Читать книгу: «Теория понятий. Технология семантического мышления», страница 3

3. Познание природы и логика

В работе «Познание природы и логика», которую Давид Гильберт представил коллегам-математикам в 1930 году, он пытается выяснить взаимосвязь практики и мышления. Он во многом вынужден согласится с Иммануилом Кантом, признанным авторитетом в области мышления.

Приведём несколько наиболее содержательных цитат из этой работы с некоторыми комментариями:

«Познание природы и жизни – наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно – многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой – на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу – означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина».

«Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение – логическая наука – достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.

Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода – геометрия Евклида».

Комментарий теории понятий: «Аксиоматика Гильберта – система аксиом евклидовой геометрии. Разработанная Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Но даже в аксиоматике Гильберта отсутствует возможность определения новых геометрических объектов».

А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов.

Следование аксиоматическим методам должно, как нам кажется, действительно привести к системе законов природы, соответствующих в своей совокупности действительности, и необходимо лишь мышление, то есть дедукция в терминах понятий, чтобы построить все физическое знание; и тогда был бы прав Гегель, утверждавший, что все явления природы можно вывести из понятий.

Инструментом, посредством которого осуществляется взаимосвязь теории и практики, мышления и наблюдения, служит математика; она наводит мосты и неусыпно следит за тем, чтобы те не утратили способность выдерживать нагрузку. Отсюда следует, что в основе всей нашей современной культуры, поскольку она направлена на постижение природы разумом и использование природы на благо человеку, лежит математика. Еще Галилей сказал: «Понять Природу может лишь тот, кто знает язык, на котором она говорит с нами, и его письмена; язык же ее – математика, письмена – математические фигуры». Канту принадлежит следующее высказывание: «Я утверждаю, что в каждой области естествознания собственно науки столько, сколько в ней математики».

Истинная причина, по которой Канту не удалось найти неразрешимую проблему, по моему мнению, состоит в том, что неразрешимых проблем вообще не существует. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: «Мы должны знать, мы будем знать».

В обоснование логики этого утверждения можно привести его замечание о логических парадоксах. Гильберт писал: «…эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Можно сказать, что теория семантических понятий обеспечивает в соответствии с теорией Гильберта постановку семантически корректных проблем, что гарантирует их разрешимость. Алгоритмически неразрешимых проблем не существует!

К сожалению, Гильберт не определяет, что есть аксиоматика. Он считает, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Некоторое аксиоматическое определение, которое может быть использовано для определения различных новых сущностей, предлагает Кантор.

4. Диалектическая теория семантических множеств

«Мно́жество – один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие – значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество – это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). Существует два подхода к понятию множества.

«Наивная теория множеств» Георга Кантора. Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество может быть одним из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Кантору принадлежит также следующая характеристика понятия «множество»: Множество – это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Однако вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, в частности к парадоксу Рассела».

Это текст из «Викизнания».

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов. В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Теория понятий считает это утверждение ошибочным, абзацем выше приведено дословное несколько иное канторовское определение понятия множества.

Множество объектов, обладающих свойством A (x)!, обозначается {x|A (x)}!. Если некое множество Y= {x|A (x)}!, то A (x)! называется характеристическим свойством множества Y!. Данная концепция привела к парадоксам. После этого теория множеств была некорректно аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело – Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

На день сегодняшний имеются и другие определения понятия множества.

Мно́жество – одно из ключевых понятий математики, в частности теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Теория понятий предлагает и использует несколько иное определение множества не в противоречии с наивным определением Кантора.

Диалектика теории множеств

В начале XX века Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. Теория понятий считает, что в соответствии с диалектическим законом единства и борьбы (конкуренции) противоположностей, интуитивная математика распалась на две математики: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположную прикладную, основанную на использовании этой самой семантики. Занявшись философией математики, Кантор хотел как лучше, а получилось как всегда. В результате появилась не философия математики, а математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Теория понятий считает, что эта математическая философия представляет единение всех имеющихся наук.

Формализа́ция – представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.

Поскольку лингвистическая структура естественного языка не совпадает с логической структурой форм и законов мышления, которые воплощаются в этом языке, логика вынуждена создавать специальные средства, которые бы дали возможность изъять из естественного языка формы мышления, их логические свойства, существенные отношения между ними, определить принципы логической дедукции, критерии различия правильных и неправильных способов рассуждения.

Создание логики специального языка, наряду с существующей на естественном языке, есть особый процесс, который предусматривает, что созданная искусственная знаковая система является средством фиксации логической структуры мысли, с одной стороны, и средством исследования логических свойств и отношений мысли, с другой. То есть язык логики – это прежде всего её метод. Принято говорить не «искусственный язык логики», а «формализованный язык логики». С лёгкой руки немецкого философа Иммануила Канта логике приписали прилагательное «формальная», поэтому логику стали называть формальной, а её метод – формализацией.