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1. Axiomática

Inmediatamente después de que Georg Cantor publicara su Teoría de Conjuntos, surgieron serias objecciones que pusieron en tela de juicio la consistencia lógica de la misma. Entre ellas, es célebre la paradoja de Russell, propuesta por el eminente filósofo y matemático en 1902. Bertrand Russell define el “conjunto” formado por los conjuntos que no son elemento de sí mismo. Aunque a simple vista pueda parecer retorcido este tipo de objetos, si nos paramos a pensar un momento nos daremos cuenta de que no lo son, y no sólo eso, sino que se puede llegar a creer que todos los conjuntos gozan de esta propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto B constituido por los libros de una biblioteca. Está claro que B no es un libro, y esto conduce a que B (como elemento) no pertenezca a B (como conjunto). No obstante, mientras que no se establezca algún axioma que excluya los conjuntos que sean elementos de sí mismos, consideraremos esta posibilidad.

Volvamos a la discusión del “conjunto” de Russell, que representaremos por R, y nos planteamos si R pertenece o no a R. Si R es miembro del “conjunto” de Russell R, resulta (por la misma definición del “conjunto” de Russell) que R no es elemento de sí mismo, lo que es una contradicción. Si, por el contrario, consideramos desde principio que R es un conjunto del tipo como el de la biblioteca B, es decir, que no sea elemento de sí mismo, pertenecerá por definición al “conjunto” de Russell R, y es de nuevo contradictorio. Al final de este razonamiento, somos incapaces de asegurar si R pertenece o no a R.

Era tal la enconada virulencia que se desencadenó en contra de la labor científica de Cantor, que se llegó al hecho inaudito de que fuera calificado de “corruptor de la juventud' por parte del influyente matemático berlinés L. Kronecker. Pronto Cantor, acosado por la incomprensión y la tenaz negativa del mundo científico de la época por reconocerle valor alguno a su obra, dio muestras de quebrantos mentales que empezaron a la edad de 39 años, y que se manifestaron intermitentemente hasta su muerte (acaecida en 1918 a los 73 años de vida).

Faltaríamos a la verdad históricà si no mencionáramos que Cantor tuvo partidarios, como Hilbert que defendió esta innovación matemática, aduciendo que, con la. Teoría de Conjuntos, Cantor había creado un paraíso para los matemáticos del que difícilmente serían expulsados.

1.1 Clases y conjuntos

Efectivamente David Hilbert acertó en su profecía: la Teoría de comjunto tuvo paulatinamente nás aceptación entre los matemáticos. Y no sólo eso, sino que, veinte años después de la formulación de la citada paradoja, se dio con la solución satisfactoria.

El error de Cantor fue no imponer ninguna restricción a la construcción de conjuntos. Evidentemente, sin hipótesis previas no se puede en absoluto coordinar los objetos que provienen de la percepción y del pensamiento. Y es precisamente eso lo que generaba paradojas y contradicciones en la Teoría de Conjuntos. En varias ocasiones, Cantor se limitó a decir que el concepto de conjunto era primario y, como tal, no podía ser delimitado. No obstante, su utilidad era manifiesta, porque permitía abordar con más rigor un gran número de pruebas en matemáticas (además de obtener numerosos resultados nuevos, pensemos por ejemplo en el hecho de que IR no es numerable), lo que compensaba la falta de consistencia de la teoría. Ahora bien, los detractores de la misma salían al paso contraatacando, pues, si es precisamente rigor lo que se pretende, seamos rigurosos en todo, incluso en los conceptos primarios.

Después de varios intentos de formalizar esta teoría, como el de Bertrand Russell en su Principia Mathematica y el sistema de Zermelo- Fraenkel, debemos a John von Neumann la superación definitiva de la paradoja de Russell con la distinción entre clase y conjunto.

Definición 1.1: Un concepto C se dirá que es una clase si permite decidir si un elemento pertenece o no a C.

Un ejemplo de concepto que no sea clase es el de la Belleza. Efectivamente cada ser humano entiende más o menos lo que es la belleza; pero es prácticamente imposible delimitarla en sus justos términos. Los atributos de la misma no son los mismos en cada hombre. Incluso cada atributo (que podríamos considerarlo como elemento del concepto Belleza) no tiene el mismo valor en cada individuo, lo cual hace que este concepto no sea una clase, de acuerdo con la definición precedente. En cambio, el concepto de vivienda, como formada por sus inquilinos, sí es una clase.

Pero una definición, como la anterior, está formada por conceptos más primitivos. Estos conceptos primarios empleados son el de “elemento” y el de “pertenencia”, cuyos significados serán tomados del lenguaje ordinario. Estos serán nuestras ideas primarias e intuitivas.

Representaremos indistintamente por letras mayúsculas y minúsculas tanto clases como elementos. Y expresaremos que “a pertenece a x” por

En este caso se tiene que entender que a es un elemento de (o que pertenece a) x.

Con ello ya estamos en condiciones de delimitar el concepto de conjunto:

Definición 1.2: Una clase A se dirá conjunto si existe otra clase C tal que A sea elemento de C, es decir,.

Una clase se dice que es propia si no es conjunto.

Está claro que no puede existir la clase de todas las clases propias, puesto que si existiese sus elementos no serían clases propias. Incluso tampoco puede existir la clase formada por clases propias y conjuntos, pues si uno de sus elementos fuera clase propia, ésta dejaría de serlo por ser elemento de otra clase. (Por eso las clases propias también son llamadas no- elementos). Esto hace que sólo tenga sentido hablar de clases de conjuntos. Con ello, la paradoja de Russell queda superada si aceptamos que R es clase propia, es decir, clase que no es conjunto.

El lector atento se habrá percatado de que, si bien con la distinción entre clase y conjunto se ha solucionado la pardoja de Russell, esta misma distinción plantea nuevos y copiosos interrogantes, como es, por ejemplo, si la unión y la intersección (términos empleados en el sentido ordinario) de conjuntos son conjuntos, o que una parte de un conjunto es conjunto, etc.

Para poder contestar satisfactoriamente estas cuestiones, necesitamos un cuerpo axiomático que, con ayuda de las inferencias, las leyes y constantes de la Lógica, permita desarrollar la Teoría de Conjuntos. En esencia la Axiomática que vamos a seguir es la de Zermelo-Fraenkel con aportaciones sustanciales del sistema desarrollado por Neumann-Bernays- Gödel como, entre otras, fue la de función proposicional, es decir, funciones que tomen dos valores: el de “verdadero” y el de “falso” (llamados valores de verdad); y con algunos retoques dados por J.L. Kelly, cuando insiste que una fórmula que defina una clase debe comprender los conjuntos que la satisfagan.

Puesto que vamos a utilizar operaciones lógicas, no está de más recordar las más elementales. En la Lógica Matemática se las distinguen entre juntores y cuantores. Los juniores empleados son: el negador -> (niega la proposición en donde aplica, es decir, si p es verdadera, ->p es falsa; y viceversa), el conjuntor A (la sentencia p A q es verdadera si p y q lo son, y falsa en los demás casos), el disyuntor V (p V q es falsa si p y q son falsas, y es verdadera en los restantes casos), el implicador =>? (p q es falsa si p es verdadera y q es falsa, la sentencia será verdadera en las otras posibilidades), el coimplicador p = q es veradera si p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas, y será falsa si una es verdadera y la otra falsa). Hemos de resaltar que en el lenguaje ordinario el conjuntor corresponde a la conjunción y, el disyuntor se asocia a la conjunción disyuntiva inclusiva ó, el implicador responde a la oración gramatical si…, entonces... y el coimplicador se refiere a si y sólo si.

Respecto a los cuantores, haremos uso del cuantificador universal V (para todo) y del cuantificador existencial 3 (existe un).

Otras constantes que se emplean en matemáticas, como es G y otras que iremos utilizando a lo largo del texto.

El plan de nuestra exposición es introducir paulatinamente los axiomas a medida que se necesiten, con el fin de llegar a una teoría conjuntista si no completa (que no lo es, y tampoco podría serlo ¹), al menos carente de contradicciones lógicas en el momento actual.

En primer lugar partimos de dos axiomas básicos :

I Axioma de extensión

Dos clases son iguales si los elementos de la primera pertenecen a la segunda; y los elementos de la segunda también son miembros de la primera clase. Dos clases x, y son iguales, se representará por

Un segundo axioma que necesitamos es

II Axioma de clasificación

La sentencia

es equivalente afirmar que

En realidad el Axioma de clasificación nos dice que la variable X sometida a propiedades específicas, sentencias definitorias o fórmulas clasificatorias (simbolizadas por una función proposicional Px) puede ser sustituida por el conjunto u, Pu, es decir que u goza de las mismas propiedades que la variable x (además de ser conjunto).

Definición 1.3: Sean x, y clases,

En la primera definición se lee “x unión y” y el símbolo U es conocido por unión. En la segunda se entiende “x intersección y” y el símbolo fl es llamado intersección.

Las propiedades que se desprenden de estas definiciones se deducen inmediatamente del Axioma de clasificación :

Las siguientes propiedades se prueban a partir del Axioma de extensión con la ayuda de las Propiedades

Definición 1.4: si y sólo si es falso

se lee “x no pertenece a y”.

Definición 1.5:Sea x una clase. La clase complementaria se define como

Proposición 1.6: = x.

Demostración :

Tomemos Luego es falso que . Por la Definición 1.4, Y por la Definición 1.5, Con ello hemos probado que los elementos de la clase pertenecen a la clase x.

Invirtiendo el orden de la demostración, se prueba que los elementos de la clase x también pertenecen a la clase

En virtud del Axioma de extensión, las dos clases son iguales.

Teorema (De Morgan): .

Demostración :

Sólo probaremos una de ellas, por ejemplo la . Tomemos , luego es falso que , es decir que . En virtud de la Definición 1.3, Luego .

La inclusión contraria se obtiene invirtiendo el orden de la demostración.

De nuevo aplicamos el Axioma de extensión para afirmar que las dos clases son iguales.

Definición 1.7: Por complementario de y relativo a x, entenderemos

Con frecuencia se simboliza x ~ y por Cxy.

Proposición 1.8: .

Trivial

Definición 1.9: Esta clase es llamada clase vacía.

Teorema 1.10:

Demostración :

Puesto que x = x, es falso que Y por la Definición 1.4 y la Definición 1.9, .

Esta propiedad nos permite afirmar que la clase vacía no contiene ningún elemento.

Se tiene de inmediato de que

Definición 1.11: Se llama clase universal a

En virtud del Axioma de clasificación, es la clase de todos los conjuntos.

Se cumple :

Se puede probar utilizando la difinición de , la Propiedad , el Teorema de De Morgan y la Proposición 1.6.

Definición 1.12:

Obsérvese que los elementos de x no son en general elementos de x; sino que son elementos de y, aunque éstos sean elementos de x. Un ejemplo aclarará este aserto :

Pensemos en una Federación de pueblos. Cada pueblo será miembro de la Federación, representado por su alcalde; pero los ciudadanos de un pueblo no son miembros de la Federación, salvo su alcalde que lo es, no como ciudadano, sino en calidad de representante de su municipio.

En cuanto a , pensemos en la comunidad europea, que la representaremos por x. Esta está formada por naciones. Pero cada nación estará definida por sus habitantes y las leyes con que se rige. Está claro que estos estados, por pertenecer a la comunidad, tendrán leyes comunes. Pues bien, estas leyes comunes a todos ellos serán x. Por otra parte, x estará formada por los miembros de todos los países que configuran la comunidad, así como las leyes vigentes en cada una de ellos. ¡Desde luego x no sería muy aconsejable políticamente!

Teorema 1.13:

Demostración :

Tomemos un . De su definición y del Axioma de clasificación, se sigue que 2 es conjunto que tiene que verificar que

Pero es falsa. Esto conduce a que (1.13.1) es verdadera en virtud de la definición del implicador . No sólo eso, sino que (1.13.1) es verdadera para cualquier conjunto z de .

En cuanto a la segunda igualdad, está claro que no posee ningún elemento. Luego por el Axioma de extensión debe coincidir con .

Definición 1.14: Se dice que x está contenido en y si y sólo si para cada z

Entonces se dirá que la clase x es subclase de la clase y. Se simboliza

y se lee “x está contenido en y”.

Fijémonos: el símbolo (llamado también relación de inclusión) es totalmente distinto al símbolo de pertenencia . Veamos el ejemplo de los pueblos :

Si definimos un pueblo como una clase de casas. Está claro que los inquilinos de las casas no son elementos del pueblo, sino que son miembros de sus respectivas casas (los elementos del pueblo son sus casas, según la definición que hemos dado de pueblo).

En cambio si definimos el pueblo como una clase de individuos. Cada habitante será elemento del pueblo, y las casas dejarían de serlo. Pero cada casa posee sus inquilinos (sus elementos), que son a su vez elementos del pueblo. En tal caso, las casas serían subclases de la clase pueblo.

Teorema 1.15:

Demostración :

En cuanto a la primera inclusión, tomemos un z arbitrario y analicemos la siguiente implicación

Al ser falsa , resulta que esta implicación es verdadera, independientemente del valor de verdad que tenga z x.

En la inclusión se razona del siguiente modo: Sea z x., entonces z es conjunto y, por tanto, z . En virtud de la Definición 1.14,

Obsérvese que de la definición de la clase vacía es falso que en cambio, sí tiene sentido , en virtud de este teorema.

Para finalizar esta Sección enunciaremos algunas propiedades más, de las que omitiremos sus demostraciones por considerarlas inmediatas si nos atenemos a las definiciones establecidas.

1.2 Subconjuntos

Los dos axiomas establecidos en la sección precedente resultan insuficientes para estudiar todas las propiedades de los conjuntos. Así por ejemplo, todavía no podemos saber si las subclases de un conjunto son conjuntos, o que la intersección de dos conjuntos es conjunto. Igualmente desconocemos qué sucede con la unión de dos conjuntos. Necesitamos, pues, de más axiomas. Uno de ellos se refiere a los llamados subconjuntos, que son subclas propias

III Axioma de subconjuntos

Si x es un conjunto ,existe un conjunto Y tal que para cada z

Teorena 2.1: Si x es un conjunto y z x, entonces z es un conjunto.

Demostración :

Tomemos un z x. Al ser x conjunto, podemos aplicar el axioma III, con lo que existe un conjunto Y tal que z Y. Esto hace que z sea un conjunto, en virtud de la Definición 1.2.

Entonces se dirá que z es subconjunto de x.

Corolario 2.2: no es conjunto.

Demostración :

La clase de Russell R es subclase de (falta por ver si coincide con ). Entonces R . Si fuera conjunto, R sería conjunto. Y ello conduciría directamente a la paradoja de Russell. Luego no es conjunto.

Corolario 2.3: Si una de las clases x, y es un conjunto, x y es un conjunto.

Demostración :

Supongamos que x sea un conjunto. De la Definición 1.3, 2- y la Definición 1.14, tenemos que x y x. Entonces el Teorema 2.1 asegura que x y es un conjunto.

Teorema 2.4: .

Demostración :

, resulta que x es un conjunto, y dado que x (Teorema 1.15), sería un conjunto. Ahora bien, de la Definición 1.12,, todo elemento de es elemento de pero según vimos en el Teorema 1.10, no tiene elementos, de lo que resulta que tampoco posee elementos. Por el Axioma de extensión, y son iguales.

En virtud del Teorema 1.15,

Veamos la inclusión contraria: , se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U, por la Definición 1.12, 1^a, x . Esto hace que . Finalmente apliquemos la Propiedad .

Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.

Demostración :

Si , existe un . Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad . Resulta del Teorema 2.1 que x es un conjunto.

Definición 2.6: Sea x una clase, llamaremos a la clase formada por los subcon5juntos de x, es decir,

Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.

Demostración :

Tomemos z . Por definición de , z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema 2.1 nos conduce a que es conjunto.

Cuando x es un conjunto, el conjunto se le suele llamar el conjunto partes de x.

Teorema 2.8:

Demostración :

Tomemos un elemento , que será, por tanto, un conjunto. En consecuencia z G U. Por otra parte, cada elemento x de U es un conjunto y el Teorema 1.15 nos asegura que x C U. Por la Definición 2.6, se concluye que x

1.3 Singuletes y pares ordenados

Estudiemos ahora un tipo especial de clases formadas a partir de un solo elemento, entendiendo en este caso por “elemento” una clase o un conjunto. Estas nuevas clases jugarán un papel preponderante en la definición de par ordenado.

Definición 3.1: {x} = {z : x z = }La clase {x} es llamada singulete de la clase x.

Teorema 3.2:

1º Si x es un conjunto, entonces, para cada y, y º {x} si y sólo si y = x.

2º Si x es un conjunto, entonces {x} es un conjunto.

3^º {x} = si y sólo si x no es un conjunto.

Demostración :

1^º Tomemos y {x}. Al ser x un conjunto es verdadero x G U. Por el Axioma de clasificación, y = x.

2^º Al ser x un conjunto, y {x} es un conjunto contenido en x, y x (pues al ser x = y podemos aplicar la Propiedad de la Sección ). Por la Definición 2.6, y , es decir que {x} ), en virtud de la Definición 1.14.

Por otra parte, según vimos en el Teorema 2.7, es un conjunto. Finalmente recurrimos al Teorema 2.1, que conduce a que {x} es un conjunto.

3^º Si x no es un conjunto es falso x U y que z = x, ya que por el Axioma de clasificación z es conjunto. Entonces es verdadera la implicación x => z = x para todo z .

Proposición 3.3: Si x es un conjunto, entonces {x} = x y {x} = x ; si x no es un conjunto {x} = y {x} = .

Demostración :

Si x es un conjunto, por el Teorema 3.2,1º, sólo tiene un elemento y = x, que es subconjunto de x. Entonces {x} = x y {x} = x ; .Potra parte, si x no es un conjunto, el Teorema 3.2,3^º nos asegura que {x} . En virtud del Teorema 2.4,

Introduciremos a continuación un cuarto axioma :

IV Axioma de unión

Si x e y son conjuntos, entonces también lo es x y.

Definición 3.4 : {xy} = {x} {y}. Esta clase se dice que es un par no ordenado.

Teorema 3.5:

1º Si x e y son conjuntos, {xy} es conjunto, y dado z {xy} si y sólo si z = x o z = y.

2ºSi x ó y no son conjuntos, {xy} = .

Demostración :

1^º En virtud del Teorema 3.2, {a;}, {y} son conjuntos; y por el Axioma de unión, {xy} es conjunto.

2^º Si uno de x ó y no es un conjunto, por ejemplo x {x} = , . En consecuencia,

Con idénticos razonamientos se prueba los siguientes resultados :

Teorema 3.6:

1ºSix e y son conjuntos, entonces {xy} = x y, {xy} = x y.

2º Si x ó y no son conjuntos, entonces {x} = , {xy} =

Definición 3.7: Consideremos x, y clases. Se llama par ordenado (x,y) de x e y a la clase

Como propiedad inmediata que poseen los pares ordenados tenemos

Proposición 3.8: Un par ordenado (x,y) es conjunto si y sólo si x e y son conjuntos; si (x,y) no es un conjunto, entonces (x,y) = .

Proposición 3.9: Si x e y son conjuntos, entonces

En el caso de que lóyno sean conjuntos, (x,y) = , (x,y)= , (x,y) = , y (x,y) = . Obviamos las demostraciones de todas estas propiedades, por ser inmediatas a partir de sus respectivas definiciones.

Definición 3.10: Sea z una clase. Llamaremos primera componente de z a z; y segunda componente de z a ( z ) (( z) ~ z )

Teorema 3.11:

1º Si x e y son conjuntos, la primera componente del par (x, y) es x; y la segunda componente es y.

2ºSi x ó y no es conjunto, la primera y la segunda componentes de (x, y) son U.

Demostración :

1^º La primera componente de (x,y) se obtiene directamente de la

Proposición 3.9,4º.

En cuanto a la segunda, calculemos

Pero

y sustituyendo

Si x ó y no es un conjunto, hemos visto que = , decir que la primera componente del par es .

Calculemos la segunda componente :

Corolario 3.12: Si x e y son conjuntos y (x,y) = (u, v), entonces x = u, y = v.

Demostración :

En virtud de la Proposición 3.8, (x,y) es un conjunto, y por tanto (w, v) también es conjunto. Y la misma proposición conduce a que u y v son conjuntos. El resto de la demostración es aplicación trivial del Teorema 3.11.

1.4 Relaciones binarias

Iniciamos el estudio de las relaciones binarias. En pocas palabras consisten en algumos tipos de clases de pares ordenados. Daremos en esta Sección sus propiedades generales. A continuación nos dedicaremos a desarrollar las relaciones binarias más importantes como son el concepto de función o aplicación, y el de relación binaria de equivalencia.

Definición 4.1: Una clase se dice que es una relación binaria si para cada elemento z existen x e y tales que z = (x,y).

El concepto composición de relaciones binarias viene dado por :

Definición 4.2: Sean R y S relaciones binarias. Llamaremos R o S a la clase

Si una relación binaria permite ser compuesta consigo misma de nanera que = o , se dice que posee la Propiedad transitiva.

De esta última definición se deduce directamente :

Corolario 4.3: .

Proposición 4.4:

Demostración :

Probemos la segunda. Sea (x,z) . Existe un y de manera que . En consecuencia, (y, z) S, (y,z) T. Es decir que (x,z) R o S y (x, z) R o T. Esto hace que .

Para la primera expresión, se procede del mismo modo.

Definición 4.5: Sea un una relación binaria. Se define la relación inversa ^-1 de como

Si una relación binaria cumple que = -1, se dirá que posee la

Propiedad simétrica.

Consecuencias inmediatas de esta última definición son

Para terminar esta Sección, enunciaremos algunas propiedades adicionales que pueden poseer las relaciones binarias :

Definición 4.6: Una relación binaria R se dice que está dotada de la Propiedad reflexiva, si dado (x,y) R, se cumple (x,x),(y,y) R .

Definición 4.7: Una relación binaria R posee la Propiedad antisimétrica si dados (x,y),(y,x) se tiene x = y.

Definición 4.8: Una relación binaria 1Z posee la Propiedad asimétrica cuando siempre que suceda que (x, y) R sea falso que (y, x) R.

1.5 Aplicaciones o funciones

En algunos tratados de álgebra se hace distinción entre aplicación y función. Hemos preferido no incorporarla en este libro, puesto que en todo este contexto no precisamos emplearla.

Definición 5.1: Una relación binaria f se dice función o aplicación si dados (x, y), (x, z) f se cumple y = z.

Definición 5.2: Se llama dominio de una aplicación f a

Rango o imagen de f se define como

Una aplicación f se dice que es inyectiva si la relación binaria inversa f-1 es aplicación, es decir,

De las Definiciones 4.2 y 5.1 se desprende trivialmente que

Proposición 5.3: Sean f, g funciones. Entonces f o g es función.

Notación 5.4: En lo sucesivo representaremos (x, y) f por

que es el modo habitual de representar las funciones. Además, si X es un conjunto, se define el “conjunto imagen de X por la aplicación f” como

La notación inicial, como pares ordenados, se llamará gráfica de la aplicación, y será representada por el símbolo si la aplicación en cuestión es /.

También se define

Los elementos de f-1(Y) son llamados “antiimágenes de Y por la aplicación f” mientras que los elementos de f(X) se conocen con el nombre de “imágenes de X por f”.

Proposición 5.5: Sean f y g dos funciones. Entonces f = g si y sólo si f(x) = g(x), ∀x.

Demostración :

Llamemos y = f(x) = g(x). Debido a

f = g en virtud del Axioma de extensión.

Vamos a introducir el quinto axioma :

V Axioma de sustitución

Si f es una función y su dominio def f es conjunto, entonces Imf es conjunto.

Proposición 5.6: Sean A, B dos aplicaciones. Entonces

Demostración :

Tomemos un z Im(AoB). Existe un x de manera que AoB(x) = z. Llamemos y = B(x) y por tanto z = A(y). Entonces y Im B, y def A, es decir,

En consecuencia,

La inclusión contraria prueba invirtiendo el proceso de la demostración.

Probemos la última expresión. Elijamos un x def(A o B) y llamemos y = B(x). Entonces y Im B con y def A, es decir,

y por tanto,

Veamos la inclusión contraria. Tomemos x B-1(def A Im B). Esto hace que B(x) def A Im B, de donde B(x) def A, y por tanto x def (A o B).

Definición 5.7: Una aplicación f que tome valores en X y sus imágenes estén en Y se escribe f : X → Y.

Una aplicación Ix : X → X se dice que es la aplicación identidad sobre X

si

Una aplicación f : X → Y se dice que es suprayectiva, si para cada y Y, existe un x X tal que

En virtud de la Proposición 5.5, la aplicación identidad es única.

Proposición 5.8: Consideremos f, g dos aplicaciones tales que

Entonces g es inyectiva y f suprayectiva. Demostración :

Consideremos

y componemos con f

de donde

Luego g es inyectiva en virtud de la Definición 5.2.

Dado un x existe un y = g(x) que verifica

Luego f es suprayectiva.

Teorema 5.9: .

Demostración :

Consideremos x def f, entonces

pero como

Si x def f,

entonces

y en virtud del Teorema 2.5 f(x) es conjunto. Esto hace que f(x) .

Para terminar enunciamos, sin demostrarlas, unas relaciones que poseen las aplicaciones, y que proponemos al lector como ejercicios :

Proposición 5.10: Sean A, B, A', B' conjuntos y f una aplicación,

Tomemos a continuación f.X >Y, entonces :

Terminemos esta sección introduciendo el concepto de biyección :

Definición 5.11: Una aplicación que sea a la vez inyectiva y suprayectiva se dice que es una aplicación biyectiva o es una biyección.

1.6 Producto cart esiano y leyes de composición

Para desarrollar los conceptos enunciados necesitamos un sexto axioma :

VI Axioma de amalgamación

Si x es conjunto, también lo es x.

Definición 6.1: Sean x e y dos clases. Se llama producto cartesiano de x e y a la clase de pares ordenados dada por

Teorema 6.2: Si u e y son conjuntos, también lo es {u} × y.

Demostración :

Construyamos una aplicación f: Y → {u} × y, cuya gráfica es

Entonces def f = y e Im f = {u} × y. Y por el Axioma de sustitución, {u} × y es conjunto.

Teorema 6.3: Si X e Y son conjuntos, X × Y es conjunto.

Demostración :

Definamos la aplicación

Debido al Axioma de sustitución, Im f es conjunto. Finalmente el Axioma de amalgamación conduce a que Im f es también conjunto, de donde

y por tanto X × Y es conjunto

Corolario 6.4: Si A es una aplicación y def A un es conjunto, A (entendiendo como relación binaria, y por tanto una clase) es un conjunto.

Demostración :

Puesto que Im A también es conjunto, def A × Im A es un conjunto. Esto hace que

Y el Teorema 2.1 permite asegurar que A es un conjunto.

Definición 6.5:

Proposición 6.6:

1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.

2º Dado A un conjunto, representaremos por 2^A el conjunto {0,1}^A Entonces existe una aplicación biyectiva entre .

Demostración :

1^º Tomemos f , luego f C x × y es conjunto. Esto hace que , es decir que

Pero el Teorema 2.7 asegura que es un conjunto, puesto que x × y lo es. Entonces apliquemos el Teorema 2.1, y con ello afirmamos que xy es un conjunto.

2^º Sea B un subconjunto arbitrario de A (B A). Por función característica de B se entiende una aplicación _B : A →{0,1} definida por

Con esta clase de funciones, definimos la aplicación

Veamos que es biyectiva :

Estudiemos en primer lugar la inyectividad de Supo

Esto hace que si b B se tiene que c^(b) = B^(b) = 1, de donde b C.

Esto prueba que B C.

La inclusión contraria se prueba de la misma manera.

Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A→ {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente

En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por o por 2X.

Proposición 6.7:

Demostración :

Simple aplicación del Axioma de extensión y de las definiciones implicadas.

En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones, si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :

Definición 6.8: Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación

Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a + b.

Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :

Definición 6.9: Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e C si

Si sólo se verifica

se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que

será el elemento neutro por la izquierda.

Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si

Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a C posee elemento simétrico a' si

En el caso de que se verifique sólo

se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.

Definición 6.12: Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si

Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica

En la práctica no se ponen los paréntesis que aparecen en el segundo miembro, ya que se sobreentiende que el elemento a actúa por separado sobre los elementos b, c mediante la ley •, y luego los resultados se componen con la ley *

En cuanto a las leyes de composición externas sólo expondremos la definición, pues sus propiedades se irán introduciendo en los casos en que aparezcan :

Definición 6.14: Consideremos C y D dos conjuntos. Una ley de composición externa de D sobre C es toda aplicación

1.7 Relación de equivalencia

Definición 7.1: Una relación binaria S es una relación de equivalencia si posee las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Para expresar que dos elementos a y b pertenecen a la relación de equivalencia , (a,b) , se emplea la notación

y se lee “a (es) equivalente a b”. También escribiremos

que se lee “a congruente con (o equivalente a) b mòdulo e”.

Definición 7.2: Se llama clase de equivalencia de un elemento b a la clase formada por los elementos equivalentes a b.

Proposición 7.3: Sea C(a) la clase de equivalencia de a. Dos elementos arbitrarios b y c de C(a) son equivalentes.

Demostración :

Por ser b equivalente a a,b a, y por ser c equivalente a a, c£ a. En virtud de la Propiedad simétrica, a c. Y la Propiedad transitiva hace que b c. Luego b y c son equivalentes.

Proposición 7.4: Dos clases de equivalencia que tengan un elemento común son iguales.

Demostración :

Sea

y elijamos un . Entonce x£ a, y debido a que a£ c, se tiene por la Propiedad transitiva que x c. Luego . De igual forma se prueba que los elementos de C(c) son elementos de C(b). Por el Axioma de extensión,

Definición 7.5: Consideremos una relación de equivalencia en C. Se llama clase cociente a la clase formada por las clases de equivalencia de , y se representa por .

Entre C y existe una aplicación /i, llamada proyección canónica, definida por

Evidentemente esta aplicación es suprayectiva.

Proposición 7.6: Si es conjunto, es conjunto.

Demostración :

Debido a que es suprayectiva,

Ahora bien, dado que def , por el Axioma de sustitución, es conjunto.

Es frecuente en un principiante confundir conjunto de clases de equivalencia (conjunto cociente) con la unión de estas mismas clases de equivalencia. Para salir del error, pensemos de nuevo en el símil de los pueblos.

Establezcamos en una nación una relación binaria que consiste que dos individuos estén relacionados si se hallan empadronados en un mismo centro. Está claro que esta relación es de equivalencia. Sus clases de equivalencia formarán los pueblos que integran la nación. La unión de todos los pueblos será esta misma nación. En cambio, el conjunto cociente resulta ser la ¡Federación de pueblos!, que, desde luego, es totalmente distinta a la unión.

¹ El Teorema de Incompletitud de Godei asegura que todo sistema lógico es incompleto. Esto quiere decir que simpre habrá proposiciones que no podrán ser confirmadas ni negadas en el marco del cuerpo axiomático en que se trabaja: proposiciones indecidibles. Si se tuviera una Teoría de Conjuntos completa, ésta no sería lógica, pues sería incompatible con el Teorema de Incompletitud, por lo que contendría contradiciones entre sus proposiciones.

2. El axioma de elección

Continuando con la construcción de una teoría de conjuntos, abordamos en este Capítulo el Axioma de elección. Quizá es el axioma más controvertido de la axiomática conjuntista, pues históricamente no ha sido aceptado por todas las escuelas de matemáticos. Por ello, los partidarios del mismo se han esforzado en buscar equivalencias con otras proposiciones que en otros sistemas lógicos se consideran como puntos de partida.

Con el fin de obtener una clara exposición sobre este particular, desarrollamos el concepto de la buena ordenación que poseen los conjuntos y que ya Cantor lo había utilizado en sus primeros trabajos sobre los números transfinitos. Luego abordaremos el concepto de ordinal y de número ordinal. Se probará que la clase de los números ordinales es propia y goza de una buena ordenación. Ello nos servirá para obtener consecuencias equivalentes del Axioma de elección ya citado, y que abordaremos en la última Sección de este Capítulo. Pero los ordinales también serán utilizados en el siguiente capítulo para construir los números naturales y los cardinales en general.

2.1 Buena ordenación

Definición 1.1: Sea R una relación binaria. Se dice que R conecta a X si y sólo si

Se dice que z es un R-primer elemento de X si y sólo si z X y dado y X, con y ≠ z, es falso que (y, z) R.

Definición 1.2: SeaU una relación binaria. 1Z ordena bien a X si conecta a X y

Definición 1.3: Un orden es una una relación binaria que no posea la Propiedad simétrica y tenga al menos la Propiedad transitiva. Si además goza de las Propiedades reflexiva y antisimétrica, se dirá que es una relación de orden. (Véase Sección 4º del capítulo precedente).

La formulación empleada es x y que representa (x, y) G TZ. En esta nueva notación, se expresa diciendo que “x está -relacionado con y“ o que “x precede a y“. Obsérvese además que si una relación binaria posee la Propiedad reflexiva, la asimétrica queda sustituida por la Propiedad antisimétrica.

Teorema 1.4: Si ordena bien a X, entonces es transitiva y asimétrica.

Demostración :

Consideremos u,v X, con (u,v),(v,u) . Por definición de par ordenado (Definición 3.7 del Capítulo 1),

Ahora bien, debido a que u,v {u v}, resulta que {u v} X. Por consiguiente {u v} X tiene un -primer elemento z. Este z debe coincidir con u o con v, es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber: (u,v) o (v,u) . Luego posee la Propiedad asimétrica.

Si no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) , (v, w) (w, u) , puesto que conecta a X. Entonces el subconjunto {u} {v} {w} X no tendría -primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.

Definición 1.5: Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que u X, v Y con u v se tenga que u £7.

En otras palabras, diremos que, si un orden ordena bien a un conjunto X, un subconjunto Y de X será una -sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.

Proposición 1.6: Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.

Demostración :

Obsérvese que los elementos de y o de y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ y o de x ~ y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, y y y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5 para que sean - secciones.

Teorema 1.7: Si Y es una -sección de X con Y ≠ X, entonces existe un v X de manera que

Demostración :

Sea y es una -sección de X que no coincide con X. Debido a que TZ ordena bien a X y X ~ Y X, la Definición 1.2 asegura que X ~ Y posee ft-primer elemento v. Si consideramos que u £ X con u v, résulta que u X ~Y. Con ello se ha probado que

Tomemos u Y. Por ser Y -sección, es falso que v u. Y como ordena bien a X, uv. Esto prueba la inclusion contraria.

El siguiente resultado es inmediato por lo que lo damos sin ningún comentario :

Proposición 1.8: Dadas dos -secciones Y, Z de X, se verifica que Y Z ó Z Y.

Definición 1.9: Consideremos dos órdenes , S. Se dice que una aplicación f conserva el orden -S si 1Z ordena bien a def f y S ordena bien a Im f de manera que f(u) S f(v) si u v.

Teorema 1.10: Si ordena bien a X y f es una aplicación de una - sección Y en X, de manera que conserve el orden -, entonces es falso que f(u) u, ∀ u Y.

Demostración :

Basta probar que

Supongamos que no lo sea. Entonces posee un ft-primer elemento v, que por pertenecer a Y', f(v) v; y al conservai / el orden, f(f{v)) f{v).

Si tomamos un u X de manera que u v, resulta que u Y' (ya que v es un ft-primer elemento de y’), y por tanto, o u f(u), o u = f(u). Del mismo modo se tiene que f(v) Y' que conduce a que, o f(v)f (f(v)), o f(v) = f (f(v)), que resulta ser contradictorio con lo anterior. Esto hace que Y' = .

Teorema 1.11: Si f conserva el orden -S, entonces f es una aplicación inyectiva y f^-1 conserva el orden S-.

Demostración :

Tomemos

Entonces no puede verificarse por separado x y ni yx. En consecuencia, x = y.

Consideremos que f(u) S f(v). Entonces u ≠ v; y debido a que f conserva el orden - S, u v. Esto hace que f^-1 conserve el orden S - .

Teorema 1.12: Si f y g son aplicaciones de X en Y que conserven el orden - S, def f y def g son secciones de X, e Im f, Im g son secciones de Y, entonces f g ó g f.

Demostración :

Dado que def f, def y son secciones, la Proposición 1.8 nos indica que, o def / C def y, o def y C def /. Y la demostración se reduce a probar que

Definamos la clase

Si C es no vacía, tendrá un -primer elemento u, que verificará obviamente f(u) ≠ g(w). Supóngase que f(u) S g(u). Dado que Im g es una «S -sección de Y, f(u) Im g. (Recuérdese que no existen elementos fuera de las seciones que precedan a sus elementos). Luego existe un v X que verifique g(v) = f(u). Esto hace que g(v)Sg(u). Ahora bien, como y^-1 conserva el orden S-, resulta que vu. Pero u es el primer elemento de C en donde las aplicaciones difieren, lo que es una contradicción. Esto conduce a afirmar que C = 0, por lo tanto se cumple (1.12.1).

Teorema 1.13: Si ordena bien a X y S ordena bien a Y, existe una única función f que conserva el orden - S, tal que def f = X ó Im f = Y.

Demostración :

La cuestión que plantea el enunciado de este teorema no es la existencia de aplicaciones de X en Y que conserven el orden -S, pues estas funciones son fáciles de definir debido a que X e Y están bien ordenados, y se puede aprovechar esta circunstancia para ello. Además se construyen de manera que sus dominios de definición sean -secciones, y sus imágenes S -secciones. Pero eso no asegura que sus dominios sean X y sus imágenes Y. Representemos por g las aplicaciones de este tipo. El teorema prueba que existe una única aplicación cuyo dominio es X o su imagen, Y.

Definamos

Esta relación binaria es una aplicación, ya que si existiesen dos aplicaciones g1, g2 con u def g1 ⋂def g2, el Teorema 1.12 asegura que g₁(u) = g2{u).

Veamos que def f es una –sección e Im f es una S– sección :

Esto es evidente debido a que def f es unión de -secciones de tipo def g e Im f es unión de «S-secciones Im g.

Probemos que def f = X ó Im f = Y :

Si no lo son, existe un - primer elemento it de X ~ def f y un -imprimer elemento v de Y ~ Im f. Entonces la función f ⋃ {(u, v)} también conserva el orden - S. Luego existe un g de manera que (u, v) g, y, por definición de f, se tiene que f.

Podemos repetir el razonamiento hasta llegar a que def f = X ó Im f = Y.

Corolario 1.14: Si H ordena bien a X y S ordena bien a Y, de manera que X sea un conjunto e Y una clase propia, existe una función f que conserva el orden -S de manera que def f = X. Demostración :

Está claro que no se puede verificar que Im f = Y, ya que Im f es conjunto e Y clase propia. Esto hace que, según el Teorema 1.13, def f = X.

2.2 Ordinales y números ordinales

Entre las clases bien ordenadas, la clase de los números ordinales es un ejemplo de ellas. En esta Sección nos dedicaremos a construir esta clase, y para ello definiremos el concepto de ordinal con sus propiedades más características.

Empecemos introduciendo un nuevo axioma :

VII Axioma de regularidad

Si x ≠ 0, existe un elemento y x que verifica

El enunciado de este axioma puede prestarse a confusión en el sentido de que podría pensarse que x ⋂ y = y, en vez de x ⋂ {y} = {y} que simpre es cierta. Efectivamente, x ⋂ y está formado por los elementos comunes de x y de y. El axioma anterior precisamente exige que al menos un elemento de x no tenga elementos comunes con x.

Consecuencias inmediatas de este axioma son :

Proposición 2.1: x ≠ x.

Demostración :

Lo probaremos por reducción al absurdo :

Consideremos que x x, entonces x es un conjunto no vacío, y por tanto es, a su vez, el único elemento de {x}, es decir, y = x. Ahora bien, por el último axioma, existe un y {x} tal que

Pero este resultado contradice el hecho que y y {x}.

Ahora estamos en condiciones de aceptar como válida la posible intuición (que seguramente tuvo el lector al leer la introducción del capítulo anterior) de que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Esta intuición es una verdad lógica si aceptamos el Axioma de regularidad. En estas circunstacias, la clase de Russell R coincide con la clase universal .

Proposición 2.2: Es falso que x y ∧ y x.

Demostración :

Consideremos que x y, y x. En consecuencia, x, y son conjuntos, y son los únicos elementos de la clase

Aplicando el Axioma de regularidad, se llega a una contradicción, ya que ningún elemento de A posee intersección vacía con la clase A.

Definición 2.3: Se llama clase E la clase de pares ordenados

De esta misma definición, se desprende que E es una relación binaria, que posee la Propiedad asimétrica.

Teorema 2.4: La clase E es propia.

Demostración :

Consideremos que E sea conjunto, es decir, E ; entonces {E} y (E,{E}) E (ya que E {-E}). En virtud de la definición de par ordenado (Definición 3.7 del Capítulo 1), (E, {E} ) = { E{ E{ E}}}, con lo que

Construyamos la clase

Pero esta clase contradice el Axioma de regularidad, lo que es absurdo y, por tanto, E no es un conjunto.

Estudiada la clase E, podemos ocuparnos ampliamente del concepto de ordinal a partir de una definición previa.

Definición 2.5: Una clase x se dice que es o está saturada (o completa) si y sólo si cada elemento de x es un subconjunto propio de x (es decir, un subconjunto distinto de x).

Definición 2.6: x es un ordinal si x es una clase saturada y E conecta a x

Analicemos detenidamente este concepto: Por definición de E resulta que, dados dos elementos distintos de x, uno es elemento del otro. Además, los elementos de los miembros de x son elementos de x (Condición de saturación de una clase), lo que dota a E de la Propiedad transitiva en x.

Teorema 2.7: Si x es ordinal, E ordena bien a x.

Demostración :

Para que E ordene bien a x, tiene que conectarlo, hecho que por definición de ordinal ya se verifica. Además debe cumplir la Propiedad asimétrica y que todo subconjunto posea un E-primer elemento, de acuerdo con la Definición 1.2.

Tomemos u,v x, de manera que u v, es decir, u £ v. Por la Proposición 2.2, es falso que v Eu. Luego la relación binaria E posee en x la Propiedad asimétrica.

Consideremos y un subconjunto no vacío de x. Por el Axioma de regularidad, y posee un elemento u tal que

es decir que ningún elemento de y pertenece au. En consecuencia, u es el E-primer elemento de y.

Proposición 2.8: Si x es un ordinal, y C x con y / x y de manera que y también sea saturado, entonces y x.

Demostración :

Basta probar que E conecta a y. Tomemos u E v, v E y. Por ser y saturado, u E y. Esto hace que y es una .E - sección de x. En virtud del Teorema 1.7, existe un wx tal que

Ahora bien, como cada elemento de w pertenece a x, resulta que

es decir, y = w, o lo que es lo mismo y x.

Nota 2.9: Este último teorema prueba que y es un ordinal, si tenemos en cuenta la Definición 2.6, ya que al estar x üJ-conectado y también lo está.

Proposición 2.10: Si x e y son ordinales, entonces x y ó y x.

Demostración :

Si x ey son iguales, se verifica trivialmente el teorema. Si son distintos, es obvio que la clase x y está saturada, puesto que a; e y lo están. Por el teorema anterior, o x y = x, o x y x. El primer caso es equivalente a x y. En cambio, si x y x, entonces x y (pues si cumpliese también x y y, se verificaría x y x y, lo que contradice la Proposición 2.1). Ahora bien, como x y es subconjunto de y e y es saturado, x y debía ser elemento de y (y hemos visto que no lo es). La única posibilidad que queda es

Corolario 2.11: Si x e y son ordinales, entonces, o x y, o y x, o y = x.

Demostración :

Supongamos que sean distintos. Entonces la Proposición 2.10 asegura que x y o y x. Ahora bien, como x e y están saturados y son distintos, aplicamos la Proposición 2.8, con lo que, o x y, o y x.

Teorema 2.12: Si x es un ordinal e y x, entonces y es un ordinal. Demostración :

Por ser x un ordinal, es saturado; y por tanto y x (Definición 2.5). Esto hace que E también conecte a y.

Hemos de ver que y también es saturado :

Por de pronto, E conecta a y, puesto que E conecta a x. Ahora bien, dado que E es transitiva en x, también será transitiva en y. Por consiguiente, si tomamos un elemento v £ y y un elemento u v, por la Propiedad transitiva de E, u y; es decir,

Luego y está saturado. En virtud de la Definición 2.6, y es un ordinal.

Definición 2.13: Representaremos la clase de los ordinales por

Teorema 2.14: es una clase propia que es un ordinal. Demostración :

El Corolario 2.11 y la Proposición 2.12 muestran que E conecta

Tomemos un x arbitrario. Para cualquier elemento y x, será un ordinal en virtud del Teorema 2.12, en consecuencia y . Luego

Con ello hemos probado que es saturado, y, por tanto, ordinal.

Finalmente, si fuera conjunto, , lo que es absurdo en virtud de la Proposición 2.1.

Teorema 2.15: Cada E-sección de O es un ordinal. Demostración :

Consideremos x una .E-sección de con x ≠ . En virtud del Teorema 1.7, existe un v de manera que

Como cada elemento de v es un ordinal,

con lo que x = v es ordinal.

Definición 2.16: Un número ordinal es un ordinal x ∈

En otras palabras diremos que todos los ordinales son números ordinales salvo . La negación de este aserto consiste la paradoja de Burali- Forti. Históricamente fue la primera contradicción que se encontró a la Teoría de Conjuntos de Cantor. Si fuera un número ordinal, sería un elemento de , y ello conduce a que tendría elementos que no son números ordinales, en contra de la definición de . Además se violaría el Axioma de regularidad.

Definición 2.17:

Teorema 2.18:

1º Si x e y son ordinales, entonces x ≤ y si y sólo si x ⊂ y

2ºsi y sólo si x C y. Si x es un ordinal, entonces

3^º Si x ⊂ , entonces x es un ordinal.

Demostración :

1^º Si x = y, se verifica trivialmente x ⊂ y. Si x < y, la Definición 2.17 conduce a que x y. Ahora bien, al ser y ordinal, es saturado, por lo que x ⊂ y. El recíproco se deduce de inmediato de la Proposición 2.8.

2^º Trivial.

3^º Por la Definición 1.12, del Capítulo 1, tomemos z₁,z₂ IJ®- Existen y\, x tales que

Ahora bien, debido a que x es un ordinal, y₁, y₂ también lo son (Teorema 2.12) y, a su vez, z1 y Z₂ son ordinales. El Corolario 1.11 conduce a que, o z1 z₂, o z2 z1. Esto prueba que E conecta a x.

En el razonamiento precedente se ha probado además que los elementos de x son saturados (por ser ordinales). Probemos que x es saturado :

Sea

Existe un y x tal que 2 y. Por la condición de saturación, ,

es decir, u ∁ y; y en virtud de la Proposición 2.8, u y. Con ello se ha probado que u x, de donde

Luego x es saturado, y por tanto, un ordinal.

Proposición 2.19: Si x ⊂ y x ≠ , entonces ⋂ x ⊂ x.

Demostración :

Debido a que es ordinal, es saturado. Por la condición de saturación, x es ordinal. Por lo tanto, todo elemento de x es ordinal y subconjunto de x. Por esta razón, los elementos de elementos de x también serán miembros de x. En consecuencia,⋂ x ⊂ x.

Definición 2.20: x + 1 = x {x}.

Proposición 2.21: Si x , entonces x + 1 es ordinal y es el E-primer elemento de

Demostración :

Evidentemente x {x} es saturado, ya que x es un ordinal. Además E conecta a x {x}, ya que x x {x} y E conecta a x. Esto hace que x + 1 sea ordinal.

Supongamos que exista un elemento

con u < x + 1 . Esto hace que u x {x}, con lo que, o u x, o u = x. Pero por (2.21.1) x u. Estas conclusiones contradicen las Proposiciones 2.1, 2.2, lo que prueba que x + 1 es el E-primer elemento de {y : y O con x < y}.

Proposición 2.22: Si x , se tiene que (x + 1) = x.

Trivial.

Definición 2.23 :

Proposición 2.24: Si f es una aplicación, f|x es una función de dominio def|_x = x ⋂def f, y además

También es una proposición inmediata de la Definición 2.23.

Finalizamos esta Sección estudiando ei teorema final de los ordinales que, a su vez, precisa de un lema previo.

Lema 2.25: Sea f una aplicación tal que su dominio sea un ordinal y sea g una función que verifique f(u) = g(f|u) para cada u def f. Si h es también una función de manera que su dominio sea un ordinal y h(u) = g(h|u) con u def h, entonces h ⊂ f ó f ⊂ h. Demostración :

Al ser def f y def h ordinales, podemos suponer que def f ⊂ def h (en virtud del Teorema 2.10).

Probemos que f(u) = h(u), ∀u def f :

Supongamos que no se verifica. Consideremos que u sea el E-primer elemento de def f tal que F(u) ≠ h(u). Entonces f(v) = h(v) para los elementos v E-anteriores a u, es decir, v u. Esto hace que f|u = h|_u. En consecuencia,

Sabido esto, como las imágenes de estas dos funciones coinciden en def f, resulta que f ⊂ h.

Se prueba la inclusión contraria si se hubiera partido de def h ⊂ def f.

Teorema 2.26: Para cada g existe una función f, cuyo dominio def / es un ordinal, que verifica f(x) = g(f|x) para todo número ordinal x.

Demostración :

Probaremos este teorema tanto para ordinales x def f como para los que x def f.

Para el primer caso, definamos la relación binaria f del siguiente modo: Los pares ordenados (u, v) f verifican u s . Para definir la segunda componente, tomemos una aplicación h cuyo dominio def h sea un ordinal y que verifique que h(z) = g(h|z) para cada z def h. (Sobre la existencia de h, hemos de decir que se construye a partir de un ordinal z, pues de este modo queda definida para los ordinales y z). Entonces elegimos v de manera que (u, v) h.

Debido a que las restricciones de h coinciden (Lema 2.25), f es una función. Además, de la definición de sección (Definición 1.5) y de la Proposición 2.8, resulta que def f es una E-sección de y, por tanto, es un ordinal (Teorema 2.15). Es más: Dado que h(z) = g(h|z) para z def h, por definición de f, h ⊂ f, con lo que

Consideremos ahora x ~ def f. En virtud del Teorema 2.9 del Capítulo 1, f(x) = .

Por otra parte, al ser def f conjunto, el Corolario 6.3 del capítulo citado asegura que / es conjunto.

En el caso de que f def g, el Teorema 2.9 citado afirma que g(f) es conjunto. Tomemos a continuación el ¿-primer elemento y de ~ def f y h = f {y, g(f)}. Puesto que def h = def f y también es saturado y es conectado por E. Luego def h es ordinal. A su vez se cumple de la misma definición de h que h(z) = g{h|z) para todo z def h. Aplicando el Lema 2.25, h ⊂ f . Esto conduce a que esta última aplicación h es de las que define la función f, lo que conduce a que y def f, que es contradictorio, ya que y ~ def f.

Luego f def g, entonces por las razones ya expuestas g(f) = , con lo que

Con ello se ha probado que la relación anterior es válida para todo ordinal.

2.3 Axioma de elección. Proposiciones equivalentes

Definición 3.1: Una función de elección es una aplicación F de manera que F(x) x para cada elemento x no vacío del dominio de F.

Con este nuevo concepto, enunciamos el Axioma de elección en la modalidad dada por Godei :

VIII Axioma de elección

Existe un función de elección F cuyo dominio es ~ .

En realidad la función de elección selecciona un elemento de cada conjunto no vacío.

Si se restringe este axioma a cada conjunto no vacío se tiene la versión de este axioma dada por Zermelo :

Axioma de elección de Zermelo

Para cada conjunto no vacío X existe una función de elección

definida en P(X)~ (P(X): partes de X).

Evidentemente el Axioma de elección implica el Axioma de Zermelo.

Estudiemos sus consecuencias :

Los teoremas que vamos a probar se basan en el Axioma de elección; pero con pequeñas variantes en las demostraciones también son válidos a partir del Axioma de Zermelo.

.

Teorema 3.2: (de numerabilidad) Si x es un conjunto, existe una aplicación biyectiva, cuya imagen es x y su dominio es un número ordinal.

Demostración :

Construimos una función f de la siguiente manera: Sea la aplicación definida como g(h) = F{x ~ Im h), donde h es conjunto. En virtud del Teorema 2.26, existe una aplicación F, cuyo dominio es un ordinal y que verifica f(u) = g(f|_u)para cada número ordinal u. Entonces f{u) = F{x~Im f|u).

Si u def f, f(u) es conjunto (Teorema 5.9 del Capítulo 1), y por tanto

Probemos que f es una biyección: Partimos de

Si v, u son distintos, uno será mayor que el otro (por ser ordinales). Sea, por ejemplo, v < u. Y ello conduce a que f{v) Im f|u. Pero por (3.2.2), f(u) Im f|, que contradice (3.2.1). Luego / es una inyección.

Evidentemente def f ≠ , pues de lo contrario f^-1 sería una aplicación, cuyo dominio sería una subclase de x y, por tanto, subconjunto (por serlo x). Por el Axioma de sustitución, Ö sería un conjunto, hecho que hemos probado que no lo es. Entonces def f £ . Llamemos u a def f.

Puesto que def f def f en virtud de la Proposición 2.2, es decir, u no es elemento de def f, u deff/, y el Teorema 5.9 citado asegura que f(u) = y, por tanto, F(x ~ Im f) = . Pero el dominio de F es ~ , y aplicando de nuevo el Teorema 5.9,

es decir, x = Im f. Entonces f|_def es una aplicación biyectiva entre el ordinal def f y el conjunto x.

El siguiente teorema también es debido a Zermelo :

Teorema 3.3: (de la buena ordenación) Todo conjunto admite un buen orden.

Demostración :

Consideremos un conjunto X. Por el teorema anterior, existe una biyección f entre X y un ordinal y. Construyamos a partir de f un buen orden en X, definiendo la relación de orden

A su vez de este resultado deducimos la siguiente proposición :

Teorema 3.4: Si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, entonces existe un conjunto C que contiene exactamente un elemento de cada elemento de X.

Demostración :

Llamemos Y = X. Por el Axioma de amalgamación, Y es un conjunto. Cada elemento u de X es un conjunto y, por el Corolario 3.3, u está bien ordenado. Elijamos su primer elemento. Definimos una aplicación de manera que (u) sea el primer elemento de u, entonces

Y por el Teorema 2.1 del Capítulo 1, C es conjunto.

Teorema 3.5: El Teorema 3-4 implica el axioma de Zermelo.

Demostración :

Sea X un conjunto, y definamos

Obviamente existe una biyección entre X e Y, por lo que resulta que Y es conjunto, con la propiedad de que sus elementos son disjuntos dos a dos. En virtud del Teorema 3.4, construyamos la relación binaria

El mismo teorema prueba que para cada u existe un solo v, por lo que f es una función. Se obtiene de inmediato el Axioma de Zermelo si sustituimos X por P(X). En este caso f sería la función de elección.

Con estos teoremas estudiados, se ha puesto de manifiesto que el Axioma de elección de Zermelo, el Teorema de numerabili dad, el Teorema de la buena ordenación de Zermelo y la Proposición

3.4 son equivalentes. De hecho en muchas ocasiones algunos autores toman esta última proposición como el axioma de elección.

El Axioma de elección de Zermelo posee otras equivalencias que vamos a tratar. Se necesita otros conceptos como es el de cadena, el de elemento maximal y el de conjunto inductivo. El primero de ello se enuncia como :

Definición 3.6: Una clase k se dice que es una cadena si para x, y k arbitrarios se verifica x ⊂ y ó y ⊂ x. Este concepto de cadena también se extiende para toda relación de orden arbitraria .

Lema 3.7: Si k es una cadena y cada miembro de k es una cadena, k es una cadena.

Demostración :

Tomemos x, z k. Existen m, p k tales que x m, z p. Por ser m, p elementos de la cadena k, m p ó p m. Supongamos que m p. Entonces x p, es decir, x, z p, y al ser p cadena por hipótesis, x z ó z x. En virtud de la Definición 3.6, x es una cadena.

Principio maximal de Hausdorff

Teorema 3.8: Sea x un conjunto. Existe una cadena n tal que n ⊂ x, de manera que dada otra cadena m con m ⊂ x y n ⊂ m, se cumple n = m.

Demostración :

Para cada aplicación h definimos la clase

Evidentemente Yh es conjunto por verificar Yh ⊂ V(x). Tomemos una función F que satisfaga el Axioma de elección y definimos la aplicación g como

En virtud del Teorema 2.26, existe una función /, en la que def / es ordinal y que f(u) = g(f|u) para todo ordinal u. Por definición de g, dado u def f, f(u) = g(f|u) = F(Y fu) £ Y fu. Luego /(tt) es una cadena de x, y por tanto f(u) ⊂ x.

Tomemos u,v def f distintos. Al ser u, v ordinales, uno es estrictamente mayor que el otro. Consideremos, por ejemplo, u < v; lo que es equivalente a que u v. Entonces f(u) f(v), luego f(u) ≠ f(v). Por consiguiente, F es inyectiva. Esto hace que f^-1 sea una aplicación. A partir de esta conclusion y puesto que X es conjunto, el Axioma de sustitución asegura que Im f^-1 = def f es conjunto, es decir, un númro ordinal, esto hace que def f . lamemos n este ordinal. Con ello se obtiene que, puesto que def f def f, n def f; y por tanto f(n) = , es decir, g(f) = g(f|deî) = . Pero esto contradice el hecho de que g(f) es un elemento de Y), o lo que es lo mismo g(f) no sería una cadena. Por consiguiente, no hay ninguna cadena contenida en x y que contenga propiamente a cada elemento de Imf. Ahora bien, por construcción de /, Im f es una cadena, y cada miembro de Im f es una cadena por ser imagen de un ordinal. Entonces, en virtud del Lema 3.7, Im f es una cadena que contiene a todo elemento de Im f. Llamemos, pues, n = lm f.

Definición 3.9: Una clase Xx se dice que está parcialmente ordenada respecto a la relación binaria si x y e y z, entonces x z.

Es decir que sólo se exige que la relación binaria posea la Propiedad transitiva. En realidad, de acuerdo con el Teorema de la buena ordenación, todo conjunto admite un buen orden respecto a la relación de orden definida en el Teorema 3.3. Para esta relación todo conjunto está parcialmente ordenado; pero puede suceder que no lo sea para otro tipo de relaciones binarias.

Definición 3.10: Sea A un subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado con la relación binaria . Se dice que c X es cota superior de A si y c para todo y A. Y se dirá que c es cota inferior de A si c y para todo y A. La menor de las cotas superiores de un conjunto se ¡lama supremo, y la mayor de las cotas inferiores es llamada ínfimo.

Un elemento m A se dirá que es maximal si no existe ningún elemento y A que verifique que m y. Y se dirá minimal si tampoco existe un y A tal que y m.

Definición 3.11: Sea X un conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden . Se dice que X es un conjunto inductivo (o inductivamente ordenado) si toda cadena posee una cota superior.

Con estas nuevas definiciones, prosigamos estudiando consecuencias del Axioma de elección y sus equivalencias.

Teorema 3.12: (Lema de Zorn) Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal. Demostración :

Sea X un conjunto inductivamente ordenado por una relación de orden . Para cada a x definimos

y con Xa, construimos S = {X_a :a x }.

La aplicación

es biyectiva y conserva el orden, es decir,

Esto implica que S es inductivo con la relación de inclusión C, luego en virtud del Teorema 3.8 posee un elemento maximal, y por lo tanto X también lo tiene.

Teorema 3.13: Todo elemento de un conjunto inductivamente ordenado precede a un elemento maximal. Demostración :

Sea A un conjunto inductivamente ordenado y tomemos u A. Formemos la siguiente clase

Evidentemente B A. Luego en virtud del Teorema 2.1 del Capítulo 1 B es conjunto, que obviamente es inductivo. Por el Lema de Zorn, B posee un elemento maximal m que también es maximal en A. En consecuencia, u m.

Podría suceder que u fuese maximal en A. Dado que u u, résulta que u precede a sí mismo.

Teorema 3.14: El Teorema 3.13 induce el Axioma de elección de Zer- melo.

Demostración :

Sea X un conjunto no vacío arbitrario, y sobre él formemos la clase A de funciones de elección definidas sobre subconjuntos de X. Esta clase es no vacía, pues los subconjuntos de la forma {x} tienen por función de elección la definida por F({z}) = x. En virtud de la Proposición 6.5 del Capítulo 1 A es conjunto por ser subclase de P(X)X, ya que si X es conjunto, P(X) es conjunto (Teorema 2.7 del mismo capítulo).

Establezcamos en A un orden parcial: Dadas f,g A, diremos que f g si y sólo si def f def g y g |def f = f. Claramente esta relación tiene la Propiedad transitiva.

Veamos que A es inductivo :

Consideremos una cadena {f_i} arbitraria de A y hemos de encontrar una cota superior. Para ello construimos la aplicación

Evidentemente es cota superior de la cadena. Luego A es inductivo.

Al ser A inductivo, podemos tomar un elemento maximal h de A que seguirá siendo una función de elección sobre subconjuntos de X. Puede suceder que def h — p(X), o que exista un elemento no vacío (subconjunto de X) u ‘P(X) ~ def h. Si ocurre el primer caso, se tiene ya el Axioma de Zermelo. En caso contrario, tomemos un elemento v u; y definamos la función h {(u, v)} que es una función de elección sobre def h {u}. En consecuencia, h no sería element maximal.

3. Cardinalidad

Iniciamos este Capítulo estudiando los números naturales. Se verá que la clase de estos números no es propia, ya que es elemento de la clase de los números ordinales, estudiada en el capítulo precedente. Probaremos los postulados de Peano, a partir de la definición, que vamos a introducir de número natural. Después nos dedicaremos a desarrollar la teoría de la cardinalidad de los conjuntos y, con ella, expondremos el concepto de número cardinal. Se verá que los números naturales forman un subconjunto de los cardinales. Entonces los números transfinitos serán definidos como los elementos de la clase complementaria. Terminaremos con una sección dedicada a una breve exposición sobre las hipótesis de continuo.

3.1 Números naturales

Se podría creer que es de por sí conjunto, pues basta elegir un conjunto arbitrario x y, por el Teorema 1.15 del Capítulo 1, x; entonces por el Teorema 2.1 del mismo capítulo, resultaría que sería conjunto. Pero si analizamos bien este razonamiento, se verá que el hecho de ser 0 conjunto está condicionado a la existencia de un conjunto x. En realidad, en ningún momento se ha probado que existan conjuntos. Todos los resultados obtenidos parten del hipotético supuesto de que existan.

Una vez más necesitamos un nuevo axioma para poder asegurar que los conjuntos son realidades matemáticas. El axioma que nos disponemos a introducir no sólo nos va a permitir desarrollar la teoría de los números naturales, no sólo eso, sino tambiém construirlos. Este será el último axioma de la Teoría de Conjuntos que hemos estudiado a lo largo de estos primeros capítulos.

IX Axioma del infinito

Para algún y, y es un conjunto

Este axioma asegura que es conjunto. A partir del mismo se construye el conjunto {} (consecuencia del Axioma de unión y del Teorema 3.2.2° del Capítulo 1). A su vez obtenemos el conjunto { {}}, y así sucesivamente.

Definición 1.1: x es un número natural si y sólo si x es un ordinal y E-l ordena bien a x.

Definición 1.2: x es un E-último elemento de y si y sólo si x es un E-1 -primer elemento de y.

Definición 1.3: IN = {x : x es un número natural}.

Teorema 1.4: Un elemento de un número natural es un número natural.

Demostración :

Sea x un número natural, entonces es un ordinal, y por tanto es saturado. Esto hace que cualquier elemento y x será subconjunto. En consecuencia también estará E^-1-conectado. Como además y es ordinal en virtud del Teorema 2.12 del Capítulo 2 y será un número natural.

Proposición 1.5: Si y y x es un E-último elemento de y, entonces y = x + 1.

Demostración :

En virtud de la Proposición 2.21 del capítulo precedente x + 1 es un ordinal y es el E-primer elemento de

Al ser x el E -último elemento de y, es un elemento de y, x y. Y por la Definición 2.18 del mismo capítulo x < y. En consecuencia, y Y. Esto hace que x + 1 ≤ y.

Pero por ser x el E'-último elemento de y y x < x + 1, es falso que x + 1 < y. Luego x + 1 = y.

Teorema 1.6: (Primer Postulado de Peano) Si a: IN, entonces x + 1 IN.

Demostración :

En virtud de la Proposición 2.21 citada en la demostración de la proposición anterior, x + 1 es ordinal.

Puesto que E-1 ordena bien a x, también ordena bien a x + 1. Luego x + 1 es un número natural.

Teorema 1.7: IN y si x IN, entonces ≠ x + 1.

Demostración :

obviamente está E y E^-1 bien ordenado. Por estar bien ordenado por E será un numero ordinal, ya que es un conjunto. Y como además se halla bien ordenado por E^-1, será un número natural.

Por otra parte, tomemos un número natural x. Puede suceder que x = , o que x ≠. En el primer caso,

ya que estos dos conjuntos no tienen los mismos elementos. ( no tiene ninguno, y { } posee uno, ). En el segundo caso,

En ambos casos, se tiene que

si consideramos la Definición 2.20 del Capítulo 2.

Cuando se considere como número natural, se representará por 0. Entonces el Teorema 1.7 toma la forma :

Corolario 1.8: (Segundo Postulado de Peano) 0 no es sucesor de ningún número natural.

Teorema 1.9: (Tercer Postulado de Peano) Consideremos x,y IN tales que x + 1 = y + 1, entonces x = y.

Demostración :

Puesto que x + 1 = y + 1,

Y la Proposición 2.22 del Capítulo 2, aplicada a ambos lados de la igualdad, conduce a

ya que x, y son ordinales por ser núneros naturales.

El cuarto Postulado de Peano, conocido también como “Principio de inducción matemática”, dice así :

Teorema 1.10: Si x IN, 0 x, u + 1 x siempre que u x, entonces x = IN.

Demostración :

Supóngase que x ≠ IN. Entonces tomemos y el E-primer elemento de IN ~ x. Evidentemente y ≠ 0. Dado que y y + 1, y + 1 número natural, existe un ¿-último elemento u de y +1. Pero un E-último elemento es un E^-1-primer elemento. Por ello u x; y se tiene además que y = u + 1 en virtud de la Proposición 1.5. Por lo que y IN (Teorema 1.6) y esto contradice la suposición hecha.

Teorema 1.11: IN es conjunto y IN .

Demostración :

Por el Axioma del infinito, existe un conjunto y tal que y. Además, si x y, x + 1 y. Tomemos a continuación IN y que cumple IN y IN. Obviamente IN y, y si x IN y se tiene que x+1 IN y. Luego IN y cumple las condiciones del teorema anterior, con lo que

Esto hace que

y el Teorema 2.1 del Capítulo 1 asegura que IN es conjunto.

Pero debido a que IN es el conjunto formado por los números naturales, sus elementos son ordinales. En consecuencia, E conecta a IN y IN es saturado porque cada elemento de un número natural es un número natural. Esto hace que IN sea un ordinal, y por consiguiente IN .

Para terminar esta Sección, veamos cómo se construyen los números naturales a partir del cero :

Fijémonos en que cada número natural contiene a todos los números precedentes, de acuerdo con la teoría de los ordinales.

3.2 Números cardinales

Si bien con los números naturales podemos desarrollar la actividad de contar, todavía no estamos en condiciones de justificar la suma o la multiplicación de tales números, así como probar sus propiedades comúnmente conocidas. Para ello, emplearemos otro importante concepto del que gozan los números. Este es el de la cardinalidad.

Definición 2.1: x y si y sólo si existe una aplicación biyectiva f, de manera que def f = x e Im f = y.

En tal caso se dirá que x es equivalente a y, o que x, y son equipolentes. También se dice que los conjuntos x, y son equipotentes o que poseen la misma potencia. Evidentemente es una relación binaria.

Proposición 2.2: La relación binaria es de equivalencia. Demostración :

La propiedad reflexiva se cumple, ya que podemos elegir la función identidad 1_x sobre cada conjunto x.

La propiedad simétrica se deduce del hecho de que si una aplicación f es biyectiva, f-l también es aplicación biyectiva.

Finalmente la propiedad transitiva es consecuencia de que la composición de dos aplicaciones biyectivas es otra aplicación biyectiva.

Definición 2.3: x es un número cardinal si y sólo si x es número ordinal y, si z con z < x, entonces es falso que x z.

En otras palabras diremos que un número cardinal es un número ordinal que no es equivalente a ningún ordinal menor.

Definición 2.4: K = {x : x es un número cardinal}.

Teorema 2.5:

1º

2º E ordena bien a K.

Demostración :

Por la misma definición de /C, al estar formado por ordinales,

Por esta misma inclusión, y debido a que está E-conectado y bien ordenado, también lo estará K.

Definición 2.6: Card = {(x,y) : x y Λ y K}

Teorema 2.7: Card es una aplicación con def Card = e Im Card = K,

Demostración :

Evidentemente Card es una aplicación, ya que verifica la unicidad de la imagen.

Consideremos que def Card ≠ , y tomemos un conjunto

Por el Teorema 3.2 del Capítulo 2, existe un número ordinal w tal que

Pero este ordinal, si no es número cardinal, será equipolente a un ordinal menor, que será por definición número cardinal. Esto hace que y sea equivalente a un cardinal, con lo que y def Card. Esto prueba que def Card = .

Probemos a continuación que Card es suprayectiva. Supongamos que no lo sea y tomemos un número cardinal

Pero, obviamente

con lo que

en contra de la suposición. Luego Im Card = K.

Este teorema prueba el importante hecho de que todo conjunto posee un cardinal. Y todo cardinal tiene asociado al menos un conjunto.

Card x se lee “cardinal de x”. También se conoce como la “potencia de x.

Proposición 2.8: Si x es conjunto, Card x x.

Demostración :

Es consecuencia inmediata de la Definición 2.6.

Proposición 2.9: Consideremos u, v dos conjuntos. Entonces u v si y sólo si Cardit = Cardu. Demostración :

Por la Proposición 2.8, Cardu u, Cardi; v, y por tanto Card

Ahora bien, como Cardu, Cardi; son números cardinales, si son equivalentes son iguales.

El recíproco es inmediato.

Proposición 2.10: Card(Cardx) = Card x.

Demostración :

Si x es un conjunto, Carda: es un número cardinal, y el cardinal de un número cardinal es él mismo.

Si x no es un conjunto, por el Teorema 2.7 x = def Card. Y el Teorema 5.9 del Capítulo 1 asegura que Cardx = . Como a su vez no es conjunto (Corolario 2.2 del mismo capítulo), se verifica también que def Card, y por tanto Card = , es decir,

Proposición 2.11 : x k si y sólo si x es un conjunto y Card x = x.

Trivial.

Teorema 2.12 : Si v y u 3 v, entonces Cardit u ≤ v.

Demostración :

Por el Teorema 1.13 del Capítulo 2, existe una función / que conserva el orden E-E de u en de tal modo que def f = u ó Im f = . Dado que u es conjunto y es clase propia, una consecuencia de dicho teorema (Corolario 1.14) asegura que def f = u. Debido aue / conserva el orden E-E, el Teorema 1.11 del mismo capítulo prueba que f es inyectiva y además f^-1 también conserva el orden E-E.

Supongamos que v C /(«)• Esto hace que

Veamos que f-1(v) también es saturado: Tomemos y f~1(v), entonces f(y) v, pero al ser v saturado (u es ordinal), f(y) C v, con lo que y f^-1(i>). Esto prueba que f^-1(v) es saturado.

Sabido esto, apliquemos la Proposición 2.8 del Capítulo 2, con lo que f(v) v, pero esto es absurdo en virtud del Teorema 1.10 del capítulo citado. Esto hace que se cumpla la inclusión contraria, f(u) v o lo que es lo mismo

(Teorema 2.18 del mismo capítulo)

Ahora bien, dado que Cardu < f(u), se tiene en definitiva

Teorema 2.13: Si y es un conjunto con x y, entonces Card x ≤ Card y.

Demostración :

Como en el teorema anterior, para el conjunto y existe una aplicación / que conserva el orden E-E de manera que f(y) es un cardinal, Card y. Entonces

Por el teorema anterior,

pero como Card f(x) = Carda x, ya que f(x), x son equipolentes por ser f inyectiva, resulta

Teorema 2.14: (Cantor-Bernstein-Schroeder) Si x e y son conjuntos, u x,v y,x v e y u; entonces x y.

Demostración :

Por el Teorema 2.13,

con lo que

y por la Proposición 2.9,

Proposición 2.15: Si f es una función y el dominio de f es un conjunto, entonces Card ( Im f) ≤ Card ( def f).

Demostración :

Tomemos una función F que satisfaga el Axioma de elección, y definimos una aplicación g de la forma

(Evidentemente {u : v = f( u )} es conjunto, puesto que es subclase del conjunto def f). Además def g = Im f y por tanto

Y por el Teorema 2.13,

Veamos que g es inyectiva: Partimos de

o lo que es lo mismo,

.

Pero por la misma naturaleza de la función de elección, estos dos conjuntos {u : v = f(u)}, {u : w = f(u)} no son disjuntos. Tomemos z {u : v = f(u)} {u :w = f(u)}. En consecuencia,

es decir que g es inyectiva.

Sabido esto, Card Im g = Card def y = Card Imf. En consecuencia, Card

Teorema 2.16: (Cantor) Si x es conjunto, Cardar x < Card 2^x. Demostración :

Definamos la aplicación

que es inyectiva. Esto hace que x es equipolente a un subconjunto de 2^x, entonces por el Teorema 2.13

Si Card x = Card 2^x, existiría una aplicación biyectiva f con def f = x e Im f = 2x. Construyamos el subconjunto de x definido por

y debido a que f es biyectiva, existe un u x de manera que

Pero para que u f(u) se tiene que cumplir que u ^ /(«), lo que es absurdo.

Teorema 2.17: K, no es un conjunto. Demostración :

Si K fuera un conjunto, entonces K sería conjunto y Card(2^k) K. Por consiguiente Card(2K ) C K. Y el Teorema 2.13 nos lleva a

y con la Proposición 2.10,

contradice el Teorema de Cantor. Esto prueba que K no es un conjunto.

La contradicción a que conduce la demostración de este último teorema constituía la paradoja de Cantor, cuando no se distinguía entre clase y conjunto.

Teorema 2.18: Si a;, y IN con x + 1 y + 1, entonces x y.

Demostración :

Debido a que x + 1 y + 1, existe una aplicación biyectiva de x + 1 sobre y + 1. Puesto que x es un elemento de x {x} ≡ x + 1; e y, un elemento de y {y} = y + 1, construyamos la función

Esta aplicación también es biyectiva por construcción, de manera que dado z x, g(z)≠ y. Luego g(z) y. Y viceversa, dado v y, g^-1(v) x. Esto hace que g|_x sea una aplicación biyectiva entre x e y.

Teorema 2.19: IN K.

Demostración :

Tomemos un x IN que sea equipolente a otro número natural menor y, y < x. Por ser ordinales, y x. Y por la Propiedad 13^º de la Sección 1^º del Capítulo 1,

Ahora bien, en virtud del Teorema 2.18,3º del Capítulo 2, y, x son ordinales. Para los ordinales, la expresión (2.19.1) toma la forma

Pero como y, x son números naturales son bien ordenados por E-1. Entonces también serán bien ordenados por E^-1 los ordinales x y, y, como fácilmente puede comprobarse. Esto conduce a que y, x son números naturales. Llamemos x¹ = x, y1= y. En consecuencia, x = x¹ + 1, y = y¹ + 1. Dado que por hipótesis x ~ y, resulta del teorema anterior que x¹ y¹.

Repetimos el proceso hasta llegar a un yq = . Entonces xq con xq ≠ , lo que absurdo. Esto prueba que x es número cardinal.

Teorema 2.20: IN K

Demostración :

Consideremos un x IN tal que x IN. Entonces x x + 1 IN. Por el Teorema 2.13, Card x = Card (x + 1). Ahora bien, acabamos de probar que todo número natural es cardinal, por lo que

lo que es contradictorio. Entonces IN es un ordinal que no es equipolente a ningún ordinal menor, es decir, IN es número cardinal.

Para finalizar esta Sección, estudiaremos la siguientes propiedades generales que poseen los cardinales y que serán utilizadas más adelante :

Proposición 2.21: Si Card A = Card B y Card C = Card D, entonces

En particular se tiene

Demostración :

Tomemos dos biyecciones f :A→>B y g: C →:D, y construimos la aplicación ψ : Ac→B° como ψ(h) = f o h o g-l.

Esta Proposición estará probada si demostramos que ψ es biyectiva. En efecto: La inyectividad de ψ se deduce de inmediato, ya que dado

obtenemos

y, como f, g son biyecciones, resulta

Para probar la suprayectividad de ψ, tomemos un t CD y construimos

Entonces

Finalmente, la segunda expresión se deduce de inmediato de la primera, con tal de tener en consideración la Proposición 6.6 del Capítulo 1.

3.3 Conjuntos finitos e infinitos

Los términos finito e infinito se encuentran muy arraigados en el habla popular. No obstante, si se pretende definirlos es casi imposible conseguirlo en el lenguaje cotidiano. Pero en Matemáticas es frecuente referirse a conjuntos finitos o infinitos, por lo que se exige la necesidad de tener una clara definición para poder trabajar con ellos. Como vamos a ver de inmediato, estos conceptos van a estar completamente delimitados si empleamos la cardinalidad de conjuntos.

Definición 3.1: Un conjunto x se dice que es finito si Card x IN.

Teorema 3.2: Un conjunto x es finito si y sólo si existe un orden de manera que , ^-l ordenen bien a x.

Demostración :

Puesto que Card x IN, E y E-l ordenan bien a Card x. Pero x Card x, es decir, existe una aplicación biyectiva f entre Card x y x. Llamemos = f o E y por tanto ^l = f o E-l, las cuales ordenan bien a x, en virtud de la Proposición 5.10, del Capítulo 1.

Recíprocamente, si , -l ordenan bien a x, entonces el Teorema 1.13 del Capítulo 2 nos propociona una única aplicación / que conserva el orden -E en x y , de manera que def f = x ó Im f = . Si IN Im f, -1 no ordenaría bien a x, pues IN no posee E-último elemento. Pero en virtud del Teorema 3.2 del capítulo citado Im f es equipotente a un ordinal, que será distinto de IN. Por consiguiente Im f IN y, por tanto, x = def/. Aplicando el Corolario 2.11 del mismo capítulo, obtenemos que Im f IN, por lo que x es finito.

Teorema 3.3: Si x e y son finitos, x y es finito.

Demostración :

Por ser x, y finitos, existen sendas , -l que ordenan bien a x, S, S-l que ordenan bien a y.

Establezcamos el siguiente orden :

coincidirá con cuando actúe sobre elementos de x; será igual a S en los puntos y ~ x. Finalmente diremos que v u si v x, u y ~ x.

Es fácil probar que y ^-1 ordenan bien ailly. Por el Teorema 3.2, x y será finito.

Teorema 3.4: Si x es finito y cada elemento de x es también finito, entonces x es finito. Demostración :

Procedamos por inducción :

Si x = que es finito, ya que Card = 0; entonces, por el Teorema 1.13 del Capítulo 1, = , luego es finito.

Consideremos cierto para x cuyo Card x = u.

Probemos para x con Card x = u + 1 :

Puesto que Card x = u + 1 ≡ u {u}, x u {u}. Entonces se puede hacer una partición de x en dos subconjuntos: uno de potencia u (cardinal) y otro que es un singulete y, por tanto, finito. Por el Teorema 3.3, se concluye que x es finito.

Teorema 3.5: Si x e y son finitos, x × y también lo es.

Demostración :

Los conjuntos de la forma {u} × y con u x son finitos, por ser equipolentes a y. Construyamos el conjunto

que es equipolente a x, y por tanto finito, con sus elementos finitos. Entonces

x × y es finito.

Teorema 3.6: Si x es finito, también lo es 2x.

Demostración :

Se procede igualmente por inducción.

Si x = , 2 ^{= {}, que es finito.}

Supóngase cierto para conjuntos finitos x de cardinal u. Probemos para conjuntos de cardinal u + 1 :

Los subconjuntos de x son de dos tipos de cardinalidad: los de potencia igual a u, y los que son unión de subconjuntos de x con singuletes equipolentes a {ti}. En ambos casos son finitos y, en consecuencia, por el Teorema 3.3, el conjunto partes de x, 2^x, es finito.

Teorema 3.7: Si x es finito, y x y Card y = Card x, entonces y = x.

Demostración :

Debido a que x es finito, será equipolente a un número natural. En esta demostración consideraremos que x sea un número natural, y supondremos que Card y = x. Como x ≠ 0, existe un número natural u de manera que x = u + 1. Si y ≠ x, habrá un subconjunto de u que será equivalente a y, por lo que Card y ≤ u. Pero se ha partido de que Card y = x = u + 1, y por tanto es contradictorio por ser los números naturales, según hemos visto en el Teorema 2.20, números cardinales.

Por conjuntos infinitos entenderemos los que no son finitos, es decir, aquellos conjuntos x que verifiquen que Card x K, ~ IN.

Proposición 3.8: Si x es un conjunto infinito, existe un subconjunto y x, y ≠ x, tal que y x.

Demostración :

Puesto que x es infinito, IN Carda x (por ser ordinales). Construyamos la aplicación f de Card x en K como

Esta función es inyectiva y su conjunto imagen es Im f = Card x ~ {0}. Existe un y x, y *#x2260; x, tal que Card y = Card x ~ {0}. Pero por la inyección de f, Card x Card(x ~ {0}), y por tanto

lo cual es la tesis de la proposición.

Definición 3.9: Un conjunto es numerable si su cardinal es igual a Card IN.

Se dice que un conjunto es contable si es, o finito, o numerable.

Proposición 3.10:Todo conjunto infinito posee un subconjunto numerable.

Demostración :

Tomemos un conjunto infinito x arbitrario. Por el Axioma de elección, sea F una función de elección. Llamemos

Apliquemos F al conjunto x ~ {a₀}, y llamemos

Volvamos a hacer actuar F sobre el conjunto x ~ {a₀a₀} y obtendremos otro elemento 02, y así sucesivamente. Sea el subconjunto de x formado por los elementos obtenidos por la aplicación sucesiva de la función de elección :

Este subconjunto S también es infinito, puesto que x lo es, ya que si no lo fuera, existiría un n IN tal que

con lo que

y x no sería infinito.

Definamos la aplicación

que es una biyección. Luego Card S = Card IN.

Teorema 3.11: Si x ~ IN, entonces Card(x + 1) = Card x.

Demostración :

Debido a que x x {x} y por el Teorema 2.13,

Como x no es finito, posee un subconjunto u x, u ≠ x, tal que u x (Teorema 3.8). Por consiguiente, construyamos una función inyectiva f de x + 1 en x tal que f(y) u para y x y f(x) x ~ u. Por lo tanto x + 1 es equipolente a un subconjunto de x, es decir,

Las expresiones (3.11.1) y (3.11.2)prueban que

Definición 3.12: Llamaremos IN* = IN ~ {0}.

No hay dificultad de probar que

pues la biyección es evidente: f(n) = n + 1, si consideramos f: IN → IN*.

3.4 Operaciones con cardinales. Propiedades de los números transñnitos

En esta sección introduciremos las operaciones suma, producto y expo- nenciación de cardinales. Estas operaciones tienen propiedades diferentes si los cardinales son finitos o infinitos. En lo que respecta a la exponenciación, se verá que ésta coincide con la clásica, dada en Matemáticas elementales.

Como ya hemos tenido ocasión de constatar, los cardinales finitos coinciden con los números naturales. En cuanto los cardinales infinitos, es decir, los elementos de K ~ IN, reciben el nombre de cardinales o números transfinitos.

Para mayor claridad en la exposición, representaremos los conjuntos con letras mayúsculas, y los cardinales correspondientes a los conjuntos dados por letras minúsculas. Así por ejemplo,

Proposición 4.1: Si entonces

Demostración :

Debido a que A A', existe una aplicación biyectiva f : A→ A'. Del mismo modo existe otra aplicación biyectiva g : B→>B'. Con ella construyamos la función

Entonces h: A B→A' B' es aplicación biyectiva, es decir, A B ~ A' B'. En consecuencia,

Esta proposición permite establecer el siguiente concepto :

Definición 4.2: Sean a y b dos números cardinales, A y B dos conjuntos disjuntos tales que Card A = a, Card B = b. La suma o la adición de a, b es definida por

Siempre podremos considerar conjuntos disjuntos, puesto que si no lo fueran, elegimos dos elementos x ≠ y cualesquiera y construimos A ≠ {x} (que es equipolente con A) y B ≠ {y} (que es equipolente con B), los cuales son disjuntos.

Las propiedades de la suma de cardinales se deducen de las propiedades de los conjuntos :

La suma es conmutativa

Consecuencia directa de la Propiedad 3^a de la Sección I^a del Capítulo

1.

La suma es asociativa

Consecuencia directa de la Propiedad 6^a de la Sección I^a del capítulo citado.

a + 0 = a

Trivial.

Proposición 4.3:Si a, b son números naturales, entonces a + b es un número natural.

Demostración :

Sean A, B conjuntos disjuntos tales que Card A = a, Card B = b, entonces

Ahora bien, al ser a, 6 números naturales, A y B son conjuntos finitos, y por el Teorema 3.3, A B también es un conjunto finito. En virtud de la Definición 3.1, Card (A B) IN.

Lema 4.4: Si A es un conjunto infinito y F un conjunto finito, tales que sean disjuntos; entonces Card(A F) — Card A.

Demostración :

Procedamos por inducción sobre el cardinal de F.

Consideremos que F sea un singulete, por ejemplo, {A}. Entonces

en virtud del Teorema 3.11 y de la Proposición 2.10.

Considerémoslo cierto para Card F = n IN.

Probémoslo para Card(F {F}) = n + 1 :

Teorema 4.5: Si a, b son números cardinales tales b ≤ a, siendo a transfinito, entonces a + b = a.

Demostración :

Probemos en primer lugar que a + a = a. Consideremos un conjunto A de cardinal Card A = a, y definamos el conjunto de pares ordenados

Veamos que p está parcialmente ordenado: Definamos (f1,X2) ≤ ,X2) si X1 X2 y f₁ = f_2|x1. Tomemos una cadena {(f_i,X_i,)} y probemos que admite una cota superior :

Sea

y f: X→X × {0,1} como f(x) = fi(x) si x Xi que, evidentemente, es biyectiva. El par (f,X) es cota superior de la cadena {(f_i,X_i)}. Por otra parte, ≠ , pues, por ejemplo, la aplicación h:1N ×{0, 1} →IN definida por h(n,0) = 2n y h(n, 1) = 2n + 1 es biyectiva. Ahora bien, en virtud de la Proposición 3.10, A posee un subconjunto numerable D, es decir, existe una aplicación biyectiva j entre D y IN. Entonces basta definir una aplicación biyectiva de D × {0,1} en D como

para que el par (f, D) . Con ello se ha probado que p es conjunto inductivo. Entonces podemos aplicar el Lema de Zorn, con lo que posee un elemento maximal (g,C) .

Llamemos C_o = {(c,0) : c C} y C1 = {(c, 1) : c C} que obviamente son disjuntos y se cumple trivialmente Card Co = Card C = Card C₁, y además C × {0,1} = C₀ Pero como g : C × {0,1}→C es biyección, Card(C × {0,1}) = Card C; y por tanto

Para completar esta demostración, hemos de probar que CardC = a. Si A ~ C fuera infinito, contendría un subconjunto numerable B. Por idénticas razones a las expuestas, existirá una biyección B× {0,1} → B. Con las aplicaciones g y , se construye fácilmente la biyección h: (C B) x {0,1}→C B, con lo que (g, C) < (h, C B) . Pero este resultado contradice la condición de maximalidad de (g,C). Luego A ~ C es un conjunto finito.

De la identidad

obtenemos

es decir,

Para terminar, y puesto que b < a, obtenemos

y la propiedad antisimétrica de la relación de orden

Teorema 4.6: (Propiedad cancelativa de la suma) Consideremos a + n = b + n siendo n IN, entonces a = b.

Demostración :

Si a es transfinito, a + n también lo es. Entonces b también es transfinito. El Teorema 4.5 conduce a que a + n = a, b + n = b, de donde

Si a es un número natural, b también es un número natural, pues si fuera transfinito, b + n sería transfinito (Teorema 4.5). Procedamos por inducción.

1º Si n = 1, es decir a + 1 = b + 1, el Teorema 2.18 prueba que a = b.

2º Supongamos cierto para n.

3º Probemos para n + 1: Partimos de

Por la propiedad asociativa de la suma

Por la Proposición 4.3, la suma de números naturales es un número natural. Entonces a + n,b + n IN. Y aplicando el primer paso de la inducción,

Finalmente el 2º paso de la inducción conduce a que

Pasemos a estudiar otras operaciones básicas de los cardinales como son la multiplicación y la exponenciación. Como en el caso de la suma, estudiaremos un lema previo.

Lema 4.7: Consideremos A A', B B'. Entonces

Demostración :

Puesto que A A', B B', existen sendas biyecciones f: A→ A', g:B→B'. Definamos una aplicación h:A × B→A' × B' como

que es una biyección. En consecuencia, A × B A' × B', es decir,

Definición 4.8: Sean a y b dos números cardinales, A y B dos conjuntos tales que Card A = a, Card B = b.

1^º Se define la multiplicación o producto de a, b como

2º Y debido a que se verifica la Proposición 2.21, la exponentiation es definida como

A esta última expresión, hemos de añadir que a⁰ = 1 y 0° = 0 si a ≠ 0.

Las propiedades de la multiplicación de cardinales se deducen de inmediato de la teoría de conjuntos.

Es conmutativa

Es inmediata debido a que

En efecto, la aplicación f :A × B → B × A definida como f(a,b) = (b, a) es una biyección.

Es asociativa

Se tiene la relación {A × B) × C ~ A × (B × C) mediante la biyección f((a,b),c) = (a, (b, c)).

la = a

Evidentemente para un z arbitrario {z} × A A.

Oa = 0

Simple aplicación de la Proposición 6.7,3º del Capítulo 1.

La multiplicación es distributiva respecto a la suma, es decir,

Consecuencia directa de la Proposición 6.7,1º del capítulo citado.

Pasemos a continuación a estudiar las propiedades de la exponen - ciación. En los resultados que vamos a obtener, consideraremos 3 cardinales a, b, c que les asociamos a tres conjuntos (disjuntos) A, B, C respectivamente.

a b + c = ab ac

Consideremos las aplicaciones f:B U C→A. En virtud de la Definición 6.5 del Capítulo 1, establecemos la siguiente aplicación :

Bastará probar que ψ una biyección.

ψ inyectiva :

Partimos de

por lo que

Esto hace que

de donde

Suprayectividad de ψ:

Sea (g, h) AB x Ac, entonces g: B→ A y h:C→A. Definimos la aplicación f: B C→A como

Evidentemente f|B = g, f|c = h, con lo que

Luego ψ suprayectiva.

Con ello queda probado que ψ es una biyección.

(ab)c = ac bc

Definamos

Veamos que ψ es inyectiva :

Partimos de

es decir,

Esto hace que

de donde

y por tanto

Suprayectividad de ψ :

Tomemos h (A × B)c y con las proyecciones canónicas p1.A × B→A y P2:A | B→B, definidas como p1(x,y) = x y P2(x, y) = y, construimos las aplicaciones

Calculemos para todo x C

luego

(ab)c = ab - c

Definimos una aplicación ψ:(AB)C → AB → C de la siguiente manera:

Dado

definimos

ψes inyectiva :

Partimos de

Esto hace que

es decir

Luego

Suprayectividad :

Tomemos h AB × C. es decir, una aplicación h: B×C→ A. Para cada z C definimos una aplicación f z :B→A como fz(y) = h(y,z). Entonces obtenemos otra aplicación

Calculemos

de donde

Veamos la relación entre la definición dada de exponenciación con la conocida en Matemáticas elementales.

Procedamos por inducción: Consideremos que A esté formado por un solo elemento y el conjunto B por b. Está claro que el número de aplicaciones de A en B es b, es decir, Card BA = b¹. Supóngase cierto para Card A = n, es decir, Card AB = bn. Tomemos A' = A {A}, entonces Card A' = n + 1; y por y la Definición 4.8,2^º obtenemos

Estos razonamientos conducen al siguiente resultado :

Teorema 4.9: Si a, b son números naturales, entonces ab es un número natural. En consecuencia, ba es natural.

Demostración :

Sean A, B dos conjuntos tales que Card A = a y Card B = b. Por ser a, b naturales, A y B son conjuntos finitos. El Teorema 3.5 asegura que A × B es finito. Luego Card(A × B) es un número natural.

Teorema 4.10: (Propiedad cancelativa de la multiplicación) Sea an = bn con n IN*, entonces a = b.

Demostración :

Sean A, N, B conjuntos tales que Card A = a, Card N = n, Card B = b. Si a es un número transfinito, A es conjunto infinito, con lo que A × N también lo es. Esto hace que B × N es conjunto infinito. Luego b es número transfinito. Entonces en virtud del Teorema 4.11 an = a, bn = b; y por tanto

Si a IN, A × N es conjunto finito, y ello lleva a la finitud del conjunto B × N, e s decir que B es finito y, en consecuencia, b IN. (Si B fuese infinito, el Teorema 4.11 conduce a que Card(B × N) sería también transfinito, y no coincidiría con an).

Probaremos por reducción al absurdo: Supóngase que a ≠ 6 y consideremos que a < b. El conjunto A será equipolente a un subconjunto de B. Tomemos A de manera que A B, entonces

Ahora bien, debido a que an = bn,

Pero al serx N, B × N finitos, contradice el Teorema 3.7.

A parecida contradicción se llega si se supone b < a. Entonces queda probado que

Definición 4.10: El conjunto de los números pares está formado por

De esta misma definición se tiene que existe una aplicación biyectiva p:IN* →P, definida por p(m) = 2m. Pues bien, la operación inversa, p^-1, es llamada “factorización por 2”, la cual será utilizada en la demostración del teorema siguiente.

Teorema 4.11: Si a, e son números cardinales con 0 ≠ e ≤ a, siendo a transfinito, entonces ae = a.

Demostración :

Probemos en primer lugar que aa = a. Elijamos un conjunto A tal que Card A = a. Este conjunto será infinito por ser a número transfinito.

Definamos el conjunto

Estudiemos en primer lugar que p / 0: Sea la aplicación

(En esta definición m - 1, 2n - 1 deben entenderse que son los números naturales anteriores a m y 2n respectivamente, es decir, m - 1 = m, 2 m - 1 = 2m).

La aplicación h es una biyección. En efecto: Para que 2m - 1 tenga sentido, debe ser impar. En general, un número natural distinto de 0, si es par se factoriza por 2 tantas veces como haga falta hasta conseguir un cociente impar. Entonces m será igual al número de veces que se ha factorizado por 2 más uno, y n se obtiene del cociente impar que se obtenga. El procedimiento descrito permite asegurar que el par (ra, n) sea único.

Por otra parte, al ser A un conjunto infinito, por el Teorema 3.10 existe un subconjunto D numerable, y como Card IN* — Card IN, también existirá una biyección j:D→IN*. Entonces llamemos

Luego (f, D)

Establezcamos en la siguiente relación de orden (f1,X2) ≤(f₂,X₂) si X₁ X₂ y f1 = f2|X1. De la misma manera a como se ha expuesto en la demostración del Teorema 4.5 , se prueba que p es conjunto inductivo. Luego el Lema de Zorn prueba la existencia de un elemento maximal (g,B) , es decir que g es una aplicación biyectiva, g: B x B—>B. Llamemos Card B = b, con lo que

Queda por probar que b = a. Supongamos que Card(A ~ B) > Card B. Existe pues un subconjunto C de A ~ B tal que Card C = Card B. Entonces

Así pues,

Este último cálculo nos indica que existe una biyección g': (B C) × (B C) → B C. Pero con ello se ha probado que (g, B) < (g',B C) , que contradice la condición de maximalidad de (g,B). En consecuencia, Card(A~B) ≤ Card B.

Sabido esto y aplicando de nuevo el Teorema 4.5,

Luego

Finalmente,

Y por el Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder,

La siguiente Proposición va a tener un papel decisivo en la ordenación de los números enteros que estudiaremos en el Capítulo 5.

Proposición 4.13: Consideremos a y b dos números naturales que verifiquen que

entonces a = 0 = b.

Demostración :

Tomemos dos conjuntos A y B disjuntos tales que

Por hipótesis, Card(AUB) = Card0.

En consecuencia, los conjuntos A U B y son equipotentes. Puesto que no tiene ningún elemento, tampoco tiene A y B, con lo que

3.5 Hipótesis del continuo

Nos planteamos la cuestión (no resuelta) de construir los números transfinitos, del mismo modo a como hicimos con los números naturales. Sabemos que existe una función de ordenación; pero se desconoce su estructura.

Teorema 5.1: Existe una función (alef\ primera letra del alfabeto hebreo) con def = e Im = K ~ IN que conserva el orden < - <(Definición 1.9 del Capítulo 2). Demostración :

En virtud del Teorema 1.13 del Capítulo 2, existe una función N que conserva el orden de manera que def = ó Im = K ~ IN. Supongamos que def ≠ y Im = K ~ IN. Entonces def sería número ordinal y, por tanto, conjunto. Por el Axioma de sustitución, Im = K ~ IN sería también conjunto, resultado imposible por no ser K ~ IN conjunto. (No es conjunto, pues al verificarse la identidad (K ~ IN) IN = K, y por el Axioma de unión resultaría que K, sería conjunto, en el caso de que K ~ IN lo fuera).

Por otra parte, como conserva el orden, es inyectiva. Luego existe la aplicación inversa ^-1. Supongamos que def ^-1 ≠ K ~ IN e Im ^-1 = .

Entonces def ^-1 es una ^-sección de K — IN (que no coincide con K — IN) y, por tanto, conjunto, lo que conduce al absurdo de ser conjunto.

Evidentemente

Veamos el valor de N(l): Por el Teorema de Cantor,

En consecuencia,

Esto es lo único que se conoce de la función . Tratar de extender su construcción es suponer algunas condiciones que se hallan al margen de la Teoría de Conjuntos. Estas condiciones son conocidas como las hipótesis del continuo que consisten en imponer que

(hipótesis del continuo propiamente dicha). Y en general se admite la hipótesis del continuo generalizada :

x

Cohen (1964) probó que las hipótesis del continuo son proposiciones indecidibles en la Teoría de Conjuntos actual. No se puede probarlas ni refutarlas con la Axiomática estudiada. En consecuencia, si se encontrase alguna inconsistencia en la Teoría de Conjuntos, ésta sería independiente de las hipótesis del continuo.

4. Aplicaciones en estructuras algebraicas

Antes de proseguir con el estudio emprendido de formalizar las distintas clases de numeración, hemos de profundizar en las propiedades que poseen las aplicaciones cuando actúan sobre conjuntos dotados de relaciones de equivalencia. Estas propiedades son esenciales cuando se aborda las estructuras algebraicas, que serán objeto de análisis en la Sección segunda de este capítulo. Los resultados obtenidos en la citada sección, no sólo serán útiles en la construcción de los números enteros y racionales; sino que serán la base para desarrollar estructuras más complejas, como módulos, productos tensoriales, espacios vectoriales, álgebras asociativas, etc., las cuales iremos introduciendo en capítulos sucesivos.

4.1 Aplicaciones en relaciones de equivalencia

Teorema 1.1: Sean X, Y, Z tres conjuntos y consideremos dos aplicaciones

Las condiciones siguientes son equivalentes :

a) Existe una aplicación

tal que

b) Cualesquiera que sean la relación

implica la relación

Demostración :

a)

b)

Estudiemos el siguiente diagrama

Supongamos que f sea suprayectiva :

Construyamos la gráfica

Veamos que esta gráfica define una aplicación. Hemos de probar la unicidad de la imagen, es decir que

Por definición de , existen tales que

es decir que y por luego

luego hay unicidad de la imagen.

Con esto hemos probado que Ç induce una aplicación. Sea g: Y → Z la aplicación inducida, la cual verifica

Debido a que hemos supuesto que f es suprayectiva, para cada existe un de manera que y = f(x). En consecuencia,

y por tanto

Supongamos que f no sea suprayectiva :

Llamemos

Por , existe un tal que h = g' o f. Prolonguemos g' a Y. Para ello fijemos un elemento z₁ Z, y con él construimos la aplicación

entonces

c.s.q.d.

Recordemos (ver Sección del Capítulo 1) que otra forma empleada para representar elementos equivalentes respecto a una relación de equivalencia es

que indica

Esta notación será utilizada frecuentemente.

Teorema 1.2: Consideremos E un conjunto, una relación de equivalencia sobre E, p la aplicación canónica de E sobre E/, y f una aplicación de E en un conjunto X. Las propiedades siguientes son equivalentes :

a) La relación

b) Existe una aplicación

tal que

Demostración :

La relación x ≡ y (mód ) equivale a

y por tanto se verifica la conmutatividad del diagrama

en virtud del Teorema 1.1.

c.s.q.d.

Teorema 1.3: Si se cumplen las condiciones del Teorema 1.2, la aplicación es única. Para que sea inyectiva es necesario y suficiente que las relaciones x ≡ y (môd ) y f(x) = f(y) sean equivalentes. Para que sea suprayectiva es necesario y suficiente que f lo sea.

Demostración :

Unicidad :

Supongamos que existe una aplicación g tal que

de donde

Dado que p es suprayectiva, se tiene

Suprayectividad :

Si es suprayectiva, f también lo es,

puesto que , p lo son.

Por otra parte, si f es suprayectiva, dado un z X existe un x E tal que 2 = f(x) = (p(x)). Luego es suprayectiva.

Inyectividad :

Si es inyectiva, dado

resulta

y por tanto

Recíprocamente, supongamos que verifica (1.3.1). Hemos de probar que es inyectiva :

Partimos de

Como p es suprayectiva, existen x,y E de manera que a = p(x), b = p(y), con lo que

y por la suposición hecha,

de donde

c.s.q.d.

Teorema 1.4: Sean X, Y, Z tres conjuntos; , , relaciones de equivalencias definidas respectivamente sobre estos conjuntos, y f una aplicación de X × Y en Z. Designemos por las proyecciones canónicas X, Y, Z sobre X/, Y/, Z/ respectivamente. Las afirmaciones siguientes son equivalentes :

a) Las relaciones

implican la relación

b) Existe una aplicación

tal que

cualesquiera que sean x X, y Y.

Si se cumplen estas condiciones, la aplicación es única.

Demostración :

Sea el diagrama

donde v se define como

y por tanto v es suprayectiva. La aplicación u es construida como

a)

Probemos en primer lugar que

En efecto :

Si v(x, y) = v(a, b), se tiene por definición de v que

de donde

es decir que la clase de x y la clase de a coinciden. Luego x, a pertenecen a la misma clase. Esto hace que

Del mismo modo se razona para probar que

Por a) tenemos que

es decir,

Y por definición de u,

Aplicando el Teorema 1.1, existe una aplicación tal que

Además es única porque se verifica las condiciones del Teorema 1.3.

Veamos su estructura :

b)

Hay que demostrar que si

En efecto :

Si x ≡ a(mód ), y ≡ b(mód ), por b)

y por definición de ,

es decir que

c.s.q.d.

Corolario 1.5: Sean X,Y dos conjuntos y f una aplicación de X × Y en Y; Y se halla provisto de una relación de equivalencia . Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes :

a) y₁ ≡ y₂ (mód ) implica

b) Existe una única aplicación definida en

como

Demostración :

Es un caso particular del Teorema 1.4, con tal de hacer Z = Y y = ; y proveer al conjunto X con la relación identidad.

c.s.q.d.

4.2 Estructuras algebraicas

Introducimos en esta Sección el concepto de estructuras algebraicas que es el objetivo principal de este libro. Hasta ahora se ha formalizado los conjuntos y hemos dado las operaciones que se pueden realizar entre ellos. Pero nos disponemos a dotar a éstos de operaciones o leyes de composición que actúan sobre los elementos de uno o más conjuntos. Estas leyes de composición hacen que los conjuntos tengan unas características especiales, conocidas por estructuras algebraicas.

Definición 2.1: Un conjunto se dice que tiene estructura de

– Semigrupo si posee una ley de composición interna con la Propiedad asociativa.

– Un monoide es un semigrupo con elemento unidad (o neutro).

Definición 2.2: Un grupo es un monoide que posee la propiedad simétrica. Si además goza de la propiedad conmutativa, el grupo se dice que es abeliano.

Proposición 2.3: Un grupo G sólo posee un elemento neutro. Cada elemento de G tiene un único elemento simétrico.

Demostración :

Supóngase que posea dos elementos neutros, e, e'. Por ser e neutro,

y por ser también e' elemento neutro

Esto conduce a que

Sea a un elemento arbitrario de G, y upongamos que tenga dos elementos simétricos a' y a”. Por definición de simetría,

Componiendo por la derecha por a',

y por la propiedad asociativa,

de donde

c.s.q.d.

Debido a la unicidad de los elementos simétricos, dado un elemento a, se representará su elemento simétrico por a^-1.

Definición 2.4: Un subgrupo de un grupo G es un grupo contenido en G, cuya ley de composición interna es restricción de la de G.

Un subgrupo N de G se dice que es invariante (normal o distinguido) si para cada m N se verifica

Corolario 2.5: El elemento neutro de un subgrupo coincide con el elemento neutro del grupo.

Demostración :

Es evidente que el elemento neutro del grupo es neutro del subgrupo. Luego en virtud del Terorema 2.3, éste es único.

c.s.q.d.

A continuación introduciremos el concepto de grupo cociente. Para ello estableceremos una relación de equivalencia a partir de un subgrupo S de un grupo G. Es inmediato probar que la relación

es de equivalencia. Sus clases de equivalencia serán de la forma

y son llamadas cogrupos por la derecha de G.

De la misma manera se define otra relación binaria de equivalencia como

lo que da lugar a sus respectivas clases de equivalencia, llamadas cogrupos por la izquierda de G.

Si el subgrupo S es normal, los dos tipos de cogrupos coinciden, y por tanto definen el mismo conjunto cociente : G/S,

Teorema 2.6: Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G, entonces G/N es un grupo (grupo cociente), cuya ley de composición interna es

Y viceversa, si G/N (conjunto cociente formado por los cogrupos derecha o los cogrupos izquierda) es grupo cociente, entonces N es un subgrupo normal de G.

Demostración :

Hemos de probar en primer lugar que

En efecto :

Del mismo modo se tiene que para a ≡ b(mód N), existe un m N tal que a = m·b.

Con ello obtenemos x·a = n · y · m · b. Ahora bien, dado que N es invariante, y·m·y-1 N. Llamemos r = y·m·y-1, de donde y·m=r·y; y en consecuencia

Esto hace que

y por tanto

Sabido esto, apliquemos el Teorema 1.4, tomando X = Y = Z = G, y que la aplicación f sea la definida por

entonces existe una que verifique

Si representamos por

resulta que (2.6.1) es una ley de composición interna.

Asociatividad :

Elemento neutro :

Sea e el elemento neutro de G, y su clase de equivalencia, entonces

luego es el elemento neutro de G/N.

Propiedad simétrica :

Definamos para cada Veamos que es el elemento simétrico de x :

Veamos el recíproco: Supongamos que el grupo cociente esté formado por los cogrupos derecha. Sean x G, m N arbitrarios. Tomemos un y G que pertenezca al mismo cogrupo que x; existe un n N tal que y = n · x. Elijamos un b G que no pertenezca al cogrupo de x. Con m dado, definimos a=m·b. Al ser G/N grupo, los elementos y·a, x·b pertenecen al mismo cogrupo, por lo que existe un n' N de manera que

Por otra parte, como y · a = n · x · m · b, se tiene

y simplificando,

Luego N es subgrupo invariante de G.

A la misma conclusión se llega si hubiéramos partido de que el grupo cociente estuviera formado por los cogrupos izquierda.

c.s.q.d.

Definición 2.7: Un anillo es un conjunto A con dos leyes de composición internas: adición (+) y multiplicación (·); de modo que :

Respecto a la adición A es un grupo abeliano.

Respecto a la multiplicación A es un semigrupo.

Existe una propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición (en ambos sentidos).

Un anillo A con elemento unidad o anillo unitario es un anillo en que la multiplicación dota al conjunto A de estructura de monoide. Su elemento unidad se representa por 1 y el elemento simétrico de un elemento a por a-1. También se los conoce por elementos inversos. Un elemento que posee inverso es llamado elemento inversible o unitario.

El elemento neutro de la adición es expresado por 0 y los elementos simétricos se representan por —a para cada a A, que también reciben el nombre de elementos opuestos.

Si la multiplicación es conmutativa, se dirá que el anillo es conmutativo.

Finalmente, diremos que un anillo K es un anillo de división si la ley de composición del anillo dota a K ~ {0} de estructura de grupo. Si este grupo es abeliano, se dir que el anillo de división K es un cuerpo.