Читать книгу: «Mentalidades matemáticas»

CAPÍTULO 4

La creación de
mentalidades matemáticas:
la importancia de ser
flexible con los números

Los bebés y los niños pequeños adoran las matemáticas. Dales a los niños pequeños unos cuantos bloques de juguete y los apilarán y ordenarán, fascinados por la forma en que se alinean los bordes. Los niños también miran al cielo y se deleitan con las formaciones en V de los pájaros. Cuenta un conjunto de objetos con un niño pequeño, después disponlos de otra manera y cuéntalos de nuevo, y quedará encantado por el hecho de que sigue habiendo la misma cantidad. Pidamos a los niños que dispongan patrones con unos bloques de colores y trabajarán felizmente disponiendo patrones repetitivos, uno de los actos más matemáticos. Keith Devlin ha escrito una serie de libros en los que ofrece pruebas sólidas de que todos, de forma natural, empleamos las matemáticas y tenemos un pensamiento matemático (ver, por ejemplo, Devlin, 2006). Queremos ver patrones en el mundo y comprender los ritmos del universo. Pero la alegría y la fascinación que experimentan los niños pequeños con las matemáticas se ven reemplazadas rápidamente por el temor y la aversión cuando empiezan a estudiar esta asignatura en la escuela y se les presenta un árido conjunto de métodos que, creen, solo tienen que aceptar y recordar.

En Finlandia, uno de los países del mundo en que los estudiantes sacan las notas más altas en las pruebas del PISA, los alumnos no aprenden según métodos formales de matemáticas hasta los siete años de edad. En Estados Unidos, el Reino Unido y algunos otros países, comienzan mucho antes, y cuando tienen siete años, ya se les han enseñado algoritmos para sumar, restar, multiplicar y dividir números, y han tenido que memorizar las tablas de multiplicar. En el caso de muchos estudiantes, su primera experiencia con las matemáticas es de confusión, ya que los métodos no tienen sentido para ellos. La curiosidad que habían mostrado nuestros hijos en los primeros años se desvanece y es reemplazada por la fuerte creencia de que en el ámbito de las matemáticas todo consiste en seguir ciertas instrucciones y reglas.

Lo mejor que podemos hacer para iniciar a los niños en las matemáticas es animarlos a jugar con números y formas y a que piensen en qué patrones e ideas pueden ver. En mi anterior libro conté la historia de Sarah Flannery, que ganó el Premio al Joven Científico del Año por inventar un nuevo algoritmo matemático. En su autobiografía, habla de la forma en que desarrolló su pensamiento matemático haciendo puzles en casa con su padre; explica que esos rompecabezas fueron más importantes para ella que todas las lecciones de matemáticas que recibió en la escuela en el transcurso de los años (Flannery, 2002). Quienes utilizan con éxito las matemáticas tienen un enfoque de estas, y una comprensión matemática, distintos de los que tienen quienes las utilizan con menos éxito. Se acercan a las matemáticas con el deseo de entenderlas y pensar en ellas, y con la confianza de que podrán encontrarles un sentido. Quienes usan con éxito las matemáticas buscan patrones y relaciones y piensan en las conexiones. Tienen una mentalidad matemática; saben que las matemáticas son una materia vinculada al crecimiento y que lo que deben hacer es aprender y pensar en nuevas ideas. Necesitamos inculcar una mentalidad matemática en los alumnos desde el primer contacto que tengan con esta materia.

Las investigaciones han demostrado definitivamente la importancia que tiene la mentalidad de crecimiento, es decir, la creencia de que la inteligencia puede aumentar y de que cuanto más aprendes, más inteligente te vuelves. Pero para acabar con el fracaso en el campo de las matemáticas, necesitamos que los estudiantes alberguen creencias de crecimiento (creencias acordes con la mentalidad de crecimiento) sobre sí mismos y que estas vayan acompañadas de creencias de crecimiento sobre la naturaleza de las matemáticas y sobre el papel que tienen, como alumnos, en relación con ellas. Los niños deben ver las matemáticas como una materia conceptual y de crecimiento en la que deberían pensar y a la que deberían encontrar sentido. Cuando las ven como una serie de preguntas cortas, no pueden reparar en cómo aprovecharlas para su propio aprendizaje y crecimiento interno; piensan que están compuestas por un conjunto fijo de métodos que uno conoce o no conoce. En cambio, cuando las ven como un amplio panorama de rompecabezas inexplorados que les permite divagar, hacer preguntas y pensar sobre las relaciones, comprenden que su papel como alumnos es pensar, darle un sentido a aquello con lo que se encuentran y crecer. Cuando los estudiantes ven las matemáticas como un conjunto de ideas y relaciones y comprenden que su papel es el de pensar sobre las ideas y encontrarles sentido, tienen una mentalidad matemática.

Sebastian Thrun, director general de Udacity y profesor de investigación en la Universidad Stanford, tiene una mentalidad matemática. Empecé a trabajar con él hace dos años. Cuando lo conocí, era profesor de informática y había sido quien había inventado el coche autónomo y quien había impartido el primer curso CEMA; también había liderado los equipos que desarrollaron Google Glass y Google Maps. Sebastian pasó de su exitoso curso en línea, que hicieron ciento sesenta mil personas, a crear Udacity, una empresa de aprendizaje en línea. Comencé a trabajar con él cuando me pidió consejo para los cursos de Udacity. Sebastian es un usuario de las matemáticas de muy alto nivel cuyos logros son conocidos en todo el mundo. Ha escrito libros de matemáticas que son tan complejos que, como él dice, «harían que te saliese humo de la cabeza». Algo que no es tan sabido de Sebastian es que es muy reflexivo en cuanto a su conocimiento y aprendizaje de las matemáticas. Cuando lo entrevisté para mi curso en línea para docentes y padres («How to Learn Math», ‘Cómo aprender matemáticas’), me habló sobre el importante papel que juega la intuición en el aprendizaje de las matemáticas y la resolución de problemas, y a la hora de dar sentido a las situaciones. Puso como ejemplo una ocasión en la que estaba desarrollando robots para ser utilizados en la Institución Smithsonian y surgió un problema: los niños y otros visitantes del Smithsonian hacían un ruido de fondo que confundía a los robots. Sebastian dijo que él y su equipo tuvieron que ponerse manos a la obra para encontrar nuevas soluciones matemáticas que permitieran que los robots funcionaran bien. Acabó por resolver el problema usando la intuición. Siguió el proceso de concebir una solución matemática que tenía sentido para él de forma intuitiva; a continuación, la demostró aplicando métodos matemáticos. Sebastian habla con firmeza acerca de no avanzar nunca en matemáticas a menos que algo tenga sentido desde la intuición. En mi curso en línea, aconseja a los niños que están aprendiendo matemáticas que nunca trabajen con fórmulas o métodos a menos que les encuentren sentido, y que se detengan si no encuentran dicho sentido.

Entonces, ¿cómo podemos desarrollar mentalidades matemáticas en los niños para que estén dispuestos a abordar esta materia haciendo prevalecer el sentido y la intuición? Antes de que empiecen a ir a la escuela, la tarea es sencilla: hay que pedirles que jueguen con rompecabezas, formas y números, y que piensen en las relaciones. ¿Y cuando comiencen a asistir a la escuela? Vivimos en un sistema en el que los estudiantes deben, desde una edad temprana, aprender muchos métodos matemáticos formales, como los que se usan para sumar, restar, dividir y multiplicar. Este es el momento en que se alejan de las mentalidades matemáticas y desarrollan mentalidades fijas, basadas en los procedimientos. Este es el momento en que es más importante que los maestros y los padres les presenten las matemáticas como una materia conceptual flexible cuyo eje es el pensamiento y dar sentido. El ámbito de los primeros trabajos con los números nos proporciona el ejemplo perfecto de las dos mentalidades que pueden desarrollar los estudiantes, una que es negativa y conduce al fracaso, y otra que es positiva y conduce al éxito.

Dar sentido a los números

Eddie Gray y David Tall son dos investigadores británicos que trabajaron con estudiantes de edades comprendidas entre los siete y los trece años que habían sido designados por sus profesores como alumnos de rendimiento académico bajo, medio o alto (Gray y Tall, 1994). A todos se les dieron problemas numéricos, como sumar o restar dos números. Los investigadores encontraron una diferencia importante entre los estudiantes de rendimiento alto y bajo. Los primeros resolvieron los problemas utilizando lo que se conoce como sentido numérico, es decir, interactuaron con los números de manera flexible y conceptual. En cambio, los estudiantes de bajo rendimiento no usaron el sentido numérico; parecía que albergaban la creencia de que lo que debían hacer era utilizar la memoria y aplicar un método estándar, incluso cuando era difícil hacerlo. Por ejemplo, cuando a los alumnos se les planteó la resta 21 – 6, los que sacaban buenas notas hicieron el problema más fácil cambiando los números y restando 20 – 5, pero los que sacaban notas bajas contaron hacia atrás desde 21, lo cual es más difícil de hacer y predispone al error. Tras estudiar exhaustivamente las distintas estrategias empleadas por los estudiantes, los investigadores concluyeron que la diferencia entre los de alto y bajo rendimiento no era que estos últimos sabían menos matemáticas, sino que interactuaban con ellas de otra manera. En lugar de acercarse a los números con flexibilidad y sentido numérico, parecían aferrarse a los procedimientos formales que habían aprendido y los aplicaban con mucha precisión, sin abandonarlos, incluso cuando tenía sentido hacerlo. Los alumnos que sacaban notas bajas no sabían menos; todo lo que ocurría era que no usaban los números de manera flexible, probablemente porque se los había asentado en el camino incorrecto, desde una edad temprana, de tratar de memorizar métodos y datos numéricos en lugar de interactuar con los números con flexibilidad (Boaler, 2015). Los investigadores señalaron otra cuestión importante: las matemáticas que usaban los alumnos que presentaban un rendimiento académico bajo eran más difíciles. Es mucho más fácil restar 5 de 20 que comenzar desde 21 y contar dieciséis números en sentido descendente (sic). Desafortunadamente para los alumnos que sacan notas bajas, a menudo se cree que tienen dificultades con las matemáticas y, por lo tanto, se les dan más instrucciones y prácticas; con esto asientan aún más su creencia de que el éxito en las matemáticas depende de memorizar métodos, y no de comprender las situaciones y darles un sentido. Se los hace transitar por una senda perjudicial que hace que se agarren a los procedimientos formales y, como resultado, a menudo se hallan abocados a tener dificultades con las matemáticas toda su vida.

Una mentalidad matemática refleja un enfoque activo del conocimiento matemático, en el cual los estudiantes ven que su papel es comprender y otorgar sentido. El sentido numérico refleja una comprensión profunda de las matemáticas, pero deriva de una mentalidad matemática centrada en dar sentido a los números y las cantidades. Es útil pensar sobre las formas en que el sentido numérico se desarrolla en los estudiantes, no solo porque es la base de todas las matemáticas de nivel superior (Feikes y Schwingendorf, 2008), sino también porque el sentido numérico y las mentalidades matemáticas se desarrollan conjuntamente, y aprender formas de cultivar uno de los dos aspectos contribuye al desarrollo del otro.

Las matemáticas son un dominio conceptual. No consisten, como mucha gente piensa, en un conjunto de tablas y métodos para recordar.

En la figura 4.1, las flechas azules representan los métodos pendientes de aprender, y los recuadros rosados, los conceptos aprendidos. Comenzando en la parte inferior izquierda del diagrama, vemos el método consistente en contar. Cuando los estudiantes aprenden a contar, recuerdan el orden y los nombres de los números, pero también desarrollan el concepto de número, es decir, la idea de lo que es un número. En las primeras etapas del aprendizaje de la suma, aprenden un método llamado seguir contando. Este método se emplea cuando se tienen dos conjuntos de números, por ejemplo 15 + 4, y se aprende a contar el primer conjunto, en este caso hasta 15, y después se sigue contando: 16, 17, 18, 19. Cuando los alumnos aprenden el método de seguir contando, desarrollan el concepto de suma. Pero este no es un método de suma; es una idea conceptual. En la siguiente etapa de su trabajo con las matemáticas, tal vez aprendan a sumar grupos de números, como tres grupos compuestos por el número 4, y al aprender a sumar grupos, desarrollan el concepto de producto. Nuevamente, esto no es un método (de multiplicación en este caso); es una idea conceptual. Las ideas de número, suma y producto son conceptos matemáticos sobre los que los estudiantes deben pensar profundamente. Deben aprender los métodos, como sumar y multiplicar, no como fines en sí mismos, sino como parte de la comprensión conceptual de los números, las sumas y los productos, y cómo se relacionan entre sí.

Sabemos que cuando aprendemos matemáticas tiene lugar un proceso cerebral llamado compresión. Cuando aprendemos un nuevo aspecto de las matemáticas sobre el que no sabíamos nada, este contenido ocupa un gran espacio en el cerebro, ya que debemos pensar mucho sobre cómo funciona y sobre cómo las nuevas ideas se relacionan con otras. Pero las matemáticas que hemos aprendido antes y que conocemos bien, como la suma, ocupan un espacio pequeño y compacto en nuestro cerebro. Podemos usar fácilmente ese conocimiento, sin pensarlo. El proceso de compresión tiene lugar porque el cerebro es un órgano muy complejo que debe controlar muchas cosas, y solo puede centrarse en unas pocas ideas no comprimidas en cualquier momento dado. Las ideas que se conocen bien son comprimidas y archivadas. William Thurston, un importante matemático que ganó la Medalla Fields, describe la compresión de esta manera:

Las matemáticas son increíblemente compresibles: puede ser que te esfuerces mucho tiempo, paso a paso, para trabajar en el mismo proceso o la misma idea desde varios enfoques. Pero una vez que realmente entiendes eso y tienes la perspectiva mental que te permite verlo como un todo, a menudo se produce una tremenda compresión mental. Puedes archivar ese contenido, recuperarlo totalmente y con rapidez cuando lo necesites y utilizarlo como un solo paso en algún otro proceso mental. La comprensión que acompaña a esta compresión es una de las verdaderas alegrías que nos aportan las matemáticas. (Thurston, 1990)

Muchos estudiantes no consideran que las matemáticas les aporten «verdaderas alegrías», en parte porque en ellos no tiene lugar la compresión. Cabe destacar que el cerebro solo puede comprimir conceptos; no puede hacer lo mismo con las reglas y los métodos. Por tanto, los alumnos que no adoptan el pensamiento conceptual y abordan las matemáticas como una lista de reglas que deben recordar no están llevando a cabo el fundamental proceso de la compresión, por lo que su cerebro no puede organizar y archivar ideas; en lugar de ello, se esfuerza por no olvidar largas listas de métodos y reglas. Por eso es tan importante ayudar a los estudiantes a abordar las matemáticas conceptualmente en todo momento. Aproximarse conceptualmente a las matemáticas es la esencia de lo que denomino una mentalidad matemática.

¿Y las tablas matemáticas?

Muchos creen que no es posible pensar conceptualmente en las matemáticas todo el tiempo porque hay muchas operaciones matemáticas básicas (las que se suelen presentar en tablas, como 8 × 4 = 32) que deben ser memorizadas. Hay algunas operaciones básicas que es bueno memorizar, pero los estudiantes pueden aprenderlas y memorizarlas con una visión conceptual de las matemáticas. Desafortunadamente, la mayoría de los docentes y padres piensan que debido a que algunas áreas de las matemáticas son objetivas, como las operaciones matemáticas básicas, se deben aprender a través de la práctica rutinaria y los ejercicios de velocidad. Este enfoque del aprendizaje de los números desde el principio es lo que perjudica a los estudiantes, les hace pensar que tener éxito en las matemáticas consiste en recordar operaciones a gran velocidad y los empuja a basarse en los procedimientos, lo cual actúa en contra del desarrollo de una mentalidad matemática.

Las operaciones matemáticas básicas incluidas en las tablas constituyen, en sí mismas, una pequeña parte de las matemáticas solamente, y la mejor forma de aprenderlas es usar los números de distintas formas y en varias situaciones. Por desgracia, en muchas aulas se pone el foco en las operaciones matemáticas de forma aislada, con lo cual los alumnos se hacen la idea de que dichas operaciones son la esencia de las matemáticas y, lo que es peor, piensan que dominar la evocación rápida de estas («¿Cuánto es siete por seis?», «¡Cuarenta y dos!») los convierte en magníficos estudiantes de esta asignatura. Ambas ideas están equivocadas y es fundamental que las erradiquemos de las aulas, ya que tienen un papel clave en el surgimiento de la ansiedad y la insatisfacción en relación con las matemáticas.

Crecí en una época progresista en Inglaterra; por aquel entonces las escuelas de primaria se centraban en el «niño completo», y no me dieron unas tablas de sumar, restar o multiplicar para que las memorizase. Nunca he guardado operaciones matemáticas en mi memoria, aunque puedo obtener rápidamente cualquier resultado, ya que tengo el sentido numérico y he aprendido buenas maneras de pensar en las combinaciones numéricas. El hecho de no haber memorizado no ha supuesto un obstáculo para mí en ningún momento o contexto de mi vida, a pesar de que soy profesora de matemáticas, gracias al sentido numérico. Es mucho más importante que los estudiantes aprendan este, pues incluye el aprendizaje de las operaciones matemáticas básicas, más una profunda comprensión de los números y las formas en que se relacionan entre sí.

Para un tercio de los estudiantes aproximadamente, el inicio de los exámenes cronometrados supone el comienzo de la ansiedad vinculada a las matemáticas (Boaler, 2014c). Sian Beilock y sus colegas estudiaron el cerebro de personas a través de imágenes de resonancia magnética y encontraron que las operaciones matemáticas básicas se conservan en la región cerebral que aloja la memoria operativa. Pero cuando los estudiantes están estresados, como ocurre cuando disponen de un tiempo limitado para resolver las cuestiones matemáticas que se les plantean, la memoria operativa se bloquea, y no pueden acceder a los datos matemáticos que conocen (­Beilock, 2011). Cuando se dan cuenta de que no pueden desempeñarse bien en los exámenes cronometrados, empiezan a experimentar ansiedad y falta de confianza en sí mismos en relación con las matemáticas. El bloqueo de la memoria operativa y la ansiedad asociada a dicho bloqueo es especialmente habitual entre los alumnos que sacan buenas notas y las niñas. Las estimaciones más prudentes permiten inferir que al menos un tercio de los estudiantes en general (es decir, sin atender a sus calificaciones ni a la posición económica de sus familias) experimentan un estrés extremo frente a las pruebas cronometradas. Cuando sometemos a los alumnos a esta experiencia generadora de ansiedad, pasan a odiar la asignatura.

La ansiedad vinculada a las matemáticas se ha registrado en estudiantes de apenas cinco años, y los exámenes cronometrados son una causa importante de este estado debilitante, que a menudo acompaña a la persona durante el resto de su vida. En mis clases en la Universidad Stanford, me encuentro con muchos alumnos que tienen un trauma con las matemáticas, a pesar de que se cuentan entre los estudiantes más sobresalientes del país. Cuando les pregunto acerca del origen de su aversión hacia las matemáticas, muchos me dicen que los exámenes cronometrados de segundo o tercero de primaria constituyeron un punto de inflexión importante a partir del cual decidieron que las matemáticas no eran para ellos. Algunos de los alumnos, especialmente las alumnas, me hablan de la necesidad que tenían de comprender en profundidad la materia (un objetivo muy pertinente) y de que se les hizo sentir que este objetivo no era importante, o incluso dejó de estar presente, en el momento en que los exámenes cronometrados pasaron a ser una realidad cotidiana en la clase de matemáticas. Es posible que realizaran también otro tipo de trabajo, más valioso, en las clases de matemáticas, enfocado en la comprensión y la otorgación de sentido, pero las pruebas cronometradas evocan emociones tan fuertes que los estudiantes pueden llegar a creer que ser rápido en las operaciones es la esencia de las matemáticas. Esto es tremendamente lamentable. Vemos el resultado del énfasis equivocado que se está poniendo en la memorización y los exámenes en la gran cantidad de estudiantes que abandonan las matemáticas y en la «crisis matemática» que estamos viviendo en la actualidad (consulta www.youcubed.org). Cuando mi hija empezó a memorizar la tabla de multiplicar y a hacer exámenes a los cinco años, comenzó a llorar a causa de las matemáticas. Esta emoción de desesperación no es la que queremos que los estudiantes asocien con esta materia, pero mientras sigamos presionándolos para que recuerden las operaciones básicas a gran velocidad, no acabaremos con la ansiedad y el disgusto vinculados a las matemáticas que se encuentran tan generalizados en Estados Unidos, el Reino Unido y muchos otros países (Silva y White, 2013).

Llegados a este punto, surge la pregunta: ¿qué podemos hacer para ayudar a los estudiantes a aprender las operaciones matemáticas básicas si no utilizamos los exámenes cronometrados? La mejor manera de fomentar el aprendizaje de estas operaciones y el desarrollo de una mentalidad matemática es ofrecer tareas matemáticas conceptuales que ayuden a aprender y entender los números y las operaciones numéricas. Un equipo de investigadores del cerebro estudió a dos grupos diferenciados de alumnos, que estaban aprendiendo matemáticas de dos maneras diferentes. Uno estaba aprendiendo a través de estrategias; por ejemplo, los estudiantes averiguaban el resultado de 17 × 8 calculando 17 × 10 (170) y restando 17 × 2 (34). El otro método consistía en memorizar las operaciones (17 × 8 = 136). Encontraron que los dos enfoques (las estrategias y la memorización) implican dos rutas neuronales distintas y que ambas son perfectamente susceptibles de ser utilizadas en el transcurso de la vida. Sin embargo, es importante destacar que el estudio también encontró que quienes estaban aprendiendo a través de estrategias mostraban un «rendimiento académico superior» que quienes estaban centrados en memorizar; respondían los exámenes a la misma velocidad, pero lo hacían mejor a la hora de aplicar sus conocimientos a los problemas nuevos. Los investigadores concluyeron que la automaticidad debería alcanzarse con la comprensión de las relaciones numéricas, lograda con el pensamiento sobre las estrategias numéricas (Delazer et al., 2005).

En otro estudio importante, los investigadores descubrieron que el aprendizaje más potente tiene lugar cuando usamos distintas vías neuronales (Park y Brannon, 2013). El lado izquierdo del cerebro gestiona la información objetiva y técnica, mientras que el lado derecho gestiona la información visual y espacial. Se ha descubierto que el aprendizaje de las matemáticas y el desempeño en este ámbito son óptimos cuando las dos partes del cerebro se están comunicando (Park y Brannon, 2013). Los investigadores también encontraron que cuando los alumnos estaban trabajando en problemas aritméticos, como la resta, los que obtenían mejores resultados eran los que mostraban las conexiones más fuertes entre los dos lados del cerebro. Las implicaciones de este hallazgo son extremadamente importantes para el aprendizaje de las matemáticas, ya que nos dicen que el aprendizaje de las matemáticas abstractas formales que conforman gran parte del currículo escolar mejora cuando los estudiantes utilizan el pensamiento matemático visual e intuitivo.

En el artículo de Youcubed «Fluency without Fear» [Fluidez sin miedo], que tuvo una repercusión significativa, incluimos estos hallazgos y actividades que los maestros y los padres pueden usar para habilitar las importantes conexiones cerebrales. Uno de los juegos de matemáticas que incluimos en el artículo se hizo muy popular y fue tuiteado en todo el mundo. Lo describo a continuación.

Se juega por parejas. Cada niño dispone de una cuadrícula compuesta por cien cuadrados en blanco. El primero tira dos dados. Los números que aparecen son los que usa para crear una matriz en su cuadrícula. Puede colocar la matriz en cualquier lugar de la cuadrícula, pero el objetivo es que, al final, la cuadrícula esté lo más llena posible. Después de que el jugador ha coloreado la matriz en su cuadrícula, escribe la oración numérica que describe la matriz. El juego finaliza cuando ambos jugadores han tirado los dados y no pueden poner más matrices en la cuadrícula (ver la figura 4.2). En este juego, los estudiantes están aprendiendo operaciones numéricas simples, como 2 × 12, pero también están haciendo algo mucho más ­importante: están pensando en el significado de las operaciones numéricas y en lo que representa 2 × 12, visual y espacialmente.

Otro juego que fomenta las mismas conexiones cerebrales potentes toma la idea de las cartas de matemáticas, que a menudo se usan de formas perjudiciales, como fomentar la memorización y las respuestas rápidas, y las utiliza de manera muy diferente. El objetivo del juego es emparejar las cartas que ofrecen la misma respuesta, mostrada a través de distintas representaciones, sin límite de tiempo. El profesor pone todas las cartas sobre una mesa y les pide a los alumnos que las recojan por turnos; agarran tantas como encuentran con la misma respuesta (mostrada a través de cualquier representación). Por ejemplo, 9 y 4 se pueden mostrar como una cuadrícula compuesta por 9 x 4 cuadrados, por medio de conjuntos de objetos como pueden ser piezas de dominó o como una oración numérica. Cuando los alumnos emparejan las cartas, deben explicar cómo saben que son equivalentes. Esta actividad también está enfocada en comprender la multiplicación visual y espacialmente, lo cual estimula las conexiones cerebrales al mismo tiempo que sirve para practicar las operaciones matemáticas elementales. También se puede jugar con las cartas bocabajo, como en los juegos de memoria, para añadir un desafío adicional (ver la figura 4.3).

Estas actividades enseñan el sentido numérico y una mentalidad matemática y fomentan nuevas rutas neuronales en los dos hemisferios cerebrales. La antítesis de este enfoque es centrarse en la memorización rutinaria y la velocidad en las respuestas. Cuanto más ponemos el acento en la memorización, menos dispuestos están los alumnos a pensar en los ­números y en las relaciones que hay entre ellos, y a usar y desarrollar el sentido numérico (Boaler, 2015). Pero a algunos estudiantes no se les da tan bien como a otros memorizar las operaciones matemáticas básicas. Esto es algo que se debe celebrar; forma parte de la maravillosa diversidad de la vida y las personas. Imagina lo horrible que sería si, ante los exámenes en los que se evalúa el conocimiento de las operaciones matemáticas básicas, todos los alumnos respondieran de la misma manera y a la misma velocidad, como si fuesen robots. En un estudio reciente sobre el cerebro, los científicos examinaron el cerebro de algunos estudiantes cuando se les estaba enseñando a memorizar este tipo de operaciones matemáticas. Vieron que algunos las memorizaban mucho más fácilmente que otros. Esto no tiene nada de sorprendente. Ahora bien, muchos de nosotros supondríamos, probablemente, que aquellos que memorizaban mejor eran los que sacaban mejores notas o eran «más inteligentes». Pero los investigadores descubrieron que los estudiantes que memorizaban con mayor facilidad no eran los que presentaban un mejor rendimiento académico; no tenían más «capacidad matemática» (en palabras de los investigadores) ni obtenían puntuaciones más altas en la evaluación del cociente intelectual (Supekar et al., 2013). Solo encontraron diferencias en la región cerebral llamada hipocampo, que es la responsable de las operaciones memorizadas. El hipocampo, al igual que otras áreas del cerebro, no es fijo y puede crecer en cualquier momento, como ilustran los estudios efectuados con los conductores de los taxis negros de Londres (Woollett y Maguire, 2011), pero siempre ocurrirá que algunos estudiantes serán más rápidos o más lentos a la hora de memorizar, lo cual no tiene nada que ver con el potencial matemático.

Para ser un buen estudiante de inglés, para poder leer y comprender novelas o poemas, hay que haber memorizado el significado de muchas palabras. Pero ningún estudiante de inglés diría o pensaría que aprender esta lengua consiste en memorizar y recordar palabras a gran velocidad. Esto se debe a que aprendemos las palabras al usarlas en muchas situaciones diferentes: al decirlas, al leerlas, al escribirlas. Los profesores de inglés no les dan a sus alumnos cientos de palabras para que las memoricen y, luego, los evalúan con pruebas cronometradas. Todas las asignaturas requieren memorizar algunos datos e informaciones, pero las matemáticas son la única asignatura en la que los maestros creen que los conocimientos deben evaluarse bajo unos límites de tiempo ajustados. ¿Por qué tratamos así a las matemáticas? Los estudios nos han mostrado que los estudiantes pueden aprender mucho mejor las operaciones matemáticas básicas realizando tareas atractivas; ahora es el momento de usar este conocimiento y liberar a los estudiantes del miedo a las matemáticas.

LA HISTORIA DE UNA PROFESORA SOBRE UN TRAUMA MOTIVADO POR LA MEMORIZACIÓN EN MATEMÁTICAS

En un taller de desarrollo profesional que impartí en fechas recientes, dirigido a profesores de California, conté que no memoricé la tabla de multiplicar en mi infancia. También dije que esto nunca me ha supuesto ningún tipo de obstáculo en ningún momento, a pesar de que decidí dedicarme a las matemáticas y trabajo con ellas a diario. Cuando dije esto a esa sala llena de profesores, cuatro de ellos lloraron. En el almuerzo, uno de ellos, una mujer, me explicó, entre sollozos, que mi declaración había tenido un gran impacto en ella. De niña, le costó memorizar la tabla de multiplicar, y su padre le hizo creer que tenía algún tipo de déficit cognitivo. Toda su vida había sentido que tenía algún tipo de problema. Me dijo que el director de su escuela estaba con ella en la sala, y temió que su «deficiencia» quedara al descubierto. La cantidad de personas que se han visto perjudicadas por el énfasis que se pone en las pruebas cronometradas y en la memorización de las operaciones matemáticas básicas en las aulas es terriblemente grande.

¿Hasta qué punto es importante la práctica en las matemáticas?

Cuando les muestro a los padres y los docentes los resultados de los estudios que indican que los estudiantes necesitan abordar las matemáticas de forma conceptual y visual, algunos padres preguntan: «Pero ¿no necesitan los estudiantes practicar mucho las matemáticas?». Con esta pregunta están haciendo referencia a las páginas llenas de operaciones matemáticas que deben resolver de forma aislada. La pregunta de si los alumnos de matemáticas deben practicar o hasta qué punto necesitan hacerlo es interesante. Sabemos que cuando tiene lugar un aprendizaje se activa una sinapsis, y que para que acontezca un cambio estructural en el cerebro debemos repasar las ideas y aprenderlas profundamente. Pero ¿qué significa esto? Es importante repasar las ideas matemáticas, pero practicar los métodos una y otra vez no es útil. Cuando aprendemos una nueva idea en matemáticas, es útil reforzarla, y el mejor modo de hacerlo es usarla de distintas maneras. Hacemos un muy flaco favor a los estudiantes cuando elegimos la versión más simple de una idea y les ponemos delante cuarenta ejercicios que insisten en ella. Las hojas de trabajo que repiten la misma idea una y otra vez alejan a los alumnos de las matemáticas, son innecesarias y no los preparan para usar esa idea en situaciones variadas.

En su éxito de ventas Outliers (Fuera de serie), Malcolm Gladwell desarrolla la idea de que se requieren unas diez mil horas de práctica para llegar a dominar una determinada disciplina (Gladwell, 2011). Describe los logros de músicos famosos, jugadores de ajedrez y estrellas del deporte, y muestra algo importante. Muchas personas creen que los individuos como Beethoven son genios naturales, pero Gladwell muestra que trabajan duro y durante mucho tiempo para alcanzar sus grandes logros, y que la mentalidad de crecimiento respalda su trabajo. Sin embargo, he hablado con varias personas que, lamentablemente, han interpretado que la idea de Gladwell significa que los estudiantes pueden llegar a dominar las matemáticas después de practicar rutinariamente durante diez mil horas. Pero esto no es así. Dominar las matemáticas requiere diez mil horas de trabajo matemático. No necesitamos que los estudiantes tomen un solo método y lo practiquen una y otra vez. Esto no son matemáticas; no hace que los estudiantes adquieran las ideas, los conceptos y las relaciones que dominan los matemáticos expertos. El aspirante a experto en matemáticas debe trabajar durante diez mil horas, sí, pero abordando las matemáticas como un todo, reflexionando sobre ideas y conexiones matemáticas, resolviendo problemas, razonando y conectando métodos.

La mayoría de los autores de libros de texto de Estados Unidos basan todo su enfoque en la idea de aislar métodos, reducirlos a su forma más simple y practicarlos. Esto es problemático por muchas razones. En primer lugar, practicar métodos aislados induce aburrimiento en los estudiantes; muchos se desentienden de la materia cuando piensan que lo que deben hacer es aceptar pasivamente un método (Boaler y Greeno, 2000) y repetirlo una y otra vez. En segundo lugar, la mayoría de los ejemplos de práctica ofrecen la versión más simplificada y desconectada del método que se deberá practicar, y no les dan a los estudiantes ninguna pista sobre cuándo o cómo podrán usar ese método.

Este problema se extiende a la forma en que los libros presentan los ejemplos de las ideas, ya que siempre dan la versión más simple. El cuadro 4.1 muestra las respuestas que los alumnos dan a los problemas de matemáticas en los estudios de investigación, lo cual resalta la naturaleza del problema causado por las preguntas de los libros de texto.

CUADRO 4.1

Se mostró la siguiente figura a niños de once años y se les preguntó: «¿Son paralelas las líneas a y c?».

La mayoría respondieron: «No, porque la línea b está en medio». El origen de esta respuesta se encuentra en el hecho de que el concepto de líneas paralelas se ilustra casi siempre ofreciendo la imagen de dos líneas:

A continuación, se pidió a los estudiantes que dijeran el nombre de la siguiente forma:

La mayoría no supieron hacerlo. Es un hexágono (un polígono de seis lados), pero los hexágonos casi siempre se nos muestran de esta manera:

Esta imagen no ilustra totalmente el concepto de hexágono.

Más de la mitad de los niños de ocho años a quienes se preguntó no vieron lo siguiente como ejemplos de un ángulo recto, un triángulo, un cuadrado y líneas paralelas…

... porque siempre se les ha mostrado la versión más simple de los conceptos. Estas son las imágenes con las que están familiarizados, y las que esperan ver:

El hecho de que más de la mitad de los estudiantes que participaron en los estudios no pudieron identificar las formas nos dice algo importante: que cuando los libros de texto presentan solo la versión más simple de una idea, a los alumnos se les niega la oportunidad de aprender la esencia de la idea. Los estudiantes no pudieron identificar los distintos ejemplos porque los autores de los libros de texto les habían proporcionado «ejemplos perfectos» en todas las ocasiones. Cuando se pretende ilustrar una definición en toda su amplitud, es útil ofrecer ejemplos variados, incluidos algunos que respondan bien a la definición, otros que apenas se ajusten a la definición y otros que no respondan a ella en absoluto, en lugar de ofrecer ejemplos perfectos en todas las ocasiones. Por ejemplo, al instruir a los alumnos sobre las aves, puede ser útil pensar en los murciélagos y explicar por qué no son aves, en lugar de mostrarles, una y otra vez, fotos de gorriones y cuervos. Esto deberían tenerlo en cuenta no solo los autores de los libros de texto sino también los profesores, incluidos los de matemáticas.

Las ideas erróneas que adquieren los estudiantes cuando se les muestran ejemplos perfectos son análogas a las limitaciones que desarrollan cuando practican métodos aislados una y otra vez. Se les dan situaciones sencillas que requieren el uso simple de un procedimiento (o, a menudo, ninguna situación); y cuando se les proponen problemas matemáticos realistas o cuando necesitan usar las matemáticas en el mundo, no saben aplicar los métodos que han aprendido (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos, 2013). Los problemas reales a menudo requieren la elección y la adaptación de métodos que los estudiantes, normalmente, no han aprendido a usar; de hecho, es muy posible que ni siquiera hayan reflexionado sobre ellos. En el siguiente capítulo veremos cómo son los problemas matemáticos interesantes y efectivos que evitan estos inconvenientes.

En un estudio de investigación llevado a cabo en Inglaterra, que fue galardonado, hice el seguimiento a varios estudiantes durante tres años a través de un enfoque de las matemáticas basado en la práctica. Se les mostraron ejemplos aislados en la clase de matemáticas, que practicaron una y otra vez (Boaler, 2002a). Contrasté este enfoque con otro en el que se mostró la complejidad de las matemáticas con la intención de que pensaran conceptualmente en todo momento y eligieran, usaran y aplicaran métodos. Los dos enfoques se enseñaron en escuelas separadas, a alumnos cuyo entorno social y rendimiento académico coincidían; todos ellos vivían en zonas desfavorecidas del país. Los estudiantes a quienes se les enseñó a practicar métodos una y otra vez, en una escuela disciplinada en la que se dedicaba mucho tiempo a las tareas, obtuvieron puntuaciones significativamente más bajas en el examen nacional de matemáticas que aquellos que practicaron mucho menos pero a quienes se animó a pensar ­conceptualmente. Un ­problema importante al que se enfrentaron los alumnos de la escuela tradicional en el examen nacional, compuesto por un conjunto de preguntas sobre formas de proceder para resolver distintas cuestiones, fue que no supieron qué métodos elegir para responder las preguntas. Habían practicado los métodos una y otra vez, pero nunca se les había pedido que reflexionasen sobre una situación y eligiesen un método. A continuación, dos de los estudiantes de esa escuela reflexionan sobre las dificultades con las que se encontraron:

Esto es una lata, realmente, porque cuando estás en clase trabajando, incluso cuando la tarea es difícil te equivocas solamente en una o dos respuestas, las más raras; la mayoría las aciertas, y piensas: «Bueno, en el examen, haré bien la mayoría de los ejercicios». Pero no es así. (Alan, Amber Hill)

Es diferente, y me gusta la forma en que lo plantean allí; no es lo mismo. Las historias, las preguntas… no están igual que en los libros, ni coinciden con la forma de proceder del profesor a la hora de llegar a las respuestas. (Gary, Amber Hill)

La simplificación excesiva de las matemáticas y la práctica de métodos a través de procedimientos simplificados aislados es uno de los motivos del fracaso generalizado en Estados Unidos, el Reino Unido y otros países. También es una de las razones por las que los estudiantes no desarrollan mentalidades matemáticas: no ven que lo que les corresponde hacer es pensar y encontrarle sentido a lo que hacen; creen que todo consiste en tomar los métodos que se les presentan y aplicarlos una y otra vez. Se provoca que crean que no hay lugar para el pensamiento en la clase de matemáticas.

En un segundo estudio, realizado en Estados Unidos, les preguntamos a un conjunto de estudiantes a quienes se les estaba enseñando según un modelo similar cuál era su papel en la clase de matemáticas (Boaler y Staples, 2005). Un sorprendente 97 % de los alumnos dijeron lo mismo: que su papel consistía en «prestar mucha atención». Este acto pasivo de observar en lugar de pensar, razonar o dar sentido no conduce a la comprensión o al desarrollo de una mentalidad matemática.

A los estudiantes a menudo se les dan ejercicios de matemáticas como deberes (tareas para hacer en casa). Hay muchas pruebas de que los deberes, de cualquier tipo, son innecesarios o perjudiciales; hablaré de algunas de estas pruebas en el capítulo seis. Como madre, sé que los deberes son la causa más habitual de lágrimas en casa, y la asignatura que provoca más estrés en el hogar son las matemáticas, sobre todo cuando las tareas no consisten en más que largas listas de ejercicios aislados.

Se envían a los hogares páginas llenas de problemas por resolver como práctica, sin ninguna consideración, al parecer, por el efecto negativo que van a tener en el ambiente familiar. Pero hay esperanza: las escuelas que deciden dejar de mandar deberes no ven que los estudiantes tengan un rendimiento académico inferior y, en cambio, mejora significativamente la calidad de vida en el hogar (Kohn, 2008).

Los grandes estudios de investigación han demostrado que el hecho de que se manden o no deberes tiene unos efectos mínimos o nulos en el rendimiento escolar (Challenge Success, 2012) y que los deberes conducen a desigualdades significativas (Programa Internacional para la Evaluación de los Alumnos, 2015), un problema que retomaré en el capítulo seis. Además, los deberes tienen un papel muy negativo en la vida de muchos padres e hijos. Los estudios también muestran que los únicos deberes efectivos son aquellos en los que se les da a los estudiantes una experiencia de aprendizaje valiosa, no hojas de trabajo llenas de problemas prácticos, y los deberes que no se ven como una obligación, sino como oportunidades ocasionales de realizar una tarea significativa. Mis hijas van a escuelas que conocen las investigaciones sobre los deberes y generalmente solo les ponen deberes de matemáticas útiles, como rompecabezas kenken, pero en ocasiones los profesores les han mandado cuarenta ejercicios para que practiquen un método como la resta o la multiplicación. Mis hijas se desaniman cuando les mandan este tipo de tarea. En esos momentos, les explico que esa página de ejercicios monótonos no refleja lo que son las matemáticas en realidad, y una vez que me han demostrado que pueden resolver algunos de los ejercicios (cuatro o cinco, normalmente) les sugiero que se detengan. Le escribo una nota a la maestra en la que le digo que estoy satisfecha de que hayan comprendido el método y no quiero que trabajen en treinta y cinco ejercicios más, ya que eso les haría concebir ideas perjudiciales sobre la naturaleza de las matemáticas.

Si trabajas en una escuela en la que se exige que los profesores pongan deberes, se les pueden dar a los alumnos problemas por resolver que sean mucho más productivos que las páginas llenas de operaciones. Dos maestras innovadoras con las que trabajo en el Distrito Escolar Unificado de Vista, Yekaterina Milvidskaia y Tiana Tebelman, desarrollaron un conjunto de planteamientos reflexivos para mandarlos como deberes, con el fin de ayudar a sus alumnos a procesar y entender las matemáticas que han aprendido a un nivel más profundo. Por lo general, cada día les ponen una de las preguntas que incitan a la reflexión y entre uno y cinco ejercicios prácticos (la cantidad de ejercicios que les ponen en cada ocasión, dentro de este margen, depende de la complejidad de los problemas). El cuadro 4.2 muestra las preguntas para la reflexión que han desarrollado, de las cuales eligen una cada vez.

Yekaterina y Tiana llevan dos años utilizando estas preguntas para la reflexión y han advertido un impacto muy positivo en sus alumnos, que ahora reflexionan sobre lo que han aprendido, sintetizan sus ideas y hacen más preguntas en clase.

Cada año, les dan a sus estudiantes una encuesta a mitad de curso para recopilar datos y obtener sus comentarios sobre las prácticas realizadas en el aula y también sobre la nueva forma de enfocar los deberes. En cuanto a estos últimos, recibieron las siguientes respuestas:

Creo que la forma en que hacemos los deberes es muy útil. Cuando pasas más tiempo reflexionando sobre lo que has aprendido (en las respuestas por escrito) y menos tiempo haciendo operaciones matemáticas, aprendes mucho más.