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II
MATHEMATIK FÜRS LEBEN – ERSTER TEIL
Zahlen verkünden Macht und Besitz

Das Rechnen wurde erfunden, weil man reich werden oder wenigstens reich bleiben wollte. Darum ist es attraktiv. Sicher: Geld allein macht nicht glücklich, aber – wie Marcel Reich-Ranicki einmal gesagt haben soll – „es ist besser, in einem Taxi zu weinen als in der Straßenbahn“.

Leider wird das viel zu wenig betont. Obwohl man über das Interesse der Reichen und Mächtigen an Zahlen phantasievolle Geschichten – sind sie nicht wahr, so sind sie doch gut erfunden – erzählen kann, die man bis in die frühesten Epochen der Menschheit verlegt. Es sind Geschichten, die zeigen, wie wichtig es ist, dass man das Addieren und Subtrahieren, das Multiplizieren, das Dividieren beherrscht. Nur damit bewahrt man bei seinem Eigentum den Überblick, kann es vielleicht sogar vermehren.

Schon in der jüngeren Steinzeit, als Menschen sesshaft wurden, beginnt das Rechnen. Der Häuptling eines Stammes will wissen, ob er mehr keulenschlagende Gefährten hat als der Nachbarstamm. Denn wenn dies der Fall ist, kann er den Kampf um einen vielversprechenden Landstrich wagen. Der Häuptling selbst, er ist ja Politiker, ist des Zählens nicht kundig. Aber er beschäftigt einen Medizinmann aus der Gilde der damaligen Gelehrten, einen echten Spindoktor, der ihm diese Arbeit abnimmt. Auf zwei Hölzern schnitzt der Medizinmann Kerben: Bei dem einen genauso viele, wie der eigene Stamm an streitbaren Kriegern sein Eigen nennt. Bei dem anderen genauso viele, wie man beim fremden Stamm an Kämpfern vermutet. Dann werden die beiden Kerbhölzer nebeneinander gelegt und verglichen. Der Unterschied zwischen den Anzahlen der Kerben auf dem Holz des eigenen und dem des fremden Stammes entscheidet, ob man das Wagnis einer Schlacht eingehen soll oder nicht. Tatsächlich dürfte das damit verbundene Subtrahieren, die Bildung der Differenz, die erste aller Rechenoperationen überhaupt gewesen sein. Denn wir wollen immer vergleichen. Waren es einst die Kerben auf Hölzern, sind es heute Stimmen bei Wahlen oder Salden von Haben und Soll. [Siehe Abb. 1]

Abb. 1: Links die Krieger des eigenen Stammes, rechts die keulenschlagenden Kämpfer des gegnerischen Stammes. Deren Anzahlen befinden sich auf den beiden Kerbhölzern, und aus ihnen ersieht man, ob ein Kampf ratsam ist oder nicht.

Im Übrigen waren Kerbhölzer Jahrtausende danach immer noch in Gebrauch. Der Gläubiger, der das Holz, auch Stock genannt, hielt und deshalb englisch der Stockholder heißt, hat mit den Kerben eingetragen, wie viele Taler er dem Schuldner geliehen hat. Darum hat der Schuldner buchstäblich „etwas auf dem Kerbholz“. Selbst das Wort „Zahl“ hat mit dem Kerbholz zu tun: Es entwickelte sich aus dem indogermanischen Wort „del“, das die Einkerbung bedeutet. Unser Wort „Delle“ ist mit ihm verwandt. Ein kritischer Blick auf die Autokarosserie lehrt, wie eindrücklich Zahlen sein können.

Ein echter Gläubiger, ein wahrer Kapitalist der antiken Epoche, hatte nicht bloß einen, sondern mehrere Schuldner. Mehrere Kerbhölzer hielt er in der Hand. Bei der Frage, wie viele Sesterzen er insgesamt verliehen hat, ist der Gläubiger gezwungen zu addieren. Natürlich macht er es gerne, denn im Unterschied zu seinen Schuldnern liebt er die großen Zahlen. Die römischen Zahlzeichen lassen noch erahnen, wie früher die Zahlen geschrieben wurden. Bei den ersten vier Zahlen – I für eins, II für zwei, III für drei, IIII für vier (wir vergessen hier die Schreibweise IV für vier; sie ist jüngeren Datums und im vorliegenden Zusammenhang nur verwirrend) – wird man direkt an die Kerben erinnert. Oder an die Finger einer Hand, wenn man den Daumen verdeckt (so zählt man noch heute bevorzugt im englischsprachigen Bereich). Würde man für fünf das Zeichen IIIII verwenden, hätte man schon Probleme, es auf einem Blick von dem Zeichen IIII für vier zu unterscheiden. Schreibt man stattdessen das Symbol V, das an eine Hand mit weggestrecktem Daumen und den aneinanderhaftenden restlichen Fingern erinnert, hat man die Zahl fünf augenblicklich erfasst. Und es ist klar, dass das Zählen mit VI für sechs, VII für sieben, VIII für acht und VIIII für neun weitergeht. Bei der Zahl zehn denkt man an zwei Hände: ein V wird angeschrieben, das zweite V horizontal gespiegelt darunter, und schon bekommt man das römische Zeichen X für zehn.

Zahlen, die kleiner als 50 sind – und dies sind in den Anfangszeiten des Rechnens gar nicht so kleine Zahlen –, kann man damit erfassen. Aber mühsam ist es doch. Angenommen, der Gläubiger hat dem ersten Schuldner VII Sesterzen, dem zweiten Schuldner XVIII und dem dritten Schuldner XIIII Sesterzen geliehen. Auf XXXVIIII, also auf 39 Sesterzen als gesamten Schuldenstand zu schließen, ist schon eine aufwendige Rechnung. Aber sie will gemacht werden. Denn der Gläubiger möchte über sein verborgtes Kapital Bescheid wissen. Und bereits in römischer Zeit hat man für solche Additionen eigene Rechengeräte erfunden. Man wusste schon damals: Rechnen ist ein ödes Geschäft. Zuerst verschob man Perlen oder kleine Steine, Calculi genannt – das Wort Kalkül für Rechnung kommt daher. Dann konstruierte man ein Gestell, bei dem die Perlen an Stäben entlanggeführt werden: den Abakus. Bis heute wird er in Russland und Asien gelegentlich noch als preiswertes Rechengerät verwendet.

Zahlen geben Sicherheit

Doch gehen wir in noch frühere Zeitalter zurück, drei Jahrtausende vor Christus: Haran, ein reicher Bauer aus Mesopotamien, dem Zweistromland, möchte einige seiner Rinder und Schafe dem Händler Nahor in Ur, der Stadt, aus der Abraham stammte, verkaufen und dafür Saatgut, Textilien und Baumaterial erwerben. Um auf Nummer sicher zu gehen, dass der Knecht, den Haran mit den Tieren zu Nahor schickt, diese vollzählig beim Händler abliefert, nimmt der Bauer einen irdenen Topf und wirft für jedes Rind, das er dem Knecht anvertraut, eine Kugel in den Topf. Und für jedes Schaf, das er verkaufen will, wirft er eine Scheibe in den Topf. Zwar kann Haran noch nicht mit Zahlwörtern zählen, aber die Kugeln und Scheiben leisten das Gleiche. Sodann verschließt Haran den Topf mit einem Deckel und verschmiert den Rand von Topf und Deckel mit Lehm. Das verschlossene Gefäß wird im Feuer gebrannt, sodass der Deckel fest am Topf geheftet bleibt. Mit diesem Gefäß und den Tieren schickt Haran den Knecht auf die mehrere Tage dauernde Reise zu dem Händler in Ur.

Dort endlich angekommen, nimmt Nahor dem Knecht den Topf aus der Hand. Der Händler weiß aus Erfahrung mit den Bauern, mit denen er Geschäfte macht, was es mit diesem Behältnis auf sich hat: Nahor lässt den Topf auf den Steinboden fallen, dieser zerbricht in Dutzende Scherben und die Kugeln und Scheiben kommen wieder zum Vorschein. Jetzt wird gezählt. Kuh – Kugel, Kuh – Kugel: So viele Kugeln, so viele Kühe müssen abgeliefert werden. Schaf – Scheibe, Schaf – Scheibe: Bei den Schafen ist es das Gleiche. Und wehe, wenn eines der Tiere fehlen sollte: Der Knecht müsste es mit seinem Leben büßen. Natürlich: Wenn die Reise zum Händler mehrere Tage in Anspruch nahm und eines der Tiere trächtig war, konnten sogar noch mehr Tiere abgeliefert werden, als es Kugeln und Scheiben im Topf gab. Dies ist der entscheidende Unterschied zwischen der Biologie und der Mathematik: In der Biologie ändert sich alles mit der Zeit. Die Zahlen hingegen bleiben über alle Zeiten hinweg immer die gleichen. Sie sind für immer konstant. Nicht die Biologie, die Mathematik ist die nachhaltigste aller Wissenschaften.

Einzig unser Zugang zu den mathematischen Objekten wandelt sich. Er wird von Generation zu Generation einfallsreicher. So kennt Nahor bereits andere Bauern, die es geschickter machen als der alte Haran. Die jungen Bauern nehmen eine Lehmtafel und ritzen in ihr Zeichen ein: Runde Kreise stehen für die Kugeln, die Haran in den Topf warf, senkrechte Striche stehen für die Scheiben. Wenn danach die Lehm- zu einer Tontafel gebrannt wird, sind die so eingetragenen Zahlen genauso unverwüstlich wie die Kugeln und Scheiben in Harans verschlossenem Topf. Und zusätzlich bieten sie den Vorteil, dass der Knecht auf der langen Reise zum Händler stets überprüfen kann, ob die Tiere in seiner Herde vollzählig vorhanden sind. Noch heute finden wir solche Tontafeln in dem von Euphrat und Tigris durchzogenen Wüstenland mit eingravierten Zeichen. Zwar nicht Kreise und Striche, wie es in der vereinfachten Geschichte beschrieben ist, sondern mit Keilschriftzeichen. Doch diese leisten das Gleiche: Es war das Bestreben der Menschen, über ihren Besitz gleichsam Buch zu führen, das sie zur Erfindung von Zahlen, aber auch zur Erfindung der Schrift veranlasste.

Vom Ursprung des Multiplizierens

„Der Erste, der ein Stück Land eingezäunt hatte und auf den Gedanken kam zu sagen: ‚Dies ist mein‘, und der Leute fand, die einfältig genug waren, ihm zu glauben, war der wahre Begründer der zivilen Gesellschaft. Wie viele Verbrechen, Kriege, Morde, wie viele Leiden und Schrecken hätte nicht derjenige dem Menschengeschlecht erspart, der die Pfähle herausgerissen oder den Graben zugeschüttet und seinen Mitmenschen zugerufen hätte: ‚Hütet euch davor, auf diesen Betrüger zu hören! Ihr seid verloren, wenn ihr vergesst, dass die Früchte allen gehören und dass die Erde niemandem gehört!‘“

1754 erschien die Abhandlung über den Ursprung und die Grundlagen der Ungleichheit unter den Menschen von Jean-Jacques Rousseau. Obiges Zitat bildet den Ausgangspunkt seiner Idee vom Naturzustand des Menschen. In diesem paradiesischen Zustand, so Rousseau, war der Mensch gleichgültig gegenüber Eigentum. Wäre er es nur geblieben, klagt der einfältige Rousseau. Dann gäbe es keinen Kampf um mehr Besitz. Es gäbe nämlich überhaupt keinen Besitz – und auch keine Zahlen. Denn niemand würde sich genötigt fühlen, irgendetwas zu zählen.

Tatsächlich gibt es in schwer zugänglichen Winkeln der Welt immer noch Naturvölker, die von Eigentum und Besitz und daher auch von Zahlen nichts wissen. Sie kennen neben Einzelnem nur noch Paare und höchstens Dreiergruppen. Bei mehr als drei Bäumen sehen Bakairis oder Bororos, Ureinwohner Brasiliens, einfach nur „viele“ Bäume und greifen sich, um dies zum Ausdruck zu bringen, in die Haare. Ganz fremd ist auch uns dies nicht: Als Spaziergänger sehen wir die Bäume im Wald, kommen aber nie auf die Idee, sie zu zählen. Sie gehören uns auch nicht. Es reicht uns, dass es viele sind. Allein der Landwirt, der einen Forst sein Eigen nennt, will über die Zahl seiner Bäume Bescheid wissen.

Ein Stück Land, am besten ein Rechteck, einzuzäunen und als seinen Besitz zu erklären, damit beginnt, behauptet Rousseau, die Geschichte als ein stetes Hin und Her von Reichtum und Armut, von Gewinnern und Verlierern. Dabei ist der Zaun um das Rechteck gar nicht das Wesentliche. Das stellen vier Bauern fest, die Zäune um ihre kleinen rechteckigen Felder anlegen: Der erste Bauer hat ein Feld, das sieben Klafter lang, aber nur einen Klafter breit ist. Der zweite ein Feld, das sechs Klafter lang und zwei Klafter breit ist. Der dritte ein Feld, das fünf Klafter lang und drei Klafter breit ist. Und der vierte hat ein quadratisches Feld, das vier Klafter lang und vier Klafter breit ist. Alle vier Felder haben den gleichen Umfang. Alle vier Bauern brauchen Bretter für jeweils einen 16 Klafter umfassenden Zaun. In diesem Sinn sind alle vier Felder gleich groß. [Siehe Abb. 2]

Abb. 2: Links von oben nach unten die Skizzen dreier Felder: das erste sieben Klafter lang und einen Klafter breit, das zweite sechs Klafter lang und zwei Klafter breit, das dritte fünf Klafter lang und drei Klafter breit. Rechts unten die Skizze des quadratischen Feldes mit vier Klafter Seitenlänge. Alle vier Felder haben den gleichen Umfang, aber verschiedene Flächeninhalte.

Aber wenn es zur Ernte kommt, ärgert sich der erste Bauer, weil seine Nachbarbauern weitaus mehr ernten als er, der dritte und der vierte gar mehr als doppelt so viel. Denn auf den Umfang der Rechtecke kommt es bei der Ernte nicht an, sondern auf den Flächeninhalt, den die Rechtecke einnehmen. Da ist der erste Bauer arm dran, weil sein Feld nur sieben mal eins, also nur sieben Quadratklafter Fläche besitzt. (Ein Quadratklafter ist, wie das Wort sagt, der Flächeninhalt eines Quadrats mit einem Klafter Länge und einem Klafter Breite.) Der zweite Bauer hat wenigstens ein Feld mit sechs mal zwei, also mit zwölf Quadratklaftern Flächeninhalt. Und die Flächeninhalte der Felder des dritten und des vierten Bauern betragen fünf mal drei, also 15, und vier mal vier, also gar 16 Quadratklafter. Darum war seit jeher das Multiplizieren so wichtig: Die Flächeninhalte von Rechtecken kann man damit ausrechnen, wenn man deren Längen und Breiten kennt.

Natürlich wussten die Landwirte schon seit grauer Vorzeit, dass der Umfang ihrer Felder kaum eine Rolle spielt, sondern nur deren Flächeninhalt. Zwar kommt in manchen Volksschulbüchern noch immer die Aufgabe vor: „Ein Bauer umzäunt sein Feld. Es ist 30 Meter lang und zehn Meter breit. Wie lang ist der Zaun?“ Aber eine Fahrt übers Land belehrt, dass dieses Beispiel kaum Realitätsbezug hat. Felder sind nicht umzäunt. Wozu auch? Wenn ein Bauer argwöhnt, dass ihm der Nachbar ein Stück von einem seiner Felder wegnimmt, also etwas von seiner Fläche – und natürlich nicht von seinem Umfang – stiehlt, ruft er sofort den „Geometer“. Damit ist ein Vermessungsingenieur gemeint, der mit seinen mathematischen Kenntnissen feststellt, ob der Argwohn des Bauern berechtigt ist oder nicht. Landwirte verlassen sich auf die Mathematik. Sie tun gut daran.

Von der Kunst des Multiplizierens

Im Mittelalter mussten die Agronomen noch viel mehr auf die Kunst der Mathematiker vertrauen: Ein Bauer aus Trattenbach zeigt seiner Tochter in der Scheune, wie viele Säcke Weizen er dort gelagert hat. Viele sind es, behauptet er stolz. Die meisten gehören seinem Lehensherrn, dem Herren von Kranichberg, aber über ein paar von ihnen darf er selbst verfügen. Er habe sie gezählt. Es sind XVII Säcke. (Wir müssen uns in die Zeit um 1450 zurückversetzen, als man nördlich der Alpen nur römische Zahlzeichen kannte.) Und wie schwer ist so ein Sack, will die Tochter wissen. Er habe die Säcke auf die Waage gestellt, sagt ihr der Vater. Jeder wiegt ungefähr das Gleiche, immer XXIII Pfund. Wie viel Pfund Weizen ist das insgesamt, fragt jetzt das Kind. Da kommt der Bauer ins Schwitzen. XVII müsste er jetzt mit XXIII multiplizieren. Das kann er nicht.

Nur wenn er sehr gewitzt ist, kommt er auf die folgende Idee: Schöner wär es, wenn er seinen Weizen statt in XVII Säcke in XX Säcke gespeichert hätte. Dann hätte er mehr Säcke Weizen. Aber jeder der Säcke wäre dann leider ein klein wenig leichter, als sie jetzt sind. Vielleicht nur XX Pfund statt XXIII Pfund schwer. Modern gesprochen: Der Bauer hat die Zahl 17 der Säcke auf 20 aufgerundet und das Gewicht 23 Pfund eines Sackes auf 20 Pfund abgerundet. Das ist sehr sinnvoll, denn 20 mit 20, in der römischen Schreibweise: XX mit XX, kann er multiplizieren. Er weiß, das zehn, also X, mit zehn, also mit X, multipliziert 100 ergibt. Im Lateinischen heißt 100 centum. Daher kürzt der Buchstabe C in der römischen Zahlenschreibweise hundert ab. Und weil zwei mal zwei vier ergibt, muss XX mit XX multipliziert CCCC als Ergebnis liefern. Der Bauer sollte also rund 400 Pfund Weizen sein Eigen nennen.

Doch wir dürfen davon ausgehen, dass nur wirklich sehr wenige Landwirte so geschickt und einfallsreich denken konnten. Und selbst diese beschäftigt genauso wie den Bauern unserer Geschichte die Frage, wie viel Pfund Weizen er denn wirklich genau hat. Jedenfalls geht der Trattenbacher Bauer am Sonntag zum Pfarrer und bittet diesen um Rat: Er möchte wissen, was XVII mit XXIII multipliziert ergibt. Und der Pfarrer, in weltlichen Dingen fast so gut bewandert wie in geistlichen, kann zwar die Frage nicht beantworten, aber weiß, was zu tun ist: Der Bauer soll nach Wiener Neustadt fahren. In dieser großen Stadt, nur eine halbe Tagesreise von Trattenbach entfernt, gäbe es am Hauptplatz eine Schreibstube, in der ein Rechenmeister sitzt, der sicher die Antwort kennt.

Tatsächlich war im Mittelalter der Beruf des Rechenmeisters hoch angesehen. Jede größere Stadt beschäftigte mindestens einen dieser Gilde. Die besten unter ihnen kamen aus Italien und wurden Cosisten genannt. Denn ihre Kunden stellten andauernd Rechenaufgaben, die mit der Frage „Che cosa?“ im Sinne von „Was kommt heraus?“ endeten. Darum sprach man damals auch vom „Cos“, vom Unbekannten, das es zu berechnen gilt.

Und so sehen wir den Bauern aus Trattenbach nach Wiener Neustadt fahren. Er muss ohnehin in die Stadt, um Verkäufe und Einkäufe zu erledigen, aber den Rechenmeister möchte er unbedingt aufsuchen. „Was kommt heraus, wenn man XVII mit XXIII multipliziert“, fragt er ihn. Und erhält als Antwort: „Zwei Gulden.“ „Zwei Gulden, was bedeutet das?“, fragt der Bauer zurück. „Zwei Gulden sind zu bezahlen, dass ich bei einer Aufgabe wie dieser die Antwort gebe“, erklärt der Rechenmeister. Ein wenig betroffen von der großen Summe kramt der Bauer die zwei Münzen aus seinem Sack und legt sie auf den Tisch des Rechenmeisters. Jetzt müsse der Bauer weggehen, verlangt der Cosist streng. Denn zuschauen bei seiner Rechenarbeit dürfe man nicht. Sie sei nicht nur schwierig, sie sei auch geheim. Also geht der Bauer unverrichteter Dinge in das gegenüberliegende Gasthaus und wartet dort eine geschlagene Stunde, bis er vom Rechenmeister das Ergebnis abholen darf. CCCLXXXXI, so lautet es: Die drei C stehen für 300, erklärt der Rechenmeister dem verdutzten Bauern. Das L, eigentlich die eckig geschriebene untere Hälfte eines C, steht für ein halbes C, also für 50. Die nachfolgenden vier X symbolisieren 40, sodass zu den 300 noch 90 und zum Schluss noch ein I, also noch eins hinzukommen.

So übel war die Abschätzung CCCC, also 400 Pfund für das Gewicht des Weizens, der in der Scheune des Bauern lagert, gar nicht. Nur neun Pfund weniger hat die genaue Rechnung des Cosisten ergeben. Es wäre vom Bauern klüger gewesen, sich mit der Schätzung abzufinden. Denn wirklich glücklich war er mit dem nach Trattenbach zurückgebrachten Resultat nicht. Es war so eigenartig kompliziert – der Bauer hat kein Gefühl dafür, was CCCLXXXXI wirklich bedeutet. Zwar hatte er dem Rechenmeister viel Geld dafür bezahlt, aber wie es zustande kam, verstand er nicht. Es blieb ihm nur übrig, an die Richtigkeit des Ergebnisses zu glauben. Zwei Gulden ist das eigentlich nicht wert.

Mathematik als Schritt in die Freiheit

Im Jahr 1522 gab Adam Ries, ein Cosist aus Staffelstein bei Bamberg, ein Buch mit dem Titel Rechnung auf der Linien und Federn heraus, das der Rechenmeisterzunft den Untergang bescherte: Das Buch, geschrieben in der Sprache des Volkes, erklärte in deutschen Landen zum ersten Mal, dass man Zahlen auch anders schreiben könne als mit den römischen Zahlzeichen. In Spanien und in Italien kannte man sie schon: die von Arabern aus Indien eingeführten Ziffern, die damals ungewohnten Symbole 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 für die ersten neun Zahlen. Besonders geheimnisvoll aber war das Symbol 0 für null, das buchstäblich nichts bedeutet. Als der italienische Gelehrte Leonardo von Pisa, als Filius, also als Sohn des Bonacci einfach Fibonacci genannt, seiner Heiligkeit dem Papst dieses Symbol zu erklären versuchte, stieß er auf pures Unverständnis. Wie kann man, so fragte der Papst ganz vernünftig, „nichts“ symbolisieren? Aber all der wohlbegründeten Skepsis zum Trotz: Man braucht das Symbol 0, um weitere Zahlen mit den Ziffern schreiben zu können. Denn in Zahlen wie zum Beispiel 1003 besitzen die Ziffern 1 und 3 sogenannte Stellenwerte. Die Ziffer 3 ist in ihr die Einer-, die Ziffer 1 in ihr die Tausenderziffer. Und weil bei der Zehner- und bei der Hunderterstelle nichts hinzukommt, werden in 1003 diese beiden Stellen jeweils mit der eigenartigen Ziffer 0 belegt. Das ist wichtig, um verstehen zu können, dass – glaubt man Leporello, wenn er die Registerarie singt – Don Giovanni in Spanien bereits 1003 Frauen verführte. Gäbe es die Null nicht, hätte er bloß 13 Frauen verführt. Das wäre für einen Schwerenöter einfach nur blamabel.

Die Ziffern und ihre Stellenwerte in Zahlen erklärt Adam Ries im ersten Kapitel seines Buches, das er mit „Nummerieren“ überschreibt. Das nächste Kapitel heißt „Addieren“. Wie es heute noch Volksschulkinder lernen, lässt Adam Ries die zu addierenden Zahlen untereinander schreiben, fein säuberlich nach Stellenwerten geordnet, und erklärt, wie man mit der Einerstelle beginnend die Ziffern der Summe mit ansteigenden Stellenwerten ermittelt. Darauf folgt das Kapitel „Subtrahieren“. Auch hier schreibt man die kleinere Zahl, die man von der größeren abzieht, Stellenwert für Stellenwert darunter an. Und Adam Ries erklärt die Rechnung so, wie sie noch heute den Kindern in den Schulen beigebracht wird.

Danach kommt ein für alle, die das Buch lasen, besonders spannendes Kapitel: „Multiplizieren“. Adam Ries erklärt auch diese Rechenoperation für jede und jeden verständlich. Was vorher nur die Rechenmeister mit von ihnen geheim gehaltenen Regeln kunstreich vollführten, können nun alle. So sie mit dem Einmaleins vertraut sind. Und Üben muss man natürlich, will man das Rechnen gewandt und möglichst fehlerfrei beherrschen. Aber die Leute rechneten gerne, und Adam Ries gab ihnen in seinem Buch eine hinreichende Fülle von Übungsaufgaben. Denn jetzt brauchten die Leute nicht mehr einen Cosisten zu beschäftigen, ihm ihr sauer verdientes Geld zu zahlen und von ihm Ergebnisse abzuholen, an die sie glauben mussten und die sie nicht überprüfen konnten.

Doch mit dem Multiplizieren hört das Buch nicht auf. Es folgt ein weiteres Kapitel: „Dividieren“. Dies ist die letzte und zugleich schwerste der Grundrechnungsarten. Wenn man Zahlen in römischen Zahlzeichen schrieb, war das Dividieren eine Kunst, die selbst nur wenigen Rechenmeistern wirklich gut geläufig war. Im Mittelalter wurde es an den Universitäten gelehrt, so anspruchsvoll war es. Aber mit den arabischen Zahlzeichen und der Kenntnis des Einmaleins kann es jede und jeder lernen und nach hinreichend langem Üben gut nachvollziehen. Das Dividieren selbst ist wichtig, um das letzte und krönende Kapitel verstehen zu können, das im Buch des Adam Ries den Abschluss bildet: „Regula di tre“ überschrieb er es, übersetzt der „Dreisatz“, was im bayerischen und österreichischen Raum die „Schlussrechnung“ heißt. Darin verbergen sich die Rechnungen im Handel, die deshalb ganz besonders hoch im Kurs stehen, weil sie mit Geld zu tun haben.

„910 Kreuzer muss man zahlen, wenn man 35 Ellen Stoff kaufen möchte.“ Das ist des Dreisatzes erster Satz. In ihm werden die Tatsachen kundgetan. „Jemand will nicht 35, sondern 42 Ellen Stoff kaufen.“ Das ist des Dreisatzes zweiter Satz. In ihm wird ein Ziel vorgegeben. „Wie viele Kreuzer muss er dafür zahlen?“ Diese Frage ist des Dreisatzes dritter Satz. Adam Ries erklärt gewissenhaft, dass man aus den mitgeteilten Tatsachen zuerst zu ermitteln hat, wie viel eine Elle Stoff kostet. Zu diesem Zweck ist 910 durch 35 zu dividieren, und die Rechnung führt er penibel vor. (Dass man einfacher das Doppelte von 910, also 1820, durch das Doppelte von 35, also durch 70, oder einfacher 182 durch 7 dividieren könnte, was im Kopf mit dem Ergebnis 26 gelingt, verschweigt er. Denn solche Tricks verwirren den Anfänger nur.) Und nun, so Adam Ries, muss der Preis von 26 Kreuzer für eine Elle Stoff mit 42 multipliziert werden. Auch das führt er wie ein gewissenhafter, aber geistloser Buchhalter nach den von ihm erklärten Rechenregeln vor. (Er verschweigt, dass man 42 sehr leicht mit 25 multiplizieren kann, indem man es mit 100 multipliziert und von dem Ergebnis 4200 ein Viertel, also 1050, berechnet. Gibt man noch einmal 42 dazu, bekommt man – eigentlich in einer Kopfrechnung – das genaue Produkt: 1092.) Zum Schluss muss eine Antwort geschrieben werden, fordert Adam Ries: „1092 Kreuzer muss der Käufer für 42 Ellen Stoff zahlen.“

Sicher kommt man schneller zu diesem Resultat, wenn man sich überlegt, dass 42 Ellen Stoff um ein Fünftel mehr Stoff ist als 35 Ellen Stoff. Ein Fünftel, das sind 20 Prozent. Und 20 Prozent von 910 kann man leicht im Kopf ermitteln: man braucht nur 91 mit zwei zu multiplizieren. Dies ergibt 182, und um so viele Kreuzer sind die 42 Ellen Stoff teurer als die 35 Ellen. Und tatsächlich sind 910 Kreuzer um 182 Kreuzer vermehrt die 1092 Kreuzer von der Antwort des Adam Ries.

So flotte Überlegungen waren dem behäbigen und stur nach seinen Regeln vorgehenden Adam Ries fremd. Manchmal kann man Abkürzungen wie die oben genannten finden, aber nicht jederzeit. Die starre Vorgangsweise des Adam Ries jedoch greift immer. Das ist ihr Vorteil. In Italien hingegen ging man bereits beim Rechnen variantenreicher vor. Nicht umsonst ist „Prozent“, einer der heikelsten Begriffe der elementaren Mathematik, eine italienische Erfindung. Er stammt vom Wort „per cento“, wörtlich: „von hundert“. Im eigenartigen Zeichen % kann man im oberen Kreis ein „c“ mit einem verkümmerten „en“, im Querstrich ein „t“ und im unteren Kreis ein „o“ des italienischen „cento“ erahnen.

Dem Erfolg des Buches von Adam Ries tat dessen schulmeisterliches Gehabe keinen Abbruch. Noch zu Lebzeiten des Autors wurden von dem Werk mehr als 100 Auflagen gedruckt. Das Buch verkaufte sich wie die warmen Semmeln. Denn alle wollten rechnen können. Nicht weil das Rechnen so spannend wäre. Das ist es beileibe nicht. Sondern weil man damit über seinen Besitz Bescheid weiß. Weil man damit die gerechten Preise ermitteln kann. Weil man damit von niemandem mehr abhängig ist, vor allem nicht von Cosisten, die einem das Geld aus der Tasche ziehen.

Seit dem Jahr 1522 ist das Rechnen der erste Schritt in die Freiheit des selbständigen Denkens.