiplicación y sus operaciones “inversas” (sustracción y división) en conjuntos numéricos constituyen ejemplos de operaciones binarias. Para ir abriendo paso a una generalización¹ de tales operaciones “familiares”, consideremos inicialmente la adición de números enteros.

En la adición de enteros, partimos tomando dos números enteros, por ejemplo 3 y 4, y al hacer la operación obtenemos el entero 7 = 3 + 4, denominado la suma de 3 y 4. Más generalmente, si tomamos dos enteros, notados x e y, la adición produce un entero z = x + y. Técnicamente hablando, hemos tomado un par (x, y) de enteros y le hemos asignado un entero x + y, la suma de las componentes del par (x, y). En el lenguaje de la teoría de conjuntos lo que se tiene es una función

cuyo dominio es el producto cartesiano del conjunto de los enteros, , consigo mismo y las imágenes –o resultados de la acción de la función– pertenecen al mismo conjunto . Un análisis similar puede hacerse para la multiplicación de enteros, la cual es una función

Estos son dos ejemplos particulares de lo que denominaremos una ley de composición interna definida sobre un conjunto. El hecho de que los elementos operados (sumados o multiplicados) se consideren formando pares ordenados parecería no ser importante en estos ejemplos ya que el resultado obtenido –la suma o el producto, respectivamente– es el mismo independientemente de si el par considerado es (x, y) o (y, x). Esto es debido, en este caso, a que las dos operaciones consideradas gozan de la denominada propiedad conmutativa según la cual “el orden de los sumandos (o factores) no altera la suma (el producto)”. Sin embargo, basta con pensar en la sustracción de enteros para convencerse de que si queremos generalizar nuestras particulares observaciones a conjuntos (y operaciones) arbitrarios el “orden” de las componentes es importante. Así, la sustracción en el conjunto de los enteros es una función

Como tal, es una ley de composición interna pero, por ejemplo, la imagen de la pareja (2, 3), esto es 2 − 3 = −1, no es la misma que la de (3, 2), la cual es 3 − 2 = 1. Esto, por supuesto, significará que la sustracción no es una operación conmutativa.

Algunas preguntas son pertinentes en este momento. ¿Podemos operar solo elementos del mismo conjunto? o ¿estarán siempre los “resultados” de las operaciones en el mismo conjunto al cual pertenecen los elementos operados? Si pensamos, por ejemplo, en la división de enteros, es claro que solo podemos dividir un entero cualquiera entre un entero diferente de cero y que los resultados no necesariamente son enteros. Así, la división a la que estamos haciendo referencia es entonces una función

Aquí el dominio de nuestra función es el producto cartesiano de dos conjuntos distintos y las imágenes (cocientes) pertenecen al conjunto de los números racionales , del cual los conjuntos cuyo producto cartesiano es el dominio son subconjuntos propios.

Generalizando lo anterior, dados conjuntos no vacíos A, B y C, una función

es denominada una operación binaria. Note que la imagen del par (x, y) bajo la función ∗ se denota por x ∗ y. Si A = B = C decimos que ∗ es una ley de composición interna en el conjunto A o, simplemente, una operación binaria definida sobre A. Como dijimos antes, una estructura algebraica es un conjunto con una o más operaciones binarias definidas sobre tal conjunto. La notación para una estructura algebraica generalmente involucra al conjunto (y, posiblemente, a otros con cuyos elementos se opera o al cual pertenecen los resultados) y a los símbolos de las operaciones. En particular, si A es un conjunto no vacío y ∗ es una ley de composición interna en A se acostumbra notar por (A, ∗) a la estructura algebraica resultante. Se debe resaltar que dicha notación hace referencia no solo a los elementos del conjunto A sino, principalmente, al comportamiento de los mismos con relación a la operación ∗. Así, por ejemplo, cuando nos referimos a la estructura “aditiva” (, +), estamos hablando de una estructura distinta a la “multiplicativa” (, ·). En ambos casos los elementos del conjunto “soporte” de la estructura son los mismos, pero el comportamiento algebraico no es igual. Por ejemplo, mientras que la estructura aditiva goza de la propiedad de existencia de inversos para cada elemento de , esta propiedad no es válida, en general, en la estructura multiplicativa, en la cual solo 1 y −1 tienen inversos (multiplicativos).

Propiedades, seguramente familiares para el lector, como la conmutatividad, la asociatividad, entre otras, de la adición y la multiplicación en los enteros, pueden ser definidas también para leyes de composición interna. Estas se presentan a continuación.

Definición 1.2.1 Sean A y B conjuntos no vacíos con B ⊆ A. Si ∗ y son leyes de composición interna definidas en A. Entonces:

1. B es cerrado bajo ∗ si y solo si para todo x, y ∈ B se cumple que x ∗ y ∈ B.

Trivialmente, el conjunto A es, por ser ∗ una ley de composición interna en A, cerrado para ∗.

2. ∗ es:

(a) Conmutativa si y solo si para todo x, y ∈ A se satisface:

(b) Asociativa si y solo si para todo x, y, z ∈ A se cumple:

(c) Modulativa si y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ A se tiene:

El elemento e, el cual puede probarse que es único, se denomina elemento neutro para ∗ en A. En ese sentido, la propiedad modulativa también se denomina de existencia de elemento neutro.

(d) Invertiva si y solo si es modulativa, con neutro e, y para todo elemento x ∈ A existe un elemento y ∈ A tal que:

Para una operación invertiva y asociativa, para cada x ∈ A el elemento y de la ecuación (1.4) es único (ejercicio). Tal elemento es denominado el inverso, bajo ∗, de x. En una estructura (A, ∗) asociativa y modulativa puede suceder que la condición de existencia de inverso no se cumpla para todos los elementos de A; si se cumple para algún elemento particular x, diremos que x es invertible (o regular o no singular) bajo ∗ y, consecuentemente, que y es el inverso de x.

(e) Distributiva con relación a si y solo si para todo x, y, z ∈ A se tienen:

La propiedad dada por (1.5) se denomina usualmente distributiva (de ∗ con relación a ) por la derecha, mientras que la dada por (1.6) lo será por la izquierda.

Algunas de las definiciones dadas pueden extenderse a operaciones binarias que no sean necesariamente leyes de composición interna. Por ejemplo, para una operación binaria ∗: A × B → B, decimos que es modulativa a izquierda si y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ B se tiene e ∗ x = x. En este caso e es denominado un neutro a izquierda. De manera similar se puede definir elemento neutro a derecha para operaciones del tipo ∗ : A × B → A. Nótese así que para leyes de composición interna el neutro, si existe, lo es tanto a izquierda como a derecha. También es costumbre, para una operación ∗ : A × B → B, decir que un conjunto no vacío D ⊆ B es cerrado para ∗ si y solo si, siempre que se tengan x ∈ A, y ∈ D, se tiene también que (x ∗ y) ∈ D. Se dejan al lector otras posibles extensiones de las definiciones dadas. Diremos también que una estructura (A, ∗) es asociativa (o conmutativa, modulativa, etc.) si lo es la operación ∗.

Si ∗ es una ley de composición interna en el conjunto A y B es un subconjunto de A, cerrado bajo ∗, entonces la restricción de ∗ a B, usualmente notada ∗|_B,

es también una ley de composición interna en B. Algunas de las propiedades ya definidas (conmutativa, asociativa, distributivas) claramente son válidas también para la restricción de ∗ a B, en caso de que se cumplan en A, diremos en tal caso que son hereditarias.² Las propiedades (1.3) y (1.4), por su parte, se satisfacen –si se cumplen en A– para todo x ∈ B, pero no se garantiza la pertenencia del neutro e, o el inverso de x al conjunto B.

Ejemplo 1.2.1

1. La conocida estructura aditiva de los enteros (, +) es, como recordará el lector, asociativa, conmutativa, modulativa e invertiva. Una estructura tal, como se definirá después, es denominada un grupo abeliano. Aquí el elemento neutro (aditivo) es cero, 0, y cada entero x tiene un inverso aditivo −x. Por su parte la estructura multiplicativa (, ·) es asociativa, conmutativa y modulativa, pero no es invertiva. Solamente, como ya se mencionó, son invertibles el 1 y el −1 y, en cada caso, el inverso es el mismo elemento. Para enteros distintos de cero y de 1 y −1, por ejemplo 2, el inverso multiplicativo existe si se consideran como parte del conjunto de los racionales, es decir de la estructura (, ·), pero no es un entero. En el ejemplo considerado, el inverso de 2 es 0.5 = . Este ejemplo resalta la importancia de que una estructura depende tanto del conjunto como de la o las operaciones consideradas.

Grupos abelianos, como el caso de (, +), son también (, +), (, +), ( − {0}, ·) y ( − {0}, ·).

2. Consideremos el conjunto A = {a, b, c}. Una ley de composición interna sobre A debe asignar a cada par (x, y) ∈ A × A, es decir, a cada par de elementos de A, un elemento único del mismo conjunto. Se puede elegir arbitariamente tales “resultados” de la operación. En este caso, la operación puede definirse mediante una tabla; por ejemplo, las que se muestran a continuación.

En la primera fila y la primera columna de cualquiera de las tablas se muestran el símbolo de la operación y los elementos del conjunto A. El resultado de operar un elemento de una columna con uno de una fila es el elemento en la intersección de dichas fila y columna. Así, por ejemplo:

Nótese que en (A, ∗), a es un neutro a izquierda pero no a derecha (b ∗ a = c), mientras que en (A, ) es neutro tanto a derecha como a izquierda; es decir, es modulativa. Puesto que a ∗ b = b ≠ c se sigue que ∗ no es conmutativa. ¿Es asociativa? Puede verificarse que es asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa; es decir, (A, ) es un grupo abeliano. Nótese que el inverso de b, bajo , es c y el de c es b. a, por su parte, es su propio inverso bajo .

3. Para un entero n ≥ 2 sea _n = {0, 1, 2, . . ., n − 1}, el conjunto de los enteros no negativos menores que n. Por ejemplo:

Así, _n es, en principio, un subconjunto del conjunto de los enteros. Es claro, sin embargo, que no es cerrado bajo la adición “usual” de enteros. Así, por ejemplo 1 + (n − 1) = n, pero n ∈ _n. Para la multiplicación, si n > 2, tampoco el conjunto considerado es cerrado. Sin embargo, es un hecho conocido que el cociente de un entero no negativo entre n ≥ 2 tiene residuo menor que n. Así, podemos definir unas “nuevas” adición y multiplicación en _n, tomando como resultados los residuos de la división entre n de la adición y multiplicación “usuales” de los elementos considerados, garantizando así la cerradura del conjunto bajo tales operaciones (adición y multiplicación módulo n).

Por ejemplo, si consideramos ₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, entonces como “suma” de 3 y 4 tomamos el residuo de dividir 7 (la suma usual) entre 6. Así, en este caso, tenemos 3 + 4 = 1. Por su parte, 3(4) = 0 dado que el residuo de dividir 12 (producto usual de 3 por 4) entre 6 es 0. Las tablas de estas adición y multiplicación (módulo 6) se muestran abajo.

Nótese que ambas operaciones son conmutativas y que 0 y 1 siguen siendo los neutros aditivo y multiplicativo, respectivamente, en ₆ (y, en general, en _n) y que cada elemento tiene un inverso aditivo. Específicamente, el inverso aditivo de un elemento x ∈ _n − {0} es n − x, dado que (n − x) + x = x + (n − x) = 0. Si siguiendo la notación familiar en los enteros, se denota por −x al inverso aditivo de x, tenemos entonces³:

−0 = 0, −1 = 5, −2 = 4

−3 = 3, −4 = 2, −5 = 1

Tal como en el caso de los enteros, y siguiendo la notación anterior, los únicos elementos invertibles (multiplicativamente) en ₆ son 1 y −1 = 5 y si, nuevamente tomando “prestada” la notación multiplicativa para inversos en los números reales, para un elemento invertible x, notamos por x⁻¹ su inverso en ₆, tenemos:

1⁻¹ = 1

5⁻¹ = 5

Es decir, al igual que en , cada uno es su propio inverso. Puede mostrarse fácilmente que para cualquier valor de n ≥ 2, en (_n, ·) efectivamente 1 y n − 1 (el inverso aditivo de 1) son invertibles y cada uno es su propio inverso. Para n = 6, como muestra la tabla, son los únicos elementos invertibles, pero podrían, para otros valores de n, existir otros elementos invertibles. Como ejemplo considere en (₉, ·) los elementos 1, 2, 4, 5, 7 y 8. Como se esperaba, por lo dicho antes, 1 y 8 son invertibles y cada uno es su propio inverso. Sin embargo, los otros elementos considerados también son invertibles. En efecto se tiene:

2(5) = 1

4(7) = 1

Por lo que 2⁻¹ = 5, 5⁻¹ = 2, 4⁻¹ = 7, 7⁻¹ = 4. Al lector puede parecerle sorprendente que bajo la multiplicación módulo n (en este caso n = 9), enteros no invertibles bajo la multiplicación usual lo sean en la estructura modular.

Dado un conjunto no vacío G, y una ley de composición interna ∗ en G, la estructura (G, ∗) es denominada un grupoide. Si la operación es asociativa se denominará un semigrupo. Un semigrupo tal que la operación sea además modulativa se denomina un monoide. Un monoide con la propiedad invertiva es un grupo. Si, además, la operación es conmutativa la estructura se denomina grupo conmutativo o grupo abeliano. En general, para grupoides, usaremos notación multiplicativa escribiendo xy en lugar de x ∗ y, así como 1_G para referirnos al neutro de ∗, en caso de existir, y también x⁻¹ para referirnos al inverso de x en caso de existir. Por supuesto, en estructuras particulares aditivas escribiremos 0_G y −x, respectivamente, para el neutro y el inverso de x ∈ G. Así, tenemos

1.3 La estructura de campo

Como se advirtió antes, la estructura principal a considerar en el curso de Álgebra Lineal es la de espacio lineal o espacio vectorial. Tales estructuras son construidas sobre una estructura aditivo multiplicativa básica conocida como campo o cuerpo. Comenzamos con un conjunto no vacío, con dos leyes de composición interna + : × → y · : × → (adición y multiplicación). La estructura (, +, ·) es un campo o cuerpo si y solo si

• (, +) es un grupo abeliano (con neutro 0₎

• La multiplicación es conmutativa, asociativa, modulativa, con neutro 1_{≠ 0_{, y distributiva respecto de la adición.}}

• Cada elemento x ∈ , x ≠ 0_{, es invertible (multiplicativamente).}

Se sigue así que si (, +, ·) es un campo, entonces (, +) y ( − {0_{}, ·) son grupos abelianos. La denominación de anillo se refiere a una estructura aditiva multiplicativa (R, +, ·) tal que (R, +) es un grupo abeliano y la multiplicación es asociativa y distributiva con relación a la adición. Las denominaciones de anillo conmutativo y anillo con elemento identidad se refieren, respectivamente, a un anillo tal que la multiplicación es conmutativa y a un anillo con elemento neutro para la multiplicación.}

Tenemos entonces que todo campo es una anillo conmutativo con identidad en el cual todo elemento no nulo es invertible multiplicativamente. También se acostumbra decir que es un anillo conmutativo con división. La estructura (, +, ·) (enteros con la adición y la multiplicación) es un anillo conmutativo con elemento identidad, pero claramente no es un campo (¿por qué?). De igual manera, para un natural n ≥ 2, la estructura (_n, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad y es un campo si y solo si n es un número primo.

En particular, nos interesa la estructura de campo del conjunto de los números reales. Suponemos por parte del lector un conocimiento, así sea intuitivo, de tal conjunto. Tal conjunto, notado por , es la unión del conjunto de los números racionales, notado , con el de los irracionales. El primero es el conjunto de los números que pueden expresarse como cociente de dos enteros. Una característica notable de los racionales es también que su expresión decimal es periódica, a diferencia de los irracionales en los cuales la expresión decimal es infinita y no periódica. Ejemplos notables de irracionales son las raíces cuadradas de números naturales que no son cuadrados perfectos (, etc.), el número π (constante universal que representa el cociente de la longitud de una circunferencia cualquiera sobre su diámetro), el número de Euler, e, base de los logaritmos naturales. Asumimos como verdadero que la estructura (, +, ·) es un campo, lo cual de acuerdo con la definición dada antes significa:

• (, +) es un grupo abeliano. El neutro aditivo por supuesto es 0 y cada real x tiene un inverso aditivo, notado −x.

• La multiplicación es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma. Igualmente es modulativa, con neutro 1 ≠ 0.

• Cada real x ≠ 0 tiene un inverso multiplicativo, notado x⁻¹.

Las propiedades de campo, conjuntamente con las de la igualdad, permiten fácilmente resolver ecuaciones de grado uno en una o más incógnitas. En particular, si es un campo, y a, b, c ∈ con a ≠ 0 la ecuación

ax + c = b

tiene solución única y puede resolverse fácilmente como en el álgebra elemental. Así, tenemos

En estructuras aditivo multiplicativas más generales, por ejemplo, anillos conmutativos, el problema no es tan simple. Considere por ejemplo la ecuación 2x + 7 = 5.

1. En (₁₁, +, ·) que es un campo, se tiene

x = 2⁻¹(5 + (−7)) = 6(−2) = 6(9) = 10.

2. En (₈, +, ·) que no es un campo, se tiene en cambio 2x = 5−7 = −2 = 6. Notemos, sin embargo, que no podemos “despejar” x, ya que 2 no es invertible en ₈. Si bien es claro que 3 es una solución de la ecuación, no podemos afirmar que es la única. Revisando la tabla multiplicativa de ₈ para el 2 tenemos (método de la “fuerza bruta”)

lo que muestra que la ecuación tiene exactamente dos soluciones: 3 y 7. Por otra parte, la ecuación 2x = 7 en ₈ no tiene solución⁴ (¿por qué?).

En el capítulo siguiente se resuelve el problema de resolver una ecuación lineal sobre el campo real. Los resultados teóricos que se presentan pueden extenderse sin problemas a ecuaciones sobre un campo cualquiera. Una ecuación lineal en las n incógnitas (o variables) x₁, x₂, . . ., x_n sobre un campo es una ecuación de la forma

donde a₁, a₂, . . ., a_n, b ∈ . Así, por ejemplo, 2x+3y = 6 es una ecuación lineal en las incógnitas x, y sobre el campo real. Como se verá en el capítulo siguiente, cada solución de la ecuación es un par de reales que “satisface” la ecuación. Usualmente ordenaremos las variables y cada solución se tomará como un par ordenado. En nuestro ejemplo, una solución es el par (3, 0) (x = 3, y = 0) ya que

2(3) + 3(0) = 6.

No es difícil entender que tal ecuación tiene infinitas soluciones y que una solución se puede obtener asignándole valores arbitrarios a una de las incógnitas y reduciendo el problema a una ecuación en una sola variable. Así, por ejemplo, si t es un número real cualquiera y asignamos tal valor a x, entonces debe tenerse

2t + 3y = 6.

Resolviendo esta ecuación en y se tiene

Así, toda solución, como par ordenado de reales, es de la forma

siendo t un real cualquiera. El conjunto solución (conjunto de todas las soluciones) es entonces

Si consideramos la ecuación 2x + 3y = 6 ahora sobre el campo finito ₇ podemos también proceder como antes y se tendría que para x = t con t ∈ ₇ se obtiene

De modo que todas las soluciones son de la forma (t, 2 + 4t) y, así, la ecuación tiene siete soluciones: (0, 2), (1, 6), (2, 3), (3, 0), (4, 4), (5, 1), (6, 5).

Ejercicios 1.3.1

1. Demuestre que en una estructura modulativa (A, ∗), donde ∗ es una ley de composición interna en A, el neutro es único. Demuestre también que en una estructura asociativa y modulativa si un elemento es invertible, entonces el inverso es único. Concluya de la demostración realizada, que si un elemento x tiene un inverso a mano derecha y, y un inverso a mano izquierda z, entonces y = z.

2. Considere en la ley de composición interna definida por:

x ∗ y = xy + x + y

(a) Calcule 2 ∗ 3 y −3 ∗ .

(b) Demuestre que (, ∗) es una estructura asociativa, modulativa y conmutativa, pero no es invertiva, pues existe un (único) elemento z no invertible.

(c) Calcule los inversos, bajo ∗, de 1, 0 y .

(d) Si A = − {z}, muestre que A es cerrado bajo ∗ y que (A, ∗|_A) es una estructura asociativa, modulativa, conmutativa e invertiva (grupo abeliano).

3. Considere los conjuntos A = {a, b, c} y B = {c, d, e} y la operación definida por la tabla que se muestra:

(a) ¿Existe un neutro a izquierda para ∗?

(b) Calcule, si existen, (a ∗ c) ∗ e y a ∗ (c ∗ e).

(c) ¿Qué puede decir acerca de la existencia de “inversos unilaterales”?

4. Muestre que si (G, ·) es una estructura asociativa y modulativa y x, y ∈ G son elementos que tienen inverso, entonces (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹. Concluya que el conjunto de los elementos invertibles en G es un grupo.

5. En el ejemplo 1.2.1, 3, página 7, se introdujo el conjunto _n con las operaciones de adición y multiplicación módulo n. Como se dijo, (_n, +) es un grupo abeliano. (_n, ·) no es un grupo porque, en general, no todo elemento tiene inverso (multiplicativo). Puede demostrarse que un elemento m ∈ _n es invertible (multiplicativamente) si y solo si el único divisor común positivo de m y n es 1 (es decir, m y n son primos relativos).

(a) Determine, si existen los inversos aditivos y multiplicativos de cada elemento de ₈ y ₁₂.

(b) El conjunto de los elementos invertibles (multiplicativamente) de _n es un grupo y se denota por U_n. Muestre entonces U₈ y U₁₂.

(c) Explique porqué si p es un número primo, entonces todo elemento no nulo de _p es invertible. Concluya así que (_p − {0}, ·) es un grupo abeliano.

6. En cada caso determine, si existen, −2, −5, −7, 2⁻¹, 5⁻¹ y 7⁻¹ en _n para el valor de n indicado.

(a) n = 8.

(b) n = 13.

(c) n = 35.

(d) n = 70.

7. Encuentre en cada caso el conjunto solución de la ecuación dada.

(a) 2x = 6 en ₁₀.

(b) 2x = 6 en ₇.

(c) 5x = 6 en ₁₀.

(d) 2x = 7 en ₁₀.

(e) 2x + 9 = 15 en ₂₀.

Tarea 1

1. En cada caso indique, marcando con una X en la casilla, la estructura correspondiente. Los conjuntos indicados son:

= {1, 2, 3, 4, 5, . . . }: Conjunto de los números naturales.

₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }: Conjunto de los números cardinales.

= {. . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }: Conjunto de los números enteros.

= { m, n ∈ , n ≠ 0}: Conjunto de los números racionales.

= ∪ ′: Conjunto de los números reales.

2. Encuentre en cada caso el conjunto solución de la ecuación dada. Use el método de la “fuerza bruta” solamente si es necesario.

(a) 2x = 6 en ₁₀.

(b) 2x = 6 en ₇.

(c) 5x + 3y = 6 en ₇.

3. Considere la tabla multiplicativa de ₁₆.

(a) Complete la tabla (recuerde que la operación es conmutativa).

(b) Indique (buscando en la tabla de resultados dónde aparece 1) los elementos invertibles y sus respectivos inversos.

(c) Resuelva, usando la tabla, las ecuaciones 4x = 12 y 6x = 7. Explique.

CAPÍTULO 2
Sistemas de ecuaciones lineales
2.1 Introducción

Las ecuaciones lineales, así como colecciones de las mismas, denominadas sistemas (de ecuaciones lineales), surgen tanto en problemas de naturaleza práctica como teórica. En la ciencia, la industria, el comercio, entre otras actividades y ramas del quehacer humano, es común el modelar problemas reales por medio de sistemas lineales; de allí la importancia de disponer de técnicas de análisis y solución, si existen, de los mismos. En este capítulo, presentamos los resultados básicos relativos a técnicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales. Comencemos con algunos casos particulares para ir introduciendo elementos básicos que generalizaremos en las secciones siguientes.

1. Una ecuación lineal en la variable o incógnita real x es una ecuación de la forma

donde a y b son constantes reales (números reales conocidos o dados). Ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son

Una solución de la ecuación 2.1 es un número real u tal que la proposición au = b es verdadera. En los ejemplos anteriores, las dos primeras ecuaciones tienen solución única, a saber x = 3, en el primer ejemplo, en el segundo. Por otra parte, todo número real es una solución de la ecuación 0x = 0, mientras que la última ecuación no es satisfecha por número real alguno.

2. Una ecuación lineal en las variables reales x e y, es de la forma

donde a, b y c son constantes reales. Ejemplos de ecuaciones lineales en dos variables (x e y, en este caso) son

2x + 3y = 6

2x + 0y = 6.

Para definir soluciones de una ecuación lineal en dos variables necesitaremos considerar parejas de números reales tales que al reemplazar en la ecuación cada variable por uno de los dos reales de la pareja la proposición resultante sea verdadera. Así, por ejemplo, para la primera ecuación tenemos que si reemplazamos x por 3 y y por 0, obtenemos la proposición verdadera

2(3) + 3(0) = 6.

No sucede lo mismo, si reemplazamos x por 0 y y por 3, pues en tal caso obtenemos la proposición falsa

2(0) + 3(3) = 6.

Decimos entonces que x = 3, y = 0 es una solución, pero x = 0, y = 3 no lo es. Podemos facilitar el referirnos a una solución de la ecuación estableciendo un orden en las variables y en la pareja de valores que definen una solución. Así, si convenimos en que la “primera” variable es x y y es la segunda, entonces la solución x = 3, y = 0, puede expresarse como el par ordenado (3, 0). Se tiene así que el par (0, 3) no es una solución de la ecuación considerada. Así, las soluciones de una ecuación en dos variables serán elementos del conjunto

En el caso de la primera ecuación, es relativamente fácil ver que se puede obtener una solución dándole un valor arbitrario a una cualquiera de las variables, por ejemplo, si hacemos x = 6 y reemplazamos en la ecuación, se obtiene una ecuación en la única variable y la cual se puede resolver fácilmente:

de modo que una solución es la pareja (6, −2).

Así, si t es un real cualquiera (como 6, en el ejemplo indicado) y reemplazamos en la ecuación, obtenemos

por lo que podemos afirmar que el conjunto de todas las soluciones posibles (el conjunto solución) de la ecuación es

Por otra parte, para la segunda ecuación, 2x + 0y = 6, siguiendo el convenio establecido antes, tenemos que todo par ordenado de la forma (3, t), siendo t un real cualquiera, es solución de la ecuación, pues la proposición

2(3) + 0(t) = 6

es verdadera para todo real fijo t. Hacemos notar también que esta última ecuación podría escribirse también como 2x = 6, pero esta última escritura podría llevarnos a considerar la ecuación, erróneamente, como ecuación en una sola variable, x, y a concluir que tiene una única solución (el real 3). Esto puede resolverse explicitando que la ecuación se debe considerar en las variables x, y o definiendo lo que denominaremos el universo de la ecuación, ² en este caso.

Como en el ejemplo anterior, el conjunto solución de la ecuación es entonces

3. De manera similar, podemos definir ecuaciones lineales en cualquier número de variables reales. Así, por ejemplo,

son ecuaciones lineales. La primera lo es en al menos las variables x, y y z, mientras que la segunda es una ecuación lineal en al menos cuatro variables (x, y, z y w).

En general, una ecuación lineal en las n variables reales x₁, x₂, . . ., x_n es una ecuación de la forma

a₁x₁ + a₂x₂ + · · · + a_nx_n = b,

donde a₁, a₂, . . ., a_n y b son constantes reales. En la sección siguiente introducimos algunos elementos formales que nos permitan tratar con ecuaciones lineales en cualquier número de variables.

2.2 El espacio ⁿ

Como se estableció en el capítulo preliminar, el conjunto de los números reales, con la adición y la multiplicación tiene estructura de campo o cuerpo. Sobre el campo real construiremos otras estructuras definiendo operaciones adecuadas que nos permitirán un mejor manejo de ecuaciones y sistemas lineales. Como hemos visto, comenzamos con

conjunto de todos los pares ordenados de reales. El carácter de ordenado viene garantizado por la siguiente definición de igualdad de pares ordenados:

Así, por ejemplo (1, 3) ≠ (3, 1). De igual manera, podemos definir el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales

Ahora se tiene que

Podemos ahora generalizar para un número natural n:

Cada elemento de ⁿ es denominado una n−ada(o n−upla ordenada) de números reales. Para i ∈ {1, 2, . . ., n}, x_i se denominará la i−ésima componente de la n−ada (x₁, x₂, . . ., x_n). Como en los casos particulares considerados para n = 2, 3, se tiene

Si n = 1, tenemos entonces ¹ = el cual, como se ha visto, tiene una estructura de campo. Podemos aprovechar la estructura de campo para definir tres operaciones sobre ⁿ, las cuales jugarán un papel central en la teoría de sistemas lineales. Antes, convenimos en que, por lo general, utilizaremos letras minúsculas en negrita para referirnos a elementos de ⁿ, en tal caso cada componente se notará con la misma letra y el correspondiente subíndice. Así, por ejemplo, si a = (−1, 3, 5) ∈ ³, entonces a₁ = −1, a₂ = 3, a₃ = 5.

Adición, multiplicación por escalares y producto escalar (punto) en ⁿ

Como justificación para las definiciones que siguen, consideremos la ecuación lineal en dos variables

2x + y = 5.

Como se hizo en la sección anterior, le damos un valor arbitrario a una de las dos variables, en este caso nuevamente hacemos x = t, de modo que tenemos, despejando y, que y = 5 − 2t y que el conjunto solución es

Así, cada solución tiene la forma (t, 5 − 2t). Esta se puede escribir, como lo indicarán las definiciones 2.3, y 2.4, como

(t, 5 − 2t) = (0 + t, 5 − 2t) = (0, 5) + (t, −2t) = (0, 5) + t(1, −2).

Por otra parte la ecuación en las variables x e y también puede escribirse como

(2, 1) • (x, y) = 5,

y si escribimos = (1, 5) y = (x, y) entonces la ecuación considerada se escribe como • = b, siendo b = 5, y la ecuación se considera ahora como una ecuación en una sola variable = (x, y) ∈ ². Así, necesitamos introducir, para efectos teóricos, tres operaciones con los elementos de ⁿ.

Definición 2.2.1 Supongamos x, y ∈ ⁿ y α ∈ R. Es decir, x = (x₁, x₂, . . ., x_n), y = (y₁, y₂, . . ., y_n). Definimos las siguientes operaciones:

Adición

Multiplicación por escalares ¹

Producto punto o producto escalar

Ejemplo 2.2.1 Consideremos un primer ejemplo en ². Supongamos

x = (1, −3), y = (4, −5), z = (−2, 3) entonces se tiene:

Observaciones 2.2.1

1. La adición en ⁿ es una ley de composición interna ya que se operan elementos de un mismo conjunto, ⁿ, y se obtiene un elemento de ese mismo conjunto. En la denominada multiplicación por escalares, por el contrario, si n > 1, se operan elementos de conjuntos distintos. Específicamente, se multiplica un elemento de , un escalar, con una n−ada de reales para producir una n−ada. De igual manera si n > 1, el producto punto se realiza entre n–adas, elementos de un mismo conjunto, pero el resultado es un escalar.

2. Si n = 1, el producto punto se realiza en ¹ = y coincide con el producto usual de reales. De igual manera, en este caso, puede identificarse una 1–ada x = (x₁), con el real x₁ (o x), por lo que la multiplicación por escalares es la multiplicación usual de reales.

Las operaciones definidas arriba satisfacen propiedades importantes, las cuales son consecuencia de las propiedades del campo real. Ese es el tema de los dos teoremas siguientes.

Teorema 2.2.1 La adición y la multiplicación por escalares en ⁿ satisfacen las siguientes propiedades:

Conmutatividad de la adición. Para todo x, y ∈ ⁿ, se cumple que

x + y = y + x.

Leyes asociativas. Para todo x, y, z ∈ ⁿ y α, β ∈ se cumplen:

Existencia de neutros. Si 0 = (0, 0, . . ., 0), entonces, para todo x ∈ ⁿ se tienen:

Existencia de inversos aditivos. Para todo x ∈ ⁿ, existe −x = (−1)x , tal que

x + (−x) = (−x) + x = 0.

Leyes distributivas. Para todo x, y ∈ ⁿ y α, β ∈ se cumplen:

Demostración

Las demostraciones son rutinarias y son, como se anticipó, consecuencia de las propiedades de campo de los reales. Como ilustración, demostremos la asociatividad de la suma de n−adas. Para demostrar que dos n−adas son iguales hay que demostrar que para cada i en {1, 2, . . ., n}, las componentes i−ésimas son iguales. Se tiene que la i−ésima componente de (x + y) + z es

(x_i + y_i) + z_i = x_i + (y_i + z_i),

por la asociatividad de la suma en . Pero el segundo miembro de la igualdad anterior es la componente i−ésima de x + (y + z). Las demás demostraciones son similares y se dejan como ejercicio.

Las propiedades en el teorema anterior caracterizan a ⁿ como una estructura particular, la de espacio vectorial o lineal sobre el campo de los números reales. En general, una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío, V, con una adición y una multiplicación por escalares (elementos de un campo), que cumplan con las propiedades establecidas en el teorema anterior, se denomina un espacio vectorial sobre el campo (de escalares). Los espacios lineales constituyen el “ambiente natural” del Algebra Lineal. Por ahora, tenemos nuestro primer ejemplo con ⁿ, cuyos elementos en adelante-como en todo espacio vectorial- serán denominados vectores.

Para un campo cualquiera , las definiciones de adición y multiplicación por escalares (elementos del campo) pueden extenderse de manera análoga a ⁿ = {(x₁, x₂, . . ., x_n)|x₁, x₂, . . ., x_n ∈ }, con lo que ⁿ es también un espacio vectorial sobre el campo .

Nótese que (ⁿ, +) es un grupo abeliano, por lo que el teorema 2.2.1 podría enunciarse de la siguiente forma:

Corolario 2.2.2

1. (ⁿ, +) es un grupo abeliano.

2. Para todo x, y ∈ ⁿ y α, β ∈ se cumplen 2.7, 2.9, 2.10 y 2.11.

Las propiedades 2.10 y 2.11 son, específicamente, propiedades distibutivas de la multiplicación por escalares con relación a la adición de vectores y de escalares, respectivamente. Por su parte, el vector 0 = (0, 0, . . ., 0), neutro aditivo de la adición de vectores, será denominado en adelante el vector nulo o vector cero. En general, si es un campo y V un conjunto no vacío sobre el cual se tiene una ley de composición interna (adición)

+ : V × V → V,

así como una operación binaria (multiplicación por escalares)

entonces V es un espacio vectorial sobre el campo si y solo si (1 denota el neutro multiplicativo del campo ):

1. (V, +) es un grupo abeliano.

2. Para todo α, β ∈ y v, w ∈ V se cumplen:

Cada elemento de V es un vector y, como en el caso del campo real, los elementos del campo son denominados escalares. El neutro aditivo del grupo abeliano (V, +) es el vector cero o nulo y, en general es denotado por 0_V.

La estructura de espacio vectorial permite hacer, sobre ⁿ (o cualquier espacio vectorial), “Álgebra” de vectores. Por ejemplo, podemos manipular igualdades de expresiones con vectores como en el Álgebra de reales. En particular, podemos resolver ecuaciones vectoriales del tipo

αx + βa = γc,

donde a, c ∈ ⁿ son conocidos, así como los escalares α, β, γ. La “incógnita” vectorial es x. Si α ≠ 0, podemos entonces “despejar” tal incógnita

Aquí, como en el caso real, la diferencia (resta) se define en base a la existencia de inversos aditivos. Así

v − w = v + (−w)

Para el producto escalar tenemos el siguiente importante resultado.

Teorema 2.2.3 Sean v, w, u ∈ ⁿ y α ∈ . Entonces:

Demostración

Como en el caso del teorema anterior las demostraciones son rutinarias. Mostremos algunas. Por ejemplo, para v ∈ ⁿ se tiene que

por ser una suma de cuadrados de números reales, es decir, una suma de reales no negativos. Por otra parte, si el producto punto considerado es nulo, cada sumando lo es y se tiene, por tanto, que v_i = 0 para todo i; es decir v = 0. Recíprocamente, si v = 0, entonces es claro que v • v = 0.

Para demostrar 2.20 tenemos que la componente i de u + w es u_i + w_i, por lo que²:

Las demostraciones restantes se proponen como ejercicios.

Observacion 2.2.1 El producto escalar definido por 2.5, página 22, puede definirse de manera análoga en ⁿ; sin embargo algunas de las propiedades establecidas en el teorema 2.2.3 no necesariamente son válidas. En particular, los campos finitos _p, con p primo, o el campo complejo no son campos ordenados, en el sentido de la relación de orden ≤ de los reales, que permite introducir los conceptos de positivo y negativo. Así, por ejemplo, en , se tiene que (1, 1, 0) • (1, 1, 0) = 2 pero no podemos afirmar que 2 > 0.³ De igual manera, se tiene que

(1, 1, 2) • (1, 1, 2) = 1 + 1 + 1 = 0,

pero es claro que (1, 1, 2) ≠ (0, 0, 0). Por otra parte, en ², tenemos que (1, i) • (1, i) = 1 + i² = 1 + (−1) = 0, pero (1, i) ≠ (0, 0).

Ejercicios 2.2.1

1. Dados los vectores v = (1, −2, 4), w = (2, −3, 5), u = (−1, 1, 6) − ³. Calcule:

(a) 2v + 3w − 5u.

(b) 3(v • u)w.

(c) (v + 2w) • 3u.

(d) (3u − 2w) • (2v).

(e) (u • u)v + 3w.

2. Si v, u, w son como en el ejercicio anterior, resuelva las siguientes ecuaciones:

(a) 2x + 3u = 5v

(b) 3x = (2u • w)u.

(c) v • x = 0.

3. Sean v = (1, 2, −3), w = (−5, 7, ), u = (0, , ).

(a) Calcule v + w, w, 3v + 2w − u.

(b) Resuelva las ecuaciones (incógnitas vectoriales x e y):

i. 2x + 3v = w.

ii. 3x + 2v = 5w − u.

iii. 2x + y = v − w.

4. Sean v ∈ ⁿ, α ∈ . Demuestre:

(a) α0 = 0.

(b) 0v = 0

(c) αv = 0 si, y sólo si α = 0 o v = 0.

5. Demuestre (explique la diferencia con el ejercicio anterior) que si V es un espacio vectorial sobre un campo , v ∈ V y α ∈ , entonces:

(a) α0_V = 0_V, −v = (−1)v.

(b) 0v = 0_V

(c) αv = 0_v si, y sólo si α = 0 o v = 0_V.