Читать книгу: «Fundamentos de matemática»

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos a lo largo de la historia

Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, este fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos.

En el siglo XXII a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10).

Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban «hijo» al numerador, y «madre» al denominador.

La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que solo con los números naturales y las fracciones no podían realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción y llamaron a tal razón «alogos» o irracional. Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor. Empezaron a encontrarse expresiones como la raíz cuadrada de números negativos que no se sabían interpretar, de aquí surge un nuevo tipo de números, que denominaron ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

Solo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de –1 el nombre de i (imaginario) y en 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número «ordinario» (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1, llamado unidad imaginaria.

Extracto tomado de ECURED (2014) Conjuntos numéricos (consulta: 20 de enero) (http://www.ecured.cu/index.php/Conjuntos_num%C3%A9ricos)

Objetivos

• Definir los conjuntos numéricos.

• Distinguir las diferencias que existen entre un número racional e irracional, o entre un número real y complejo.

Introducción

Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo y recibe el nombre de numeral.

A lo largo de la historia, cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa el de numeración romana, que se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar cantidades:

I: uno

V: cinco

X: diez

L: cincuenta C: cien

D: quinientos M: mil

Actualmente, el sistema universalmente aceptado (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez 10, por lo que se compone de las cifras cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas cada una relacionada con la otra y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones.

Gráfico 1.1 Tipos de conjuntos numéricos

1. Números naturales

DEFINICIÓN: son los que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacío.

SIMBÓLICAMENTE: N = {1; 2; 3; …; n; n + 1}

Están ordenados en forma creciente, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:

Actividad 1.1:

• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplifique.

• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplifique.

2. Números enteros

Para solucionar el problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se agrega el número cero y los números opuestos a los naturales.

De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4).

DEFINICIÓN: el conjunto de los Números Enteros está formado por la unión de los Naturales, el cero y los opuestos de los Números Naturales.

SIMBÓLICAMENTE: Z = {…–3, –2, –1,0,1,2,3,…}

En general si a es un entero, se dice que, – a es el opuesto de a.

Los números enteros permiten representar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etcétera).

Nota: al conjunto ₀ = {0; 1; 2; 3;…} que como se ve tiene como elementos al cero y a los números naturales se le denomina conjunto de los números cardinales.

Operaciones en Z

La suma y el producto de números enteros es siempre otro número entero.

Ejemplos:

3 + 7 = 10

3 + (–7) = –4

(–3) + 7 = 4

(–3) + (–7) = –10

3.7 = 21

3. (–7) = –21

(–3). 7=–21

(–3). (–7) = 21

La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a – b = a + (–b), donde a es el minuendo y b es el sustraendo.

Ejemplos:

3 – 7 = 3 + (–7) = –4

3 – (–7) = 3 + 7 = 10

(–3) – 7 = (–3) + (–7) = –10

(–3) – (–7) = (–3) + 7 = 4 ≠ 3 + 7 = 10

La división entre números enteros nos arroja como resultados dos números enteros llamados cociente y resto.

Si denotamos con a al dividendo, con b al divisor, con q al cociente y con r al resto, se tendrá que al dividir a entre b, el cociente q indica las veces que b está contenido en a, pudiendo quedar un resto r, positivo o nulo. Esto se expresa con la siguiente igualdad: a = q. b + r, 0 ≤ r ≤ |b|.

La división a:b es la operación que representa la acción de repartir a elementos de un conjunto en b partes iguales, quedando en muchos casos un residuo no nulo. En todos los casos q y r son únicos.

Ejemplos:

1. Al repartir 32 caramelos entre 3 hermanitos, a cada uno les tocan 10 caramelos y sobrarán 2. Simbólicamente se tendrá: 32 = 3 · 10 + 2.

2. Si se quiere repartir una deuda de $ 45 en 8 personas, a cada una le corresponderá pagar $ 6 quedando un dinero a favor de $ 3. Esto se expresa formalmente diciendo que la división de –45 entre 8 arroja un cociente – 6 y resto 3 pues – 45 = 8 · (– 6) + 3.

Actividad 1.2:

Complete:

• La suma de dos números enteros da siempre un número ........................................

Anote dos ejemplos: ........................................

• La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ........................................

Anote dos ejemplos: ........................................

3. Números racionales

¡Dividir es repartir en partes iguales!

Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52 cartas.

El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?

¡Tú puedes deducir la respuesta!

DEFINICIÓN: son los que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Se pueden expresar como fracción.

EN SÍMBOLOS:

Los números racionales representan partes de un todo.

También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:

Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números racionales.

Observe que:

Entonces «Todos los enteros son racionales». Es decir

Notación decimal

Todo número racional puede expresarse en notación decimal ya sea exacta o infinita periódica.

Cada número racional expresado en notación decimal está compuesto de dos partes:

es un conjunto denso

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.

Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales, encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales, por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.

Actividad 1.3:

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.

1.

( )

2.

( )

3.

( )

4.

( )

4. Números irracionales

Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica, pero ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO. Existen otros números que junto a los números racionales completan a la recta numérica: los números irracionales.

DEFINICIÓN: Los números irracionales son los que no se pueden expresar como fracción. En símbolos:

I = {x / x no se puede expresar como fracción

Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas.

SIMBÓLICAMENTE:

Ejemplos:

Los siguientes son números irracionales famosos. Están redondeados en la quinta cifra decimal, con lo cual se obtiene un valor aproximado bastante aceptable.

a. El número PI: = π ≈ 3,14159

b. El número e ≈ 2,71828

c. El número de oro:

d. Raíces no exactas como son:

PI (π): es la relación que existe entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. Quiere decir que si divides el perímetro por el diámetro de cualquier circunferencia resulta el número π.

El número π tiene un valor de: 3,14159265…

Este número es de los más utilizados en matemáticas, física e ingeniería porque la circunferencia es un elemento muy común.

Ubicación exacta de

Con ayuda del Teorema de Pitágoras podemos ubicar de manera exacta el número . Si construimos un triángulo rectángulo de catetos unitarios, la hipotenusa mide . Luego, con ayuda de un compás trasladamos la medida de la hipotenusa a la recta real.

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Una operación en I es una manera de asociar a cada par de números irracionales, otro número irracional bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la resta, la multiplicación, el cociente y la extracción de raíces (exceptuando la radicación de números negativos de índice par).

Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales.

5. Números reales

DEFINICIÓN: el conjunto de los números reales surge de la unión de los números racionales y de los irracionales. Se denota como Comprende a todos los sistemas numéricos anteriores.

Se habla del orden en los números reales a través de la propiedad de tricotomía afirmando que dados n y m dos números reales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

Al igual que en los conjuntos , , e I, los números reales se pueden representar en una recta, solo que en este caso no hay puntos discretos, sino se trata de una recta continua:

La recta sobre la cual se representa a los números racionales e irracionales se llama recta real. A cada punto de esta recta se le asocia un único número real llamado coordenada o abscisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le vincula un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina Sistema de Coordenadas Unidimensional.

En general, dado un punto P cualquiera en la recta, al número real a se le llama coordenada o abscisa de P y se denota por P(a), que se lee: punto P de coordenada a.

Ejemplo:

Ubiquemos de forma aproximada los siguientes números en la recta real:

Solución

En forma de coordenadas, los números toman la forma:

Que en la recta real están localizados así:

Una operación en es una manera de asociar a cada par de números reales, otro número real bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la multiplicación (la resta se considera como la suma de números de diferente signo y la división como la multiplicación de un número por el recíproco de otro, siempre cuando el segundo no sea cero), la radicación de números positivos y la radicación de índice impar de números negativos. Es decir, las operaciones que se definen en este conjunto son todas excepto dos:

• La división entre cero.

• La extracción de raíces de índice par de números negativos.

Propiedades Básicas

Potenciación

Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que aⁿ se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:

Ejemplo:

a⁶ = a. a. a. a. a. a. a

Decimos entonces que aⁿ es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0;

Actividad 1.4:

Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

a. 2⁸ = 2². 2⁶ = 2⁵. 2³

( )

b. (8+3)² = 8² + 3²

( )

c. (8.3)² = 8² + 3²

( )

d. (2³)² = 3⁵

( )

e. (2³)² = 2⁶

( )

f. – 3² = (–3)⁶

( )

g. 5⁴ = 4⁵

( )

h.

( )

i. 5^–2 = –10

( )

La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.

Propiedades de la Potencia
Distributiva con respecto al producto	(a · b)m = am · bm
Distributiva con respecto a la división
Producto de potencias de igual base	an am = an + m
División de potencias de igual base
Potencia de potencia	(an)m = an.m

Observación:

Como se apreció en el ejercicio anterior, la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?

• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?

Radicación

Para los enteros positivos n, ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, bⁿ. Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = bⁿ para definir la n–ésima raíz de a.

En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a

Si a es un número real positivo, si y solo si a = b² y b > 0

Además,

Ejemplo:

Actividad 1.5:

Calcule el valor de cada una de las expresiones que siguen, en caso de estar definidas:

a.

b.

c.

En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo:

2³ = 8 y (–5)³ = –125

Se puede decir entonces que:

Si a y b son números reales cualesquiera, si y solo si a = b³

Ejemplos:

Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas solo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.

Observaciones:

• recibe el nombre de n-ésima raíz principal de a para indicar que se define positivo si a > 0.

• El número a es el radicando, es el signo radical, n es el índice del radical y es la expresión radical o raíz n–ésima de a–

Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.

Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:

Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto a la división
Raíz de raíz

Actividad 1.6:

• Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Proponga ejemplos que muestren que la propiedad distributiva no se cumple.

• ¿Qué sucede al aplicar la propiedad distributiva al siguiente radical:

Orden de operaciones

Orden de operaciones sin símbolos de agrupación o colección

Para calcular expresiones numéricas en las cuales no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden:

1. Potencias y raíces.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Adiciones y sustracciones.

Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera de izquierda a derecha.

Ejemplo: 10 + 12 ÷ 3 × 2 = 18

Ejemplo: 10 + 12 / 3 × 2 = 14,6666

Orden de operaciones con símbolos de agrupación o colección

Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves, se efectúan, primero, las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.

Trabajemos en clase

1. Complete con los símbolos ∊, ∉, ⊆ o ⊆ según corresponda.

2. Dado el conjunto encuentre:

Represente el conjunto S en la recta numérica en forma aproximada.

3. Desarrolle:

4. Calcule el valor de:

5. Solucione:

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.

a. La suma de dos números naturales es siempre un número natural.

( )

b. La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural

( )

c. El cuadrado de un número racional negativo es un número racional positivo.

( )

d. Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y .

( )

e. El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.

( )

2. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique la respuesta proponiendo un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser verdadera.

a. Si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0

( )

b. (–a) · (–b) = (a . b)

( )

c. El cociente entre un número y su opuesto es igual a –1

( )

d. a + (– b + c) = a – b + c

( )

e. El inverso de 2 es 12

( )

f. a: (b + c) = a:b + a : c, siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0

( )

g. b – [–c · (2 – 1) – 1] = b

( )

h. a – (b + c) = a – b + c

( )

i. (b + c): a = b: a + c, con a ≠ 0

( )

j. Para todo a ∈ , a: a^–1 = 1

( )

k. Para todo a ∈ , (a^–1)^–1 = a

( )

l. a · (–b) = a · b

( )

m. a · (b – c) = a · b – a · c

( )

n. La ecuación 2x = 1 tiene solución en

( )

o. –(– a) = a

( )

Habilidades de cálculo

1. Responda:

a. Si m = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13; 15 y 16 en términos de m?

b. Sea n un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior?

c. Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior?

d. Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿y x – 1?

e. Si x es cualquier entero ¿2x es par o impar? ¿y 2x – 1? ¿y 2x + 1?

2. Calcule:

3. Complete con = o ≠ y mencione qué propiedades se cumplen o no se cumplen:

a. (a + b)ⁿ____aⁿ + bⁿ

b. a^b____b^a

c. a^bc____(a^b)^c

d. (p · q)^a____p^a · q^a

4. En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Indique cuáles son y corríjalos.

a. (2² · 2^–3 · 2⁵)² = (2⁴)² = 2¹⁶

b. (5²)⁴ ÷ (5^–3)² = 5^–6 ÷ 5^–6 = 5⁰ = 1

c.

d. (7.2–14)⁰ + 5⁰ = 2

5. Desarrolle:

Modelación

1. Un semáforo comienza su funcionamiento con la siguiente secuencia y duración: luz roja 4 minutos luego amarilla 3 minutos, finalmente, verde 2 minutos. Si comienza con luz roja a las 12:15 horas, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son correctas?

I. A las 12:25 tiene luz roja.

II. A las 12:30 tiene luz amarilla.

III. A las 12:35 tiene luz verde.

a. Solo I

b. Solo I y II

c. Solo I y III

d. Solo II y III

e. I, II y III

2. Si las letras p y q indican suma 2 y resta 3 respectivamente, entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones tiene un mayor valor?

a. 5(1 + p)

b. 3(q + 6)

c. 2(q + 8)

d. 3(p + 4)

e. 10(q + 2)

3. Claudio tiene 8 bolitas más que Juan. Juan tiene 5 bolitas menos que Andrés, y Patricio 3 bolitas más que Andrés. Entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes aseveraciones es o son correctas?

I. Juan es quien tiene menos bolitas.

II. Claudio es quien tiene más bolitas.

III. Claudio tiene 3 bolitas más que Andrés.

a. Solo I

b. Solo II

c. Solo I y II

d. Solo I y III

e. I, II y III

4. ¿En cuántos minutos más serán las 11:45, si hace 20 minutos eran las 9:15?

a. 150 minutos

b. 130 minutos

c. 120 minutos

d. 110 minutos

e. 100 minutos

5. En 14 días más daré mi segunda prueba de Matemática. Si la primera prueba fue 22 días antes que la segunda, hace cuarenta días atrás, ¿cuántos días faltaban para rendir mi segunda prueba?

a. 4

b. 18

c. 32

d. 40

e. 48

6. Si las letras del abecedario representan a los primeros números naturales de menor a mayor respectivamente, entonces es correcto afirmar que:

I. c + c = b × c

II. b×(a + b) = b + c

III. c + a × b = a × b × c

a. Solo I

b. Solo I y II

c. Solo I y III

d. Solo II y III

e. I, II y III

7. La diferencia entre dos números es 8. Si el mayor es cuatro unidades menos que el doble del menor, entonces ¿la suma de los números es?

a. 20

b. 28

c. 30

d. 32

e. 36

8. Si (x² – 4x + 4) representa el área de un cuadrado, entonces su perímetro queda representado por:

a. x – 2

b. 4x – 2

c. 4x – 8

d. 4x – 16

e. 4x + 8

9. Daniela debe tomar un litro y medio de leche diario. Si con 120 gramos de leche en polvo se hace un litro ¿cuántos kilogramos necesita para 30 días?

a. 4,4

b. 4,5

c. 4,8

d. 5,4

e. 5,6

10. Se envasa arena en sacos de 4 kilos (A) y sacos de 8 kilos (B). Si se debe completar 80 kilos de arena ¿qué combinación de sacos se puede usar?

I. 5A + 5B

II. 12A + 4B

III. 2A + 9B

a. Solo II

b. Solo III

c. Solo I y II

d. Solo II y III

e. I, II y III

Páginas web para consultar

Más ejemplos y ejercicios sobre números reales:
http://www.vitutor.com/di/re/r2.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-reales.html

Números racionales

Lectura introductoria a los Números racionales. Historia de los camellos

Un viejo pastor que sabía que se moría, tenía como fortuna 17 camellos que había alquilado a los conductores de caravanas. Vivía con sus tres hijos Hussein, Hassan y Hassin ¿qué sería de ellos?, se preguntaba con preocupación. Sabía que sus hijos aunque buenos y trabajadores, eran muy peleones. Una tarde cuando caía la noche, el viejo reunió a sus tres hijos y les dijo:

—Atended hijos míos. Yo sé que no estaré ya mucho tiempo con ustedes, recordad esto: vuestra riqueza son los 17 camellos que les dejo. Vosotros los repartiréis de la siguiente forma: Tu Hussein, eres el mayor, como has trabajado mucho tiempo conmigo te dejo la mitad de mi manada. A ti Hassan, el menor, que has trabajado también conmigo, pero menos tiempo, te dejo la tercera parte. Y en cuanto a ti Hassin, que eres el pequeño y no has tenido tiempo de trabajar conmigo, te doy la novena parte. ¿Respetaréis mi última voluntad?—

—Te lo prometemos padre—

A la mañana siguiente, el viejo pastor murió y sus hijos lo enterraron en el desierto. Después se pusieron a pensar en el reparto de la manada. Se acordaron bien de lo que su padre les había dicho, pero no llegaron a encontrar la forma de repartir diecisiete camellos en dos, ni en tres ni en nueve.

—Nuestro padre nos ha metido un gran lío. La mitad de diecisiete camellos es ocho y medio— dijo uno de los hermanos.

—Se puede matar o venderlo a uno y repartir el precio en tres. También podemos esperar hasta que las camellas tengan camellitos. Sí, pero ¿si se muere una camella?—

Los tres hermanos no llegaban a salir del embrollo. Entonces, vieron llegar a un hombre montado en un viejo camello pelado del todo, que les pedía hospitalidad para la noche

—Es Dios quien te envía— le dijo Hussein —Tú podrás darnos un consejo—. Y le explicó el problema del reparto. El viajero escuchó atentamente, reflexionó en silencio y después respondió:

—Hay una solución. Yo os doy mi camello. Así serán dieciocho camellos y podréis hacer el reparto—.

Entonces, hicieron el reparto. Hussein tomo la mitad, es decir, nueve camellos. Hassan la tercera parte, es decir, seis camellos y Hassin la novena parte, es decir, dos camellos. Por la mañana, feliz de haber encontrado la solución, el viajero sobre su viejo camello pelado, el camello 18, continuó su camino.

DE LA CRUZ, Armando (2012). Separata de Números Racionales. Lima: IEP «EDUARDO PALACÍ».

Objetivos:

• Identificar y representar gráficamente los números fraccionarios.

• Organizar estrategias para resolver operaciones combinadas con los números racionales.

• Matematizar situaciones concretas en las que se presentan números racionales.

Ampliación del campo numérico

Analizaremos porqué las operaciones indicadas son posibles de realizar en los respectivos campos numéricos.

Como se estudió anteriormente, en el conjunto de los números naturales, solo eran posibles las operaciones de la adición, la multiplicación y la potenciación, por que cumplen la Ley de Cierre o Clausura.

Al incorporar los números negativos, se resolvió el problema de la resta cuando el minuendo es menor que el sustraendo.

A continuación, estudiaremos la ampliación del campo numérico para resolver el problema de la división, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.

El esquema anterior se expresa, gráficamente, en el siguiente diagrama.

Necesidad de la creación de los números fraccionarios

Los números fraccionarios se crearon para solucionar la división, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.

Ejemplos:

Conjunto de números racionales

El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los números enteros, unido con el de los números fraccionarios (F).

A los números racionales se los designa con la letra , inicial de la palabra quotient que en inglés significa cociente.

Al incorporar los números negativos, se resolvi

A los números racionales se los designa con la letra , inicial de la palabra quotient que en inglés significa cociente.

Número racional

Definición: se llama número racional a todo número que puede ser expresado como una fracción.

Ejemplos:

Representación de los números racionales en la recta numérica

A todo número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero no todos los puntos de la recta numérica corresponden a números racionales.

Esto significa que existe una correspondencia unívoca entre los puntos de la recta numérica y el conjunto de los números racionales.

Los números racionales positivos se representan a la derecha del cero, los racionales negativos a la izquierda del cero.

Para representar en la recta números fraccionarios se divide la unidad en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas como indica el numerador.

Relación entre números fraccionarios y números decimales

Como se sabe, las fracciones se utilizan para expresar cantidades que no son números enteros. Pero en la práctica, para indicar esas cantidades es frecuente emplear números decimales.

Por ejemplo, decimos 0,6 m en vez de

También debemos recordar que toda fracción es un cociente indicado entre dos números enteros, por lo tanto, a cada fracción le corresponde un número decimal que es el resultado de la división entre el numerador y el denominador.

Actividad 1.7:

• Complete la siguiente tabla:

Teniendo en cuenta las expresiones decimales obtenidas, se observa que existen dos tipos de números decimales.

1. Números cuya parte decimal es finita o limitada, que se denominan números decimales finitos.

2. Números cuya parte decimal es infinita periódica o ilimitada periódica se denominan números decimales periódicos.

Conclusión

• Toda fracción que tiene en el denominador, potencias de 2, de 5 o producto de ambas potencias, se transforman en números decimales exactos o finitos, es decir, con un número exacto de cifras decimales.

Toda fracción que tiene en el denominador, factores que no sean potencias de 2 o de 5, se transforman en expresiones decimales periódicas.

Actividad 1.8:

1. Escriba los siguientes números indicando cuál es su período:

a.

b. 0,151515...=

c. 5,432432...=

d. 123,1312312...=

e. 0,236565...=

f. 0,125125...=

2. Clasifique los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o mixtos:

a. 2,424242

b. 3,25

c.

d.

e. 0,42 =

f.

g. –0,4 =

Transformación de una expresión decimal en fracción

Ya se estudió que toda fracción se puede expresar como número decimal. La afirmación recíproca también es válida, es decir que todo número decimal se puede expresar como fracción.

Transformación de un número decimal finito

Para expresar un número decimal finito en fracción, se escribe como numerador, el número dado sin la coma decimal y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado. Luego se simplifica todo lo posible.

Actividad 1.9:

a. 1,2 =

b. 0,4 =

c. 1,08 =

d. 0,026 =

Transformación de un número decimal periódico

Periódico puro

Para transformar un número decimal periódico puro en fracción, se escribe como numerador el número dado sin la coma decimal y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el período.

Si tiene parte entera se le suma. Luego, se busca la fracción irreducible correspondiente.

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

e.

Periódico mixto

Para transformar un número decimal periódico mixto en fracción, se escribe como numerador el número dado sin la coma decimal y se le resta el número formado por la parte entera y las cifras decimales no periódicas y como denominador, tantos 9 como cifras decimales tenga el periodo, seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

Ejemplos:

Significado del periodo 9

Ejemplos:

Periodo 9

Cuando en un número decimal periódico, el periodo es 9, se aumenta una unidad a la cifra anterior al periodo, transformándose en un número entero si es una expresión periódica pura, o un número decimal exacto si es una expresión periódica mixta.

Actividad 1.10:

Exprese los siguientes números decimales como fracción irreducible:

a. 1,25 =

b. 1,333...=

c.

d.

e.

f. 1,33 =

g. 0,05454...=

h.

i.

j. 0,75 =

Revisión de operaciones con números racionales

Todas las operaciones que se realizan con números enteros también pueden realizarse con números racionales.

Como a las cuatro operaciones fundamentales (+, –, ×, ÷) se las comienza a estudiar en cuarto año de la escuela primaria, solo se realizará una rápida revisión y se profundizará más, la potenciación y la radicación de números racionales.

Suma y resta de números racionales

Suma y resta de números fraccionarios de igual denominador:

Para sumar o restar números fraccionarios de igual denominador se escribe el mismo denominador y se suman o se restan los numeradores.

Suma y resta de números fraccionarios de distinto denominador:

Para sumar o restar números fraccionarios de distinto denominador se buscan fracciones equivalentes a las dadas, cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores dados.

De este procedimiento surge la siguiente regla práctica:

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se escribe como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores dados, luego este valor se divide por cada uno de los denominadores y a ese resultado se le multiplica por los numeradores. Luego, se suma o se resta, según corresponda.

Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales, se suman o se restan las cifras de igual valor relativo. Para esto, se ubican en columnas las cifras haciendo coincidir la coma decimal.

a. 158,32 – 25,35 = 132,97

b. – 160,12 107,32 =

c. 45,8 – 180 =

Suma y resta de números racionales

Multiplicación y división de números racionales

Para multiplicar o dividir números racionales se utiliza la misma regla de los signos que se estudió para números enteros.

• El producto (o cociente) de dos números racionales de igual signo es un número racional positivo.

• El producto (o cociente) de dos números racionales de distinto signo es un número racional negativo.

También, para determinar el signo de un producto o cociente de números racionales, podemos expresar la siguiente regla:

• Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado es postivo.

• Si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado es negativo.

Esta regla explica por qué en la fracción es un cociente donde la cantidad de signos negativos es impar.

Multiplicación de números fraccionarios

Para multiplicar números fraccionarios, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí, respectivamente. Si se puede simplificar, se realiza antes de multiplicar las fracciones.

Multiplicación de números decimales

a. 0,5 · (–0,02) =

b. 121,3 · (–2,1) =

Para multiplicar números decimales, se operan como si fuesen enteros, luego se coloca la coma según la cantidad total de cifras decimales que intervienen en la operación.

División de números fraccionarios

Para dividir números fraccionarios, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

División de números decimales

Para dividir números decimales, es necesario que el divisor sea un número entero. Si no lo es, se debe hallar una expresión equivalente para el dividendo y para el divisor, de manera tal, que el divisor se transforme en número entero.

Luego, se divide como si fueran números enteros, colocando la coma decimal cuando se agotan las cifras enteras del dividendo.

Potenciación de números racionales

Potenciación de números fraccionarios

Con exponente natural: para elevar una fracción a una potencia con exponente natural, se eleva numerador y denominador a dicha potencia.

En símbolos:

Ejemplos:

Con exponente negativo: para elevar un número fraccionario a una potencia de exponente negativo, se invierte la base y se la eleva con exponente positivo.

En símbolos:

Ejemplos:

Potenciación de números decimales

Para elevar un número decimal a una potencia, se opera como si fueran números enteros, teniendo en cuenta que la cantidad de cifras decimales del resultado es igual al producto entre la cantidad de cifras decimales de la base por el exponente.

Actividad 1.11:

Exprese los siguientes números decimales como fracción irreducible:

a. (0,01)³ = (0,01) · (0,01) · (0,01) =

b. (–0,03)² = (–0,03) · (–0,03) =

c. (0,08)³ =

d. (–0,002)² =

Propiedades de la potenciación

La potenciación de números racionales goza de las mismas propiedades que la potenciación de números enteros.

• La potenciación de números racionales es distributiva solamente con respecto a la multiplicación y división.

• La potencia enésima de un producto de varios factores es igual al producto de las potencias enésimas de los factores.

• La potencia enésima de un cociente es igual al cociente entre la potencia enésima del dividendo y la del divisor.

Simbólicamente:

Ejemplos:

Analicemos las siguientes igualdades que verifican la propiedad enunciada anteriormente.

Radicación de números racionales

De números fraccionarios

Para hallar la raíz enésima de un número fraccionario, se halla la raíz enésima del numerador y la del denominador.

Simbólicamente:

Ejemplos:

De números decimales

Para extraer la raíz enésima de un número decimal, se opera como si fuera entero, teniendo en cuenta que la cantidad de cifras decimales que se obtiene en el resultado es igual al cociente entre la cantidad de cifras decimales del radicando y el índice.

Actividad 1.12:

Calcule las siguientes raíces aplicando la definición, verificando la regla enunciada anteriormente.

Propiedades de la radicación

La radicación de números racionales goza de las mismas propiedades que la radicación de números enteros.

• La radicación de números racionales es distributiva solamente con respecto a la multiplicación y división.

• La raíz enésima de un producto de varios factores es igual al producto de las raíces enésimas de los factores.

• La raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre la raíz enésima del dividendo y la del divisor.

Simbólicamente:

Ejemplos:

Ejercicios combinados con números racionales

Un ejercicio combinado es aquel en el que figuran distintas operaciones matemáticas.

Para resolver un ejercicio combinado, debe respetarse la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden de resolución de las operaciones, de la misma manera que con los números enteros.

El orden de resolución de las operaciones es el siguiente:

1. Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis y luego las de los corchetes, si los hay.

2. Si no hay paréntesis o corchetes, los signos «+» y «–» separan términos.

Las distintas operaciones que intervienen en un ejercicio combinado, se resuelven en el siguiente orden:

1. Se resuelven las potencias y raíces.

2. Luego las multiplicaciones o divisiones de cada término.

3. Por último las sumas y restas.

4. Siempre se opera de izquierda a derecha.

Ejemplos:

Trabajemos en clase

Desarrolle:

1. Complete con los símbolos ∈ o ∉ según corresponda.

2. Represente en la recta numérica.

3. Ubique los números del ejercicio 2, en el conjunto numérico correspondiente.

4. Clasifique y transforme en fracción irreducible, los siguientes números decimales.

5. Resuelva, expresando los resultados como fracciones irreducibles.

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.

a. La suma de dos números racionales es siempre un número racional.

( )

b. Todo número pertenece a .

( )

c. Todo número pertenence a .

( )

d. La potenciación de números racionales es distributiva con respecto a la adición.

( )

e. Las fracciones que tienen distinto denominador se pueden suman directamente.

( )

f. Si dos fracciones son equivalentes, es menor aquella de menor numerador.

( )

g. Para multiplicar dos fracciones es necesario que tengan el mismo denominador.

( )

h. Todo número decimal también puede ser expresado como como una fracción.

( )

Habilidades de cálculo

1. Coloque los símbolos mayor, menor o igual, según corresponda:

2. Halle el resultado de las siguientes operaciones y escríbalo como una fracción irreducible:

3. Resuelva y exprese los resultados como fracciones irreducibles:

4. Calcule las siguientes potencias:

5. Determine, si es posible, las siguientes raíces:

a. En la figura mostrada, ¿qué fracción del rectángulo mayor representa la región sombreada?

b. La siguiente figura es un cuadrado ¿qué fracción del cuadrado representa la región sombreada?

c. En la siguiente figura:

• ¿Qué fracción del rectángulo mayor representa la región sombreada?

• ¿Qué fracción del rectángulo mayor representa la región que quedó sin sombrear?

Modelación

Resuelva los siguientes problemas:

1. Luis invita a sus amigos a comer una torta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Si Luis se come el resto, ¿cuánto come?

2. De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte del resto, quedando aún tres litros ¿cuál es la capacidad del bidón?

3. De su sueldo, el señor Jiménez gastó la primera semana, la segunda y la tercera ¿qué parte de su dinero gastó hasta ahora?

4. Un autor escribió una novela en tres meses. En el primer mes escribió de la novela y en el segundo mes ¿qué fracción de la novela escribió en el tercer mes?

5. La quinceava parte de los alumnos de un curso miran 4 horas de televisión por día, la décima parte mira 3 horas diarias y mira 2 horas diarias. Calcule qué fracción de ese curso no ve televisión.

6. Se reparte una fortuna entre tres hermanos. El hermano mayor se queda con nueve décimos de los del dinero. El hermano menor se queda con seis octavos de del dinero ¿qué parte se llevó el tercer hermano?, ¿cuál de los tres se quedó con más dinero?

7. Un pintor realiza en el primer día la tercera parte de su trabajo, en el segundo día las partes del resto, al tercer día de lo que aún le falta y el resto el cuarto día ¿qué porcentaje del trabajo realizó cada día?

8. Una modista usó de tela en vestidos, la mitad de lo que queda en faldas y le sobraron 4 m, ¿cuántos metros de tela tenía?

9. En un colegio se eligió la reina que los representaría. de los alumnos votaron a la candidata número 1, a la candidata número 7 y 187 alumnos votaron por otras ¿cuántos alumnos votaron?

10. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 39 cm. Si cada uno de los lados congruentes es igual a los de la base, ¿cuál es la longitud de cada lado?

11. Durante la primera hora, el dueño de un quiosco de periódicos vendió la cuarta parte de los diarios que tenía, en la segunda hora la sexta parte de lo que quedaba. Contó los ejemplares y le quedaban 25 ¿cuántos diarios tuvo en total?

12. Un avión está dividido en tres categorías de pasajeros: primera clase tiene un octavo del total de asientos, categoría ejecutivo tiene una vez y media de los asientos de primera clase y hay 165 asientos de turistas ¿cuántos asientos tiene el avión?, ¿cuántos asientos de cada clase hay?

Páginas web para consultar

Ejemplos, ejercicios y juegos de fracciones:
http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/fracciones_e/fracciones_ej_p.html
http://www.vedoque.com/juegos/matematicas-04-fracciones.swf

Razones y proporciones

El hombre de Vitruvio

Leonardo Da Vinci realizó un dibujo llamado «El hombre de Vitruvio» en un diario suyo en el cual representaba a la figura humana vista en dos posiciones sobreimpresas y que está basado en las proporciones del cuerpo humano, es llamado Vitruvio pero con leves desviaciones. Este dibujo está inscrito en un cuadrado de donde sus diagonales se cruzan en los genitales y una circunferencia en la cual el centro se halla en el ombligo del dibujo, pero en la realidad, como media está desplazada ligeramente hacia arriba. El cuadrado y la circunferencia representan al hombre como centro de todas las cosas y es uno de los grandes logros del renacimiento, debido al descubrimiento de las proporciones matemáticas que están aplicadas al dibujo que está hecho en lápiz y tinta, y mide 34,2 x 24,5 cm. Da Vinci realizó este dibujo representando las proporciones del cuerpo humano y, analizando el dibujo en todo su contenido, se descifra que:

Una palma equivale al ancho de cuatro dedos.

Un pie equivale al ancho de cuatro palmas.

Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas.

La altura de un hombre son cuatro antebrazos.

Un paso es igual a un antebrazo.

La longitud de los brazos extendidos es igual a su altura.

La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la altura de un hombre.

La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un hombre.

La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un séptimo de la altura de un hombre.

La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura de un hombre.

La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre.

La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre.

La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre.

La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.

La distancia de la barbilla a la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara.

La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla es la cuarta parte del hombre.

La distancia desde debajo de la rodilla hasta el inicio de los genitales es la cuarta parte del hombre.

CHAVES PINTOS, Pablo. (2009) Leonardo Da Vinci. (Consulta: 11 de marzo de 2013). (http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/cuadmat/trabaj/brazo5.pdf)

Objetivos

• Representar simbólicamente razones y proporciones y distinguir sus propiedades.

• Reconocer las diferencias entre magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.

• Matematizar situaciones concretas y resolver problemas aplicando las propiedades de las magnitudes directas e inversamente proporcionales.

Razones

La razón consiste en comparar dos cantidades cualesquiera para poder establecer una característica que las relacione, en particular ambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas: a través de su diferencia (razón aritmética), y mediante su cociente (razón geométrica):

a. Razón Aritmética: es una forma de comparar dos cantidades en las cuales consideramos cuánto excede una de la otra, es decir, encontrando su diferencia.

Este tipo de razón la podemos escribir separando ambas cantidades por comparar con un signo menos (–). Así, la razón aritmética entre un par de números a y b, es: a – b, y se lee a es a b. El primer término de una razón aritmética se denomina antecedente, mientras que el segundo consecuente. antecedente consecuente

Actividad 1.13:

Un padre quiere repartir unos ahorros a sus dos hijos, pero al fin del mes uno de ellos se portó mal, por lo cual lo castigará dándole S/. 6000 menos que a su hermano. Si dispone de S/. 20 000 para repartir ¿cuánto le corresponde a cada uno?

b. Razón Geométrica: cada vez que se habla de razón en realidad se quiere hacer referencia a una razón geométrica.

La razón geométrica entre dos cantidades a y b es la comparación por cociente entre ambas, es decir, la división entre ellas. Este tipo de razón la podemos representar de dos formas: a través de un signo de división (÷ o:) o expresada en forma fraccionaria. De ambas formas se lee a es a b. Al igual que la razón aritmética el primer término se denomina antecedente, y el segundo, consecuente.

El tratamiento de las razones geométricas es similar al de las fracciones, es decir, se suman, restan, multiplican, dividen, simplifican y amplifican de la misma forma.

Ahora ¿a qué nos referimos específicamente cuando decimos 3 es a 5?, por ejemplo. La respuesta es muy sencilla: quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes del antecedente tendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes.

Actividad 1.14:

a. Al siguiente mes, el mismo padre (actividad anterior) tiene el mismo problema, uno de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos dinero que a su hermano, pero esta vez quiere que por cada S/. 3000 del hermano que se portó bien, el otro reciba solo S/. 2000, es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de S/. 20 000, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada uno?

b. Los ángulos de un triángulo están a razón de 1: 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno es a dos es a tres), sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados ¿cuánto miden sus ángulos?

Proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes.

a. Proporción Aritmética o Equidiferencia: es la igualación de dos razones aritméticas equivalentes. A la diferencia entre las razones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética.

Propiedad fundamental:

«En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios»

Ejemplo:

b. Proporción Geométrica o Equicocientes: una proporción geométrica (o simplemente proporción), es la igualación de dos razones geométricas equivalentes. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintos nombres, están los extremos que son el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda, y los medios, que son el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda.

Propiedad fundamental:

«En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios»

Una proporción es continua cuando los medios de la proporción son iguales

Propiedades de las Proporciones Geométricas

Trabajemos en clase

1. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, calcule el valor de x:

2. Aplique las propiedades de las proporciones para resolver las siguientes situaciones matemáticas:

a. La suma entre dos números es igual a 175 y la razón entre ellos es ¿cuáles son los números que cumplen las condiciones?

b. La diferencia entre el dinero que tiene Juan y el que tiene Gustavo es de $ 400. La cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7 ¿cuánto dinero tiene cada uno?

c. La suma entre dos números es igual a 10,5 y la razón entre ellos es ¿cuáles son los números?

d. Un veterinario sabe que la ración diaria de alimento para un perro bóxer y un pequinés es de 2 kg. El perro bóxer come tres veces más alimento que el pequinés ¿qué cantidad de alimento consume cada perro?

e. Pruebe su ingenio y calcule los valores de a, b, c y d:

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Analice la proporción luego indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. La razón de la proporción es 4.

( )

b. 0,8 y 0,3 son los términos extremos.

( )

c. 0,2 y 0,3 son los términos medios.

( )

d. El producto de los términos medios es 0,25.

( )

e. El producto de los términos extremos es 0,24.

( )

f. La suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes es igual a la razón de proporcionalidad.

( )

g. Si 0,8 ×... = ...× 1,2; la suma de los términos que faltan es 0,5.

( )

2. En cada enunciado marque la alternativa correcta:

2.1 Podemos afirmar que una razón es:

a. La comparación de dos cantidades por cociente.

b. El producto de dos cantidades dadas.

c. La suma de dos cantidades.

d. La relación entre dos cantidades.

e. La igualdad entre dos cantidades.

2.2 Una proporción es:

a. La igualdad de dos cantidades.

b. El producto de dos razones.

c. El cociente entre dos razones.

d. La igualdad de dos razones.

e. La suma de dos razones.

2.3 Diremos que una proporción es directa si:

a. Al aumentar uno de sus valores el otro disminuye.

b. Al disminuir una de las cantidades la otra aumenta.

c. El producto de las cantidades se mantiene constante.

d. Al aumentar una de las cantidades la otra también lo hace.

e. Ninguna de las anteriores.

2.4 En una proporción inversa se mantiene constante:

a. El cociente de las cantidades relacionadas.

b. El producto de las cantidades relacionadas.

c. La suma de las cantidades relacionadas.

d. La diferencia de las cantidades relacionadas.

e. Ninguna de las anteriores.

Habilidades de cálculo

1. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Halle el valor de los dos números.

2. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 ¿cuál es el número menor?

3. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Halle el mayor de los números.

4. En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si los términos de la primera razón suman 40 halle la suma de los consecuentes de dicha proporción.

5. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Halle uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601.

6. En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4 ¿cuántos hombres asistieron a dicha reunión?

7. Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Halle la suma de los términos de dicha proporción.

8. Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360, halle la suma de los 3 números.

9. ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5?

10. Halle la razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24.

Resuelva los siguientes problemas:

1. En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganará Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros?

2. La ciudad de Belfast está dividida en 2 bandos a raíz de la invasión angloestadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente, de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente, se invierte ¿cuál es la población total de la ciudad?

3. En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros 2 de los segundos. Si al cabo de dos horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿cuántas parejas se retiraron?

4. En un concurso de baile el número de hombres y el número de mujeres están en la misma relación que 5 y 4, pero en un instante determinado del concurso el número de hombres que bailan es al número de hombres que no bailan como 5 es 3, por tanto, el número de mujeres que no bailan es al número de hombres que no bailan como: ..............

5. Dos piscinas contienen agua en cantidades que están en la relación de 8 a 5. Después de que haya entrado una misma cantidad de agua en ambas, se encuentran en la relación de 10 a 7. Enseguida, para que ambas contengan la misma cantidad de agua, se desaguan 900 litros de la primera ¿cuántos litros contenía inicialmente la segunda piscina?

6. Dos automovilistas parten simultáneamente al encuentro, con velocidades que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcule el espacio recorrido por el más lento hasta el momento del encuentro.

7. Tres automóviles de carrera recorren una pista circular con velocidades que son proporcionales a 4, 5 y 7, respectivamente. Si la suma de los tiempos que han tardado cada uno en dar la vuelta a la pista es 2 minutos y 46 segundos ¿cuánto tiempo ha tardado el más veloz en dar la vuelta a la pista?

8. Cierto número de clavos se divide en tres grupos cuyos números son proporcionales a 5, 7 y 11, respectivamente. Si del tercer grupo pasó al segundo 8 clavos, en el tercero quedaría el doble de lo que hay en el primero ¿cuántos clavos habría en el segundo grupo?

9. En 2 salones hay igual número de niños. Por cada 5 niños que salen del primero, del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno para irse a su casa. Cuando hay 50 niños en el primero, resulta que en segundo hay 20 ¿cuántos habían inicialmente en cada aula?

10. Las velocidades de 3 automóviles A, B y C son proporcionales 9, 4 y 8, respectivamente. A y B parten juntos de M al encuentro de C, quien parte de N al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. C se junta primero con A y después de recorrer 56 km desde este encuentro se cruzó con B ¿qué espacio recorrió B hasta confluir con C?

11. Antes, 5 lapiceros costaban tanto como 3 cuadernos, ahora que el precio de los lapiceros ha subido a S/.16 y el precio de los cuadernos a S/. 15 y resulta que 10 lapiceros cuestan tanto como 9 cuadernos. ¿Cuánto costaba antes cada lapicero?

12. En una granja hay 40 gallinas y hay 5 patos por cada 7 cerdos. Luego, el dueño de la granja compra 50 patos, 40 cerdos y un cierto número de gallinas ¿cuántas gallinas compró, si al final, el número de patos, cerdos y gallinas que posee ahora son proporcionales a 5, 6 y 8, respectivamente?

Páginas web para consultar

Ejemplos, ejercicios y videos sobre razones y proporciones:
http://polya.dme.umich.mx/Carlos/arqui/razon/RAZONES.htm
http://profe-alexz.blogspot.com/2010/12/19-ejercicios-resueltos-de-razones-y.html

Magnitudes y reparto proporcional

Proporcionalidad en la vida cotidiana

En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: «Este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado». Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo expresamos la correlación entre estas dos variables: éxito y trabajo.

También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: «proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante». Sucede que el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente, equivaldría a que un hombre levantará sobre su cabeza un tanque de 50 toneladas. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura y para competir con ella, un hombre debería saltar limpiamente la Torre Eiffel.

Por otra parte, debes tener en cuenta que el tema de proporcionalidad aparece estrechamente vinculado a nuestra vida cotidiana.

¿Has hecho un pastel?, ¿cómo calculaste las cantidades de sus ingredientes?. Por eso, para muchos de los problemas de la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre sus parámetros podemos resolverlos con la técnica maravillosa de la regla de tres, ya sea directa o inversa.

Pero, cuidado, algunas veces es una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. Y ante problemas como el siguiente: «Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas?» A nadie de nosotros se nos ocurre emplear una regla de tres, ¿verdad?

Demostrar que puedes emplear una regla de tres implica probar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que está utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla.

PROPORCIONALIDAD INTERACTIVA (2014) (http://proporcionalidadinteractiva.blogspot.com/2012/10/normal-0-21-false-false-false-es-co-x_197.html) Blog dedicado a profundizar los conceptos relacionados con la proporcionalidad (Consulta: 20 de enero)

Objetivos

• Diferenciar las características que poseen las magnitudes según su naturaleza.

• Obtener conclusiones acerca de las relaciones que cumplen determinadas magnitudes que participan en casos particulares.

• Establecer una relación de las magnitudes con nuestra realidad cotidiana para un adecuado planteamiento de la resolución de un problema.

Introducción

La proporcionalidad numérica es un concepto que resulta a los alumnos complejo y difícil de comprender si no se ha adquirido soltura en aspectos como las operaciones de multiplicación y división de números enteros y por la unidad seguida de ceros, la equivalencia de fracciones, la fracción como expresión decimal y de una cantidad y el porcentaje.

A través de la comprensión de los conceptos de magnitud, proporción, razón y constante de proporcionalidad se aplican las proporciones y sus métodos de resolución de problemas a situaciones de la vida cotidiana.

Las relaciones entre magnitudes inversamente proporcionales plantean un mayor grado de dificultad y se estudiarán mediante relaciones entre proporciones.

Concepto de Magnitud

• Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera.

• Las magnitudes se expresan en unidades de medida.

Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera.

• Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud.

Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera.

Actividad 1.15:

1. Indique con una «» si los siguientes enunciados son magnitudes.

a. El peso de un saco de patatas.

( )

b. El cariño.

( )

c. Las dimensiones de tu carpeta.

( )

d. La belleza.

( )

e. Los litros de agua de una piscina.

( )

f. La risa.

( )

2. Indique dos unidades de medida para cada magnitud.

a. El precio de una bicicleta.

b. La distancia entre dos pueblos.

c. El peso de una bolsa de naranjas.

d. El contenido de una botella.

e. El agua de un embalse.

f. La longitud de la banda de un campo de fútbol.

Relación entre magnitudes

Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permiten deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia, considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación estudiaremos las dos magnitudes.

Magnitudes directamente proporcionales (DP)

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas proporciones.

Notación:

Ejemplo:

Observe que si duplicamos el n.° de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etcétera.

Se cumple:

Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».

Graficando el ejemplo planteado al principio, observaremos que se trata de una recta, en efecto:

Actividad 1.16:

1. Indique con un «» si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a. El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio.

( )

b. La velocidad de un auto y el tiempo que emplea en recorrer una distancia.

( )

c. El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla.

( )

d. El número de hojas de un libro y su peso.

( )

e. El precio de una tela y cuántos metros se van a comprar.

( )

f. La edad de un alumno y su altura.

( )

2. Un túnel de lavado limpia 12 autos en una hora (60 minutos) ¿cuánto tiempo tardará en lavar 25 autos?, ¿y 50?

Magnitudes inversamente proporcionales (IP)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en proporciones inversas.

Notación:

Ejemplo:

Observe que si duplicamos el n.° de obreros, el n.° de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadruplicamos, etcétera.

Se cumple:

2×24 = 4×12 = 6×8 = … = 48 (constante)

Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».

Graficando el ejemplo planteado líneas arriba, observamos que se trata de una hipérbola.

Actividad 1.17:

1. Indique con un «» si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales.

a. La velocidad de un auto y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.

( )

b. El número de limpiadores de un edificio y el tiempo que tardan.

( )

c. El número de ladrillos de una pared y su altura.

( )

d. El peso de la fruta y el dinero que cuesta.

( )

e. La velocidad de un corredor y la distancia que recorre.

( )

f. El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse.

( )

2. Un depósito de agua se llena en 18 horas con un grifo del que salen 360 litros de agua cada minuto.

a. ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si salieran 270 litros por minuto?

b. ¿Y si fueran 630 litros por minuto?

Reparto proporcional

Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a ciertos valores, llamados índices.

Clases:

1. Reparto simple: se llama así porque intervienen solo dos magnitudes proporcionales. Puede ser:

1.1. Directo : (cuando intervienen 2 magnitudes DP)

Analicemos el siguiente caso: un padre quiere repartir S/. 2000 entre sus tres hijos, cuyas edades son 8, 12 y 20 años. El padre piensa, con justa razón, que su hijo de 20 años tiene mayores necesidades económicas que su otro hijo de 8 años, entonces decide hacer el reparto DP a las edades de sus hijos. Esto implica que aquel hijo que tenga más edad, recibirá más dinero, y el que tenga menos edad, recibirá menos dinero. Veamos lo que sucede.

Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:

Recuerde que cuando dos magnitudes son DP el cociente entre ellas es una constante.

Entonces: 8k + 12l + 20k = 2000

Luego c/u le responde:

Podemos resolver el problema mediante el siguiente esquema práctico:

Observe que si simplificamos los tres números, la relación de proporcionalidad no se altera. Luego, la constante de reparto «k» se halla dividiendo la cantidad a repartir (S/. 2000) entre la suma de las partes (2,3 y 5). Finalmente, las cantidades recibidas por c/u se hallan multiplicando 2, 3 y 5 por k.

Actividad 1.18:

María, Pablo y Luisa se proponen vender 600 boletos de una rifa con el fin de recaudar fondos para rehabilitar la Casa de la Cultura de su pueblo. Se las reparten proporcionalmente a 3, 4 y 5, respectivamente ¿cuántos boletos debe vender cada uno?

1.2. Inverso: (cuando intervienen 2 magnitudes IP)

Analicemos el siguiente caso: un administrador quiere compensar a sus tres mejores empleados dándoles una gratificación por sus altos rendimientos. El problema es que los tres empleados tienen algunas faltas y desea que esa situación se vea reflejada en el reparto. Entonces, plantea repartir los S/. 39 000 en partes IP a sus faltas, que son 2, 3 y 4 días respectivamente. Esto implica que aquel empleado que tenga más faltas, recibirá menos dinero, mientras que el que tenga menos faltas recibirá más dinero. Veamos qué sucede.

Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:

Entonces, dividiendo la última expresión entre 12

(MCM (2; 3; 4)= 12):

Recuerde que cuando dos magnitudes son IP el producto entre ellas es una constante.

Luego:

A c/u le corresponde:

Podemos resolver el problema empleando el método práctico, planteado en el caso anterior:

No olvide: MCM (2,3,4) = 12

Observe que los números que representan las faltas de estos tres empleados se colocan invertidos (recuerde que el reparto es IP), luego si a cada uno de ellos se les multiplica por 12, la relación de proporcionalidad no se altera. Lo que se realiza a continuación es lo mismo que se ha descrito en el reparto anterior (reparto directo).

Actividad 1.19:

Adela quiere repartir S/. 2100 entre sus sobrinos Javier, Elena y Pablo, de manera inversamente proporcional a la edad de cada uno. Javier tiene 3 años, Elena 5 y Pablo 6 años ¿qué cantidad recibirá cada uno?

2. Reparto compuesto: se llama así porque intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Ejemplo:

Un gerente desea repartir una gratificación de S/. 42 000 entre sus tres empleados en partes DP a sus sueldos (S/. 3200, S/. 4200 y S/. 5400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días, respectivamente) ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Solución:

Resolveremos el problema utilizando el método práctico:

Observe que a pesar que el tercer empleado gana más (S/. 5400) no es él quien recibe más gratificación. Esto se debe a que sus faltas (9 días) son muchas, causando una disminución en la gratificación que recibió.

Trabajemos en clase

1. Compruebe si los siguientes números forman una proporción:

• 1, 30, 140 y 200.

• 16, 25, 14 y 21.

2. Un auto consume 5 galones de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 galones, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?

3. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

4. Para colaborar en el viaje de fin de curso, una institución educativa reparte S/. 1800 entre las tres secciones de quinto de secundaria de manera proporcional al número de alumnos de cada sección: 24, 30 y 36 respectivamente ¿qué cantidad recibirá cada sección?

5. En un concurso de preguntas y respuestas, se reparte un premio de S/. 2310 de manera inversamente proporcional al tiempo que se han tardado en responder correctamente los tres primeros clasificados (5, 10 y 15 minutos respectivamente), ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una de ellas aumenta al doble, la otra también aumenta el doble.

( )

b. La cantidad de panes que como y lo que gasto comiendo es inversamente proporcional.

( )

c. El grueso de un libro y el número de páginas, es una proporción directa.

( )

d. La representación gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen.

( )

e. Dada una razón, existen otras razones iguales.

( )

f. Si M₁ es DP a M₂, entonces

( )

2. A continuación se presentan diversas situaciones en las que intervienen proporcionales. Decida si se trata de magnitudes directa o inversamente proporcionales, coloque en el espacio indicado una D (directamente) o una I (inversamente) según sea el caso.

a. Cantidad de manzanas y su peso

( )

b. Número de bebidas y sus consumidores

( )

c. Número de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo

( )

d. Cantidad de litros de bencina y el precio respectivo

( )

e. Número de baldosas para cubrir una determinada superficie y su tamaño

( )

f. Número de horas trabajadas y el sueldo ganado

( )

g. Número de ejercicios de matemáticas y el tiempo empleado en solucionarlos

( )

h. Cantidad de forraje (alimento) y número de animales por alimentar

( )

i. Días que alcanzan las provisiones y número de personas por alimentar

( )

j. Mejor respuesta en una evaluación y su nota.

( )

Habilidades de cálculo

1. Complete la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es directa.

¿Cuánto corresponde a 1? ...................

2. Complete la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es inversa.

¿Cuánto corresponde a 1? ...................

3. Reparta 600 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3.

4. Reparta 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.

5. Reparta 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12.

6. Compruebe si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa:

a.

Mag. A	2	4
Mag. B	8	4

b.

Mag. A	10	20
Mag. B	3	6

c.

Mag. A	6	10
Mag. B	2,5	1,5

Modelación

Resuelva los siguientes problemas:

1. A una velocidad promedio de 75 km/h un vehículo demora 9 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuántas horas tardaría si aumentara el promedio de su velocidad en 15 km/h?

2. Diez toneles iguales contienen 800 litros de vino ¿cuántos toneles son necesarios para almacenar 36 000 litros de vino?

3. 12,5 m de alambre cuestan $ 32 025. ¿Cuánto cuestan 8 m?, ¿y cuál es el precio de 50 cm del mismo alambre?

4. En un establo hay vacas que consumen 35 fardos de pasto en 40 días ¿en cuántos días consumirán 28 fardos?

5. Un cajón que pesa 9,6 kg contiene 1152 clavos ¿cuántos clavos, del mismo tamaño de los anteriores, habrá en un cajón que pesa 17 kg?

6. En un paseo que hicieron 24 alumnos consumieron 16 bebidas. Si al paseo hubieran ido 39 alumnos ¿cuántas bebidas habrían consumido?

7. El pavimento de un tramo de la carretera lo hacen 6 obreros en 12 días ¿cuánto se demorarían 9 obreros, trabajando en igualdad de condiciones?

8. En una bodega hay comida para 50 personas durante un mes, ¿cuántos días podrían comer 80 personas?

9. En una pastelería se venden tortas selva negra y tortas de piña. Si la razón entre el número de tortas selva negra y de piña vendidas en un día es de 3 a 4 ¿cuántas tortas de piña se vendieron en un día, si de selva negra se vendieron 30 unidades?

10. Complete los datos en cada tabla y clasifica estas según sean variaciones directamente proporcionales, inversamente proporcionales o de proporcionalidad compuesta.

a. Gastos de comida diarios por cada cinco competidores:

b. Número de buses, de igual capacidad que se necesita contratar para transportar a 300 deportistas:

11. Margarita quiere hacer un postre de chocolate para su fiesta de cumpleaños. Para ello, consulta un libro de cocina y la receta indica que para 6 personas hay que utilizar 120 gramos de chocolate, ¿qué cantidad de chocolate tendrá que usar si a la fiesta van 12 personas?, ¿y si van 18?, ¿y para tres personas?

Escriba los datos en una tabla:

12. En la siguiente tabla de valores se registran las temperaturas desde las 18 horas de un día hasta las 12 del día siguiente:

a. Realice un gráfico que relacione tiempo (en el eje horizontal) con temperatura (en el eje vertical).

b. Analice las características del gráfico respecto del aumento o de la disminución de la temperatura.

c. Realice una estimación de la temperatura promedio: en las horas observadas y también entre las 22:00 y las 06:00 horas.

d. ¿En qué intervalo o intervalos se produce la mayor disminución de temperatura?, ¿en cuál la menor disminución?, ¿en cuál el mayor aumento?

e. ¿En qué intervalos se produce la máxima o la mínima temperatura?

13. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno, ¿cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?

14. El guía del campamento de los cursos A, B y C de 3º de Secundaria les ha dado a los alumnos una bolsa de etiquetas para identificar las plantas. Si la bolsa tiene 624 etiquetas y los cursos tienen 11, 13 y 15 alumnos, respectivamente, ¿cuántas le tocan a cada uno si cada alumno debe recibir la misma cantidad?, ¿y a cada grupo?

15. Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿cómo se repartirán el dinero?

16. Se quieren repartir 396 m² de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una?

17. Si al distribuir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas?, ¿cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

18. Con el agua de un depósito se llenan 630 botellas de 3/4 de litro, ¿cuántas botellas de 3/2 se necesitarán para almacenar la misma cantidad de agua?

19. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podría durar el campamento si fuesen 15 alumnos más?

20. María tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio por día, ¿cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen?

Páginas web para consultar

Explicación y ejemplos de magnitudes proporcionales:
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htm
http://www.slideshare.net/luisfigueroagalindo/magnitudes-proporcionales

Regla de tres simple y compuesta

La regla de tres de las Matemáticas tradicionales

La Regla de Tres o Regla de Oro está en las primeras aritméticas conocidas. Se relaciona con problemas para cuya solución se establecen reglas fijas que dependen de una igualdad de razones. Se aplicó por primera vez en China. Sus rastros más antiguos se remontan al Chiu Chang Suan Shu, del siglo I de nuestra era. Un ejemplo de los problemas recogidos en este texto es el siguiente:

«Dos piculs y medio (una medida de peso transportada por un hombre sobre sus espaldas, aproximadamente 65 kg) de arroz se compran por de un taiel de plata ¿cuántos (piculs de arroz) se pueden comprar con 9 taiels?».

El primer tratamiento sistemático de la regla de tres está en el manuscrito de Bakhshali, compuesto en los primeros siglos de nuestra era.

Más tarde, en los inicios de la matemática árabe, aparece la regla de tres, de modo específico en la obra de Al-Biruni (s. X) denominada Fi Rasikat al-hind, título que significa «Sobre las reglas de tres de la India». En esta obra encontramos la preocupación característica de los matemáticos de los países islámicos por fundamentar las reglas utilizadas en las matemáticas aplicadas sobre las teorías matemáticas griegas.

Desde entonces, los problemas de regla de tres, no han dejado de estar presentes en los libros de aritmética, con un fundamento matemático que se relaciona con los conceptos de la teoría de las razones y proporciones de Euclides. Por ejemplo, así aparece en el libro de Pérez de Moya (1562):

«Dícese regla de tres porque en ella ocurren 3 números continuos o discontinuos proporcionales, y toda práctica no es otra cosa sino hallar otro cuarto número ignoto que se haya en tal proporción con el tercero como el segundo con el primero. Lo cual muestra Euclides e la decimosexta del sexto, a do dice: dadas 3 quantidades continuas proporcionales, para hallar la quarta multiplicarás la segunda por la tercera y partirás por la primera».

Extracto tomado de GÓMEZ Bernardo, (2010) Los ritos en la enseñanza de la regla de tres. Valencia: Universidad de Valencia

Objetivos

• Diferenciar una regla de tres simple de una compuesta. Distinguir la magnitud dependiente de las independientes. Organizar y aplicar estrategias al resolver problemas que requieren el uso de la regla de tres simple y compuesta.

• Reconocer las diferencias entre una regla de tres directa e inversa.

• Aplicar el método de la regla de tres en la solución de problemas de contexto real.

Definición:

Es un método que nos permite resolver problemas sobre magnitudes proporcionales.

1. Regla de tres simple: es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales cuyo objetivo es hallar un cuarto valor, dados tres valores correspondientes a estas dos magnitudes.

Clases:

1.1. Directa: (cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales).

Esquema:

a₁, b₁, a₂, son datos, mientras que x es la incógnita.

Por teoría de magnitudes proporcionales se cumple que:

Una forma práctica para hallar la incógnita «x» es usando el método de las «fracciones». El valor de se obtiene multiplicando el valor que se encuentra sobre él con la fracción obtenida de los otros valores. Veamos cómo se procede:

La fracción se invierte debido a que se relacionan dos magnitudes DP

Ejemplo:

Sofía compra 40 huevos por S/. 15 ¿Cuánto le costarían 72 huevos?

1.2. Inversa: (cuando intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales).

Esquema:

Por teoría de magnitudes proporcionales, se cumple que:

a₁ b₁ y a₂. son datos, mientras que x es la incógnita.

En este caso podemos usar el método de las «fracciones». Veamos el procedimiento:

La fracción queda igual debido a que se relacionan dos magnitudes IP

Ejemplo:

Cien obreros emplean 45 días para hacer una obra ¿cuántos días emplearán 225 obreros para hacer la misma obra?

2. Regla de tres compuesta: Se llama así cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Usando el método de las fracciones, hallaremos el valor de «x». Previo al cálculo se debe establecer la relación de proporcionalidad entre la incógnita «x» (n.° días) y las demás magnitudes. Por ejemplo, la magnitud «A» (n.° obreros) y la magnitud «B» (n.° días) son IP ya que a MÁS obreros trabajando se emplearán MENOS días, de igual modo se hará con las magnitudes restantes, entonces:

Ejemplo:

Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días, ¿en cuántos días 15 obreros 6 veces más rápidos que los anteriores, harán una obra cuya dificultad es el quíntuple de la anterior?

Solución:

Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a cada una de estas magnitudes, es decir:

Observación: si la rapidez de los otros obreros es «6 veces más» entonces es r+6r=7r

Respuesta: x =36 días

Trabajemos en clase

1. Sabiendo que la eficiencia de A es 75% y que la eficiencia de B es 60% ¿en cuántos días harán juntos una obra, si la misma puede ser hecha por B, trabajando solo en 18 días?

2. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3 m de largo tarda 5 días en comer toda la hierba que encuentra a su alcance ¿cuánto tardará si la cuerda fuera de 6 m?

3. Un reloj actualmente marca la hora exacta, es decir 6:00 p.m. Si este se adelanta 3 minutos cada media hora ¿qué hora marcará más tarde cuando la hora exacta sea 9:50 p.m.?

4. Una obra pueden terminarla 63 obreros en 18 días, pero deseando terminarla 5 días antes, a los 4 días de trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo ¿cuántos obreros se les unieron?

5. Se contrató a 15 obreros para hacer una obra en 40 días trabajando 8 h/d, pero al término de 5 días se retiran 5 obreros y los restantes continúan trabajando 15 días a razón de 7 h/d ¿qué fracción de obra falta terminar?

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.

a. La «regla de tres» se aplica en problemas donde se trata de encontrar una cantidad, dado que se conocen otras dos relacionadas.

( )

b. La «regla de tres» debe aplicarse cuando las cantidades no se relacionan de manera proporcional.

( )

c. Cuando tenemos una situación donde intervienen 2 magnitudes inversamente proporcionales se puede aplicar la regla de tres simple inversa.

( )

d. En una regla de 3 compuesta intervienen solo 2 magnitudes que pueden ser directamente o inversamente proporcionales.

( )

e. La cantidad de obreros y los días en que demoran en realizar una obra corresponde a una regla de tres simple directa.

( )

Modelación

Resuelva los siguientes problemas:

1. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado S/. 60, ¿cuánto cobrará por 8 horas?

2. Tres obreros descargan un camión en dos horas ¿cuánto tardarán dos obreros?

3. Trescientos gramos de queso cuestan S/. 6, ¿cuántos gramos de queso podré comprar con S/. 4,50?

4. Un granjero recoge diariamente 254 huevos en 2 días, ¿cuántos huevos recogerá en una semana?

5. Un transportista carga 1480 kilos de fruta cada 5 horas, ¿cuánto carga durante 48 horas?

6. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido, ¿cuánto tardará un coche a 120 km/h?

7. Por 5 días de trabajo he ganado S/. 390, ¿cuánto ganaré por 18 días?

8. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos, ¿cuántas botellas llenará en hora y media?

9. Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos, ¿qué velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16 minutos?

10. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?

11. Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena, ¿cuántos viajes necesitará hacer para transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?

12. Un ganadero tiene 20 vacas y forraje para alimentarlas durante 30 días, ¿cuánto tiempo le durará el forraje si se mueren 5 vacas?

13. En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días, ¿para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños?

14. Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días, ¿cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?

15. Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia una empresa de transporte me ha cobrado $ 9, ¿cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

16. Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta S/. 30, ¿cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?

17. Cinco máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora, ¿cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media?

18. Doce obreros, trabajado 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días, ¿cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?

19. Cincuenta terneros consumen 4200 kg de alfalfa a la semana, ¿cuántos kg de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días?

20. Dos albañiles han tardado 15 días en construir un muro de 30 metros de largo por 3 de ancho ¿cuántos albañiles habrá que contratar para construir otro muro igual en 5 días?

Páginas web para consultar

Explicación, ejemplos y ejercicios de regla de tres:
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres
http://www.vitutor.com/di/p/a_5.html

Porcentajes

Lectura introductoria a los Porcentajes. Historia de los Porcentajes

En la Roma antigua, mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos se hacían a menudo en las fracciones que eran múltiplos de 1/100. Por ejemplo, el emperador Augusto estableció un impuesto de 1/100 de los bienes vendidos en una subasta denominada Centesima rerum venalium. Como denominaciones de dinero, el concepto creció en la Edad Media. Los cálculos con un denominador de 100 se volvieron más estándar y, desde finales del siglo XV hasta el siglo VXI, las fracciones se hicieron comunes en los textos de Aritmética. Muchos de estos textos aplicaban los métodos de fraccionamiento a temas de pérdidas y ganancias y tasas de interés. Por ejemplo, en el siglo XVII era estándar para citar las tasas de interés en centésimas.

La palabra «por ciento» se deriva del Latín per centum que significa "por cien". El signo de porcentaje evolucionó por la contracción gradual de la frase por cento. El «per» fue abreviado a menudo como «p» y, finalmente, desaparecido por completo. El «cento» se convirtió en dos círculos separados por una línea horizontal de la que deriva el símbolo «%».

Extracto editado tomado de WEBACADEMIA CONOCEMOS TODO (2014) (http://centrodeartigos.com/articulos-utiles/article_101730.html) Blog con diversos artículos útiles sobre ciencias (consulta: 20 de enero)

Objetivos

• Representar porcentajes en forma de fracción y número decimal.

• Determinar el tanto por ciento de una cantidad.

• Aplicar técnicas operativas personales o convencionales al calcular porcentajes.

• Realizar operaciones con porcentajes.

Introducción

En nuestra vida diaria se observa muy a menudo el uso del tanto por cuanto en diversas formas. Es muy común que cerca de donde vivimos haya una pequeña tienda, la cual por las mañanas venda pan, que a su vez fue comprado en una panadería. Se podría decir entonces que no hay ganancia, pero al comprar una cantidad considerable de panes, la panadería por lo general, da algunos adicionales. Así posiblemente, por cada 50 panes nos den 8 adicionales o por cada 100, 16 adicionales. Quizá también escuchamos en las noticias que la inflación de este mes con respecto del anterior es del 1,8%; el índice de analfabetos en el Perú sea del 18%; el interés que paga el banco es del 10% anual, uno de cada mil habitantes sufre de desnutrición severa o que 3 de cada 5 personas viven en la zona rural.

Por todo ello, es importante conocer los procedimientos que permitan calcular el porcentaje de una cantidad.

Tanto por cuanto

En algunas oportunidades es necesario dividir lo que tenemos en partes iguales para hacer una distribución de las mismas.

Por ejemplo, tenemos el 3 por 10 de una cantidad, significa que a esta la dividimos en 10 partes iguales y tomamos 3 de estas partes.

Tanto por ciento

El tanto por cuanto más utilizado es aquel que divide al todo en 100 partes iguales y al que se le denomina tanto por ciento.

Por ejemplo, tenemos el 24% de una cantidad, significa que a dicha cantidad la dividimos en 100 partes iguales y tomamos 24 de estas partes.

Se lee: 24 por ciento.

Ejemplos:

Porcentaje:

Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

Ejemplo:

Halle el 35% de 420:

Cálculo de porcentajes:

Para calcular el porcentaje de una cierta cantidad se puede emplear una regla de 3 simple directa. Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje, se considera como el cien por ciento (100%).

Ejemplos:

Observaciones

1. Los porcentajes se pueden sumar o restar si son referidos a una misma cantidad. Ejemplos:

a. Si una cantidad aumenta en su 18% tendremos ahora el 118% de la cantidad.

b. Si una cantidad disminuye en su 21% nos quedará el 100%–21% = 79% de la cantidad.

c. Si en una reunión el 42% del total son mujeres, entonces el porcentaje de hombres será 100%-42%=58% del total.

2. Cuando se tenga porcentaje de porcentaje, una forma práctica es convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación.

Ejemplos:

a. Calcule el 15% del 20% de 800

b. Calcule el 23,5% del 8% del 36% de 25 000

Aplicaciones

Aumentos Sucesivos

Entendemos por aumentos sucesivos a los que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando.

Ejemplo:

Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿cuál será su nuevo precio?

Solución:

2do aumento:

Observe bien, es el 25% de:

Nuevo precio: 288 + 72 = 360

Aumento Único (AU)

Dos aumentos sucesivos del a1% y a2% equivalente a un aumento único de:

Ejemplo:

Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalente a un único aumento de:

Descuentos sucesivos

Se entiende por descuentos sucesivos, a los que se van efectuando uno a continuación de otro considerando el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.

Ejemplo:

Si al precio de una grabadora cuesta 300 dólares se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio?

Solución:

1er Descuento:

2do Descuento:

Descuento único (DU)

Dos descuentos sucesivos del d1% y d2% equivalen a un único descuento de:

Ejemplo:

En las tiendas Día anuncian descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos, ¿a qué descuento único equivalen?

Variaciones porcentuales

Cuando se analizan las variaciones porcentuales, por ejemplo geométricas, se puede asumir un número apropiado a cada elemento geométrico que facilita su cálculo, luego se aplica una regla de tres simple directa, para obtener la variación porcentual equivalente.

Ejemplos:

a. Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

Solución:

Asumimos:

b. Un rectángulo aumenta su largo en 20%. Si el área debe disminuir en 28%, ¿en qué porcentaje debe variar su ancho?

Solución:

Asumimos:

Largo = 20

Ancho = 5

Área = 100

Luego:

A = L.a

72 = 24 . x

x = 3 (Nuevo ancho)

Ancho:

Por lo tanto:

El ancho debe disminuirse en:

100% – 60% = 40%

Aplicaciones de los porcentajes

1. Precio de venta

Al realizar la venta de un artículo, al precio de adquisición se le recarga una cantidad a la que denominamos ganancia, que lo relacionamos así:

PV = PC + g

En el cual:

PV = Precio de venta

PC = Precio de costo

g = Ganancia

La ganancia puede expresarse de varias maneras, generalmente es un porcentaje del precio de venta y en otro como una suma de los porcentajes del precio de costo y del precio de venta.

Ejemplos:

1. El precio de costo de una fotocopiadora es $ 1400. Averiguar el precio de venta si se vende:

a. Ganando el 20% del costo.

b. Ganando el 20% del precio de venta.

Solución:

a. PV = ?? PV = PC + g

PC = 1400 PV = 1400 + 280

b. PV = ??

PC = 1400

Observe que el precio de costo no cambia ya que no es lo mismo 20% del precio de costo que 20% del precio de venta.

2. Una motocicleta se vendió en $ 8500 ganándose en esta venta el 36% del costo y el 12% del precio de venta, ¿cuál fue el precio de costo de la motocicleta?

Solución:

Nota:

Si al realizar una venta se vende a menor precio del costo, entonces se origina una pérdida equivalente a la diferencia entre estas dos cantidades. La ecuación que los relaciona es:

PV = PC – p

En la cual:

PV = Precio de venta

PC = Precio de costo

p = Pérdida

3. Al vender una bicicleta en $ 170 se perdió el 15%, ¿cuál fue el precio de costo de la bicicleta?

Solución:

PC = ??

PV = $ 170

p = 15% (si no se especifica)

Se entiende que es el 15% del costo

2. Depreciación

Es la pérdida de valor que experimenta una máquina con el transcurrir de los años. Se expresa generalmente en un porcentaje anual.

Ejemplo:

Un automóvil sufre una depreciación anual del 20%, respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 2 años su precio es de 15 360 dólares, ¿cuál fue su precio original?

Solución:

Como la depreciación anual es del 20%, luego de cada año de uso el auto valdrá el 80% de su valor al iniciar cada año.

Precio Original = C

Al finalizar el 2do año:

Trabajemos en clase

1. Calcule el 20% del 30% de 450.

2. Si al comprar una camisa me hacen un descuento del 25% y solo pagué 42 soles, ¿cuál es el precio de la camisa sin descuento?

3. En una reunión el 42% de los asistentes son mujeres. Si el número de hombres es 87, ¿cuántas personas en total asistieron a la reunión?

4. El precio de un artículo aumentó en 28% y su nuevo precio es 2400, ¿cuál es el precio del artículo sin aumento?

5. Si a un artículo cuyo precio es 480 se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál es su nuevo precio?

6. El precio de costo de una máquina panificadora es $ 21 000 dólares. Si se quiere ganar el 30% del precio de venta ¿a cuánto se debe vender?

Ejercicios y problemas

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.

a. El 50% equivale a la mitad.

( )

b. El Porcentaje o tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales

( )

c. Dos descuentos sucesivos de 20% y 15% equivale a un descuento único de 35%.

( )

d. «Si el precio P de un artículo se aumenta en un 25% y se obtiene así un nuevo precio Q, entonces el precio Q debe ser disminuido en 25% para regresar al precio P»

( )

Habilidades de cálculo

1. Escriba como fracción decimal el porcentaje y calcula:

a. 30% de 36,4

b. 1,5% de 24

2. ¿Qué porcentaje del total es la parte sombreada?

a.

b.

3. Calcule:

a. 8% de 40 = .................

b. 10% de 150 = .................

c. 18% de 540 = .................

d. 25% de 170 = .................

e. 7,5% de 84 = .................

f. 0,9% de 2790 = .................

g. 65% de 124,32 = .................

h. 3,8% de 1900 = .................

4. Deduzca:

a. 10% de .................................= 24

b. 8% de ............................. = 1,4

c. 18% de ............................. = 360

d. 6% de ............................. = 54

e. 3,5% de ............................. = 70

5. Calcule el tanto por ciento:

a. .............. % de 70 = 35

b. .............. % de 1250 = 200

c. .............. % de 925 = 666

d. .............. % de 700 = 63

e. .............. % de 650 = 13

6. ¿Qué es mayor el 8% del 20% de 500 o el 4% del 40% de 500?

7. Se ha calculado un porcentaje de 1550 y ha resultado 186, ¿de qué porcentaje se trata?

8. Después de aplicar una disminución porcentual del 17% a una cantidad se obtiene 1667,47 ¿a qué cantidad se le ha aplicado esa disminución?

9. Si a una cantidad se le aplica una disminución del 64% y se obtiene 85,32 ¿cuál es esa cantidad?

10. Si a 325 se le aplica una disminución porcentual y se obtiene 123,5 ¿qué disminución se le ha aplicado?

11. Tras aplicarle un incremento porcentual al número 1585, se obtiene 1711,8 ¿qué incremento se le ha aplicado?

12. Si a 621 se le aplica un incremento porcentual y se obtiene 912,87 ¿qué incremento se le ha aplicado?

13. Si a una cantidad se le aplica un incremento del 27% y se obtiene 4414,52 ¿cuál es esa cantidad?

Modelación

1. En un periódico escolar aparece esta noticia: «El 32% de los alumnos del centro tienen miopía». Según esta noticia, en un grupo de 25 alumnos ¿cuántos tendrán miopía?

2. En una promoción de artículos informáticos, un ordenador de $ 1150 tiene una rebaja del 15%, ¿cuánto costará el ordenador?

3. En un bosque de 25 000 árboles, un 60% son hayas ¿qué cantidad de árboles no son hayas?

4. En un colegio de 800 alumnos, 608 asisten a actividades extraescolares. En otro colegio de 900 alumnos asisten 675, ¿en qué colegio hay un porcentaje mayor de alumnos que asisten a actividades extraescolares?

5. Sofía ha comprado por S/. 56 un pantalón que valía S/. 70, ¿cuál ha sido el porcentaje de descuento?

6. Un vestido valía S/. 125 y por la liquidación ahora vale S/. 100, ¿cuál fue el porcentaje de descuento?

7. Un país cobra por las importaciones un impuesto del 21%. Un comerciante ha hecho una importación por la que pagó, con el impuesto incluido, $ 181 500, ¿cuál era la cantidad antes del impuesto?