Читать книгу: «Метафизика опыта. Книга II. Позитивная наука», страница 5

Теория уравнений, теория функций и анализ бесконечно малых, таким образом, являются основными главами, под которыми могут быть распределены все ветви, низшие и высшие, алгебры в широком смысле этого слова. Я процитировал вышеприведенный отрывок лишь для того, чтобы дать краткий обзор областей, охватываемых наукой исчисления в целом. Было бы совершенно нецелесообразно пытаться перечислить или каким-либо образом приступить к рассмотрению различных разделов и подразделов, содержащихся в нем. Тем не менее, прежде чем оставить эту тему, необходимо сказать несколько слов об анализе бесконечно малых или бесконечно малом исчислении, поскольку концепция пределов, на которой оно основано, проливает свет на изначальную и существенную природу числа, из которой оно, по сути, является непосредственным и необходимым следствием.

Инфинитезимальное исчисление имеет дело с величинами, которые являются функциями одна от другой, то есть с величинами, которые так связаны между собой, что изменение одной из них влечет за собой соответствующее изменение в другой. Ее цель состоит в том, чтобы, вводя сначала в одну, затем в другую переменную величину, связанную таким образом, которые входят в постановку любой данной проблемы, произвести ряд изменений, которые, поскольку они могут быть сделаны бесконечно малыми, и, следовательно, бесконечно многочисленными, будут нести с собой соответствующие изменения в других, или зависимых, переменных, достаточные для того, чтобы охватить и, в мыслях, учесть все содержание любого мыслимого периода времени или конфигурации пространства, включая все возможные относительные изменения в их частях. При таком методе получаются результаты, которые при последующем применении к явлениям природы адекватно выражают и даже предвосхищают путем вычислений любые отношения или изменения отношений, которые могут существовать или происходить в физическом мире материи и силы, – массы, объемы, движения, скорости, степени интенсивности, энергии и так далее, – словом, все, что угодно, насколько это может быть подведено под понятие количества, то есть насколько это связано с временными и пространственными отношениями.

С изменениями качества физических веществ или сил, как, например, с химическими сочетаниями и сродствами, исчисление имеет дело лишь постольку, поскольку можно показать, что возникновение таких качественных изменений зависит от изменений, которые выражаются в терминах временных и пространственных отношений и поэтому могут быть определены количественно. Калькуляция может быть вкратце описана как Органон для охвата всего поля чисто количественных отношений явлений, так же как Логика Аристотеля является Органоном для охвата всего поля явлений, которые являются случаями различия между Тождеством и Различием, то есть всех явлений вообще.

Теперь факт опыта, который используется в качестве средства и принципа метода для установления и работы этого Органона количества, есть не что иное, как тот, который, как мы видели, действует при возникновении числа и исчисления как таковых. Я имею в виду разделение временного континуума актом целенаправленного внимания, идеальное разделение, которое не занимает никакой части того континуума, в который оно внедряется. Разница лишь в том, что в случае исчисления деление производится на континуумы любого вида и с полным сознанием двух существенных обстоятельств: (1) что делимый континуум является предпосылкой идеального деления его, и (2) что идеальное деление не занимает никакой части этого континуума, но всегда оставляет меньший континуум, способный к еще большему идеальному делению, как бы часто ни повторялся процесс деления. Быть континуумом и быть способным к идеальному делению – это одно и то же.

Пределы, установленные бесконечно малым исчислением (в его дифференциальной ветви) при работе с переменными функциями для целей своих вычислений, являются делениями такого рода. Недавний авторитет дал им следующее определение. «Если существует фиксированная величина, которой переменная величина может быть почти равна, и если невозможно, чтобы переменная величина когда-либо была точно равна этой фиксированной величине, то фиксированная величина называется пределом переменной величины».¹⁶

Возьмем элементарный и знакомый пример. Представьте себе круг с горизонтально проведенным диаметром, пересекающийся с окружностью справа в точке, которую мы назовем О. Затем проведите через точку 0 другую прямую линию, отсекающую часть или дугу правого верхнего квадранта круга, и назовите точку, в которой она снова пересекается с окружностью, В. Далее представьте, что эта линия 0 B вращается вокруг точки 0 как шарнира в плоскости круга слева направо, постепенно приближая точку B к точке 0; тем самым постепенно уменьшая (1) дугу перехваченной окружности, (2) длину прямой или хорды 0 B и (3) площадь, заключенную между дугой и хордой, пока эти три величины одновременно не исчезнут; что и произойдет в тот момент, когда точка B достигнет точного совпадения с точкой 0.

До этого момента линия O B является секущей окружности; в этот момент она перестает быть секущей и становится касательной к окружности; а если мы предположим, что она продолжает вращаться слева направо вокруг точки 0, то она перестает быть касательной и снова становится секущей окружности, только на этот раз часть окружности или дуги, которую она пересекает, лежит ниже диаметра и принадлежит нижнему правому квадранту окружности.

Положение прямой 0 B в тот момент, когда она становится касательной к окружности, и до тех пор, пока она ею остается, является пределом последовательного изменения положения, которое она занимала, будучи секущей окружности. И хотя в качестве секущей ее можно сколь угодно приблизить к ее положению касательной; то есть хотя ее расстояние от положения касательной может быть уменьшено последовательными дифференцированиями, пока мы не устанем находить выражения для ее миниатюрности, – все же она никогда не может совпасть с этим положением касательной, не переставая быть секущей; или, выражаясь другими словами, угол, который она как секущая образует с диаметром в точке 0, никогда не может быть точно равен углу, образуемому касательной в этой точке (что является прямым углом), без того, чтобы линия в то же время не перестала пересекать какую-либо часть дуги или окружности, какой бы незначительной эта часть ни была.

Единственная и достаточная конечная причина этого заключается в том, что последовательные положения, которые, как мы полагаем, занимает вращающаяся линия 0 B, являются идеальными делениями пространственных континуумов, а именно: области, заключенной в круге, и области или пространства вне круга, непрерывного с пространством внутри него, за исключением идеального деления, вносимого самим кругом. Ибо идеальные деления континуума не являются решениями его непрерывности, то есть не вносят в него разрывов или интервалов, которые не принадлежат

континууму, как это сделали бы физические деления материального континуума. Отсюда следует, что, пересекая континуум или предполагая движение точки, пересекающей его (будь то континуум времени, или длины, или ширины, или объема пространства), это движение также непрерывно в отношении пересекаемого континуума; то есть оно не может пропустить или оставить не пройденной ни одну часть, сколь бы малой она ни была или могла бы быть идеально разделена, то есть независимо от того, были ли эти идеальные деления явно отмечены или нет. Что касается непрерывности движения по континууму, то нет разницы, сколько или сколько идеальных делений в него внесено, поскольку никакое количество таких делений не может исчерпать его делимость, но всегда должен оставаться континуум, способный к дальнейшему идеальному делению. Короче говоря, непрерывное движение может пересечь весь континуум и в этом смысле исчерпать его, а идеальное деление – нет. Я не ставлю перед собой задачу рассматривать способы, с помощью которых фундаментальная концепция пределов становится основой методов, сначала дифференциального исчисления, а затем интегрального, которое является его противоположностью, дополнением и применением. Здесь нас интересует природа и обоснованность самого Lex Continui, из которого концепция пределов является прямым и непосредственным следствием. В связи с этим необходимо прежде всего отметить, что представление континуума, будь то время, пространство или движение, является представлением фактов чувственного восприятия, взятых в их низших и простейших проявлениях, и поэтому имеет прямую гарантию опыта. Возражения против его конечной эмпирической достоверности должны, с другой стороны, выводиться не непосредственно из данных чувственного восприятия, а из представлений, которые мыслимые рамки времени, пространства и движения, рассматриваемых по отдельности как абстрактные объекты, то есть из понятий о них, или из времени, пространства и движения как понятий. Ибо только в этом случае можно даже поставить вопрос о том, не может ли время в действительности быть последовательностью дискретных мгновений, пространство – сосуществованием дискретных точек, а движение – последовательностью скачков из одной сосуществующей точки пространства в другую, причем каждый скачок совершается в дискретное мгновение времени. Ни к чему, кроме путаницы, не приводило и не может привести такое выдвижение понятий на место восприятий в качестве конечного источника и проверки достоверности. Примером тому служат элеатские загадки о движении.

Ответ, который вытекает из опыта на вышеупомянутые вопросы, очень прост и неоспорим.

Ist. Если время состоит из череды дискретных мгновений, то из чего состоит интервал между этими мгновениями? Ведь очевидно, что если бы между ними не было интервалов, то мгновения не могли бы быть дискретными, и идея их последовательности должна была бы исчезнуть вместе с идеей их множественности. Поэтому ответ на первый вопрос заключается в том, что эти предполагаемые интервалы – это Время, предполагаемые мгновения – идеальные деления его, а само Время – непрерывная длительность, способная, поскольку она непрерывна, к идеальному делению in infinitum. Конечная природа Времени, как неотъемлемого элемента сознания, – не последовательность, а длительность.

2-е. Если пространство – это сосуществование дискретных точек, то что такое интервал или расстояние между любыми двумя такими точками? Очевидно, что это пространство. Точки – это идеальные деления его; а пространство – это континуум, способный, поскольку он непрерывен, к идеальному делению in infinitum. Его конечная природа, как неотъемлемый элемент определенных состояний сознания, – это не конфигурация, а расширение.

3-е. Если движение – это последовательность скачков из одной сосуществующей точки пространства в другую, причем каждый скачок совершается в дискретное мгновение времени, то – независимо от того, считаются ли время и пространство действительно непрерывными или нет, – движение может происходить только вне времени и пространства, а именно, путем выхода из них в одной точке и возвращения в них в другой. Это очевидно, если считать, что время состоит из дискретных мгновений, а пространство – из дискретных точек. И едва ли менее очевидно, если либо время, либо пространство считать непрерывными; ведь тогда, принимая время за непрерывное, движение должно выйти из времени, если оно должно быть дискретным по отношению ко времени, а принимая пространство за непрерывное, движение должно выйти из пространства, если оно должно быть дискретным по отношению к пространству. Таким образом, представление о движении как о дискретном не только противоречит обычно принятому представлению о нем, основанному на опыте, а именно, что оно является прохождением части пространства за часть времени, но и само по себе не может быть разумным представлением, поскольку мы не знаем среды или сред, в которые можно было бы представить движение как прыжок, когда предполагается, что оно состоит в прыжке либо из пространства, либо из времени, и в них снова. Следовательно, у нас нет другого выхода, кроме как представить движение как в равной степени непрерывное с теми частями пространства и времени, которые являются необходимыми элементами его описания; то есть как непрерывное в том смысле, что оно не оставляет ни одной части пространства не пройденной и ни одной части времени незанятой.

Отступления от общего факта или закона непрерывности, подобные тем, которые я только что попытался подвергнуть критике, возникают, по-видимому, из-за попыток сформулировать концепции числа, времени, пространства и движения, которые могут соответствовать целям или, возможно, служить конечными основаниями наук исчисления, геометрии и физики, не прибегая к субъективному анализу опыта. Эти реальности воспринимаются по отдельности, каждая из них является объектом отдельной и независимой концепции. Но этот метод препятствует восприятию того факта, что, хотя непрерывность и делимость подразумевают и предполагают друг друга, тем не менее непрерывность и ее идеальное деление не находятся в одном ряду с точки зрения их основы в опыте. Непрерывность – это представление элементарного факта, данного во всех чувственных восприятиях. Ее идеальные деления вводятся актами целенаправленного внимания со стороны воспринимающего. Идеальная делимость, но не какое-либо конкретное идеальное деление, задействована в каждом представленном или репрезентируемом континууме. Поэтому единственными неделимыми в числе, времени, пространстве и движении являются деления в континуумах, а значит, и между ними, причем сами деления не являются континуумами по сравнению с тем, что они делят. Отсюда следует, что при введении идеальных делений в любой конечный континуум между последним делением, которое мы вводим, и границей конечного континуума, в который мы его вводим, всегда существует непрерывный остаток, который всегда больше 0 и всегда способен к дальнейшему идеальному делению. Идеальные деления, которые мы вводим, происходят per saltum; но это предполагает заданную непрерывность того, в который они вводятся, до их введения. Минутные континуумы между этими идеальными делениями, которые можно делать сколь угодно малыми (и сколь угодно многочисленными), – это так называемые инфинитезимальные, или «бесконечно малые», величины Исчисления. Мы мысленно проходим над ними per saltum, но они не могут быть пройдены per saltum никаким движением, которое мыслится как реальное. Движение, чтобы быть реальным, должно быть непрерывным. Ошибочно приписывать природе те деления, которые мы вводим в явления природы, чтобы вычислить или измерить их.

Бросив ретроспективный взгляд на сказанное, мы видим, что наука чистого вычисления имеет своим первым или непосредственным объектом материю, чистые или абстрактные Числа и их отношения между собой, рассматриваемые так, как если бы они были реальностью, обладающей свойствами, вступающей в отношения и подчиняющейся собственным законам; несмотря на то, что они являются созданиями актов счета, которые являются первыми шагами в науке вычисления, и что их свойства, отношения и законы могут быть открыты только путем продолжения и развития тех самых актов счета и вычисления, посредством которых они первоначально были образованы из восприятия мыслью. Числа, рассматриваемые таким образом, а именно как отделимые от действий, которые их производят, являются первым или непосредственным объектом науки чистого вычисления.

С другой стороны, как существа мысли, в счете и вычислении, – что является для них характером в равной степени существенным, – все числа идеальны и реальны; то есть, говоря метафизическим языком, они являются объективными мыслями, даже когда они берутся как сами объекты, мыслимые в рефлектирующем сознании. Но хотя все числа и реальны, и идеальны в этом смысле, они, тем не менее, подвержены несколько схожему различию, которое ни в коем случае нельзя путать с этим, я имею в виду различие между реальными, или рациональными, и воображаемыми, или иррациональными, в зависимости от того, являются они или не являются строго соизмеримыми с единством, и поэтому могут или не могут быть точно выражены конечным числом фигур. Такие иррациональные числа также называются сурдами, например, квадратный корень из 2, или √2. В этом классе мнимых или иррациональных чисел можно выделить и те, которые просто невозможны и нереальны из-за противоречия, заложенного в обычных терминах, используемых для их описания, как, например, в идее четного корня из отрицательной величины, √– 1.

Таким образом, во всем своем диапазоне мы видим, что чистое вычисление обеспечивает свой собственный непосредственный объект-вещество и не зависит ни от какого другого объекта-вещества. Нельзя сказать, что оно в большей степени применяется к своему собственному объекту, чем производит его. Он исследует, производя, и производит, исследуя. Его законы и законы его объекта-вещества, говоря в целом, одинаковы. Но кроме того, она применима к посторонней для себя объектной материи, возникающей из совершенно независимого источника в чувственном восприятии; поэтому она применима к ней в строгом смысле этого слова, которое подразумевает неоднородность. И к ней она применима, поскольку вовлечена в методы, то есть в науки, с помощью которых исследуются законы этой посторонней объектной материи. Эта вторичная материя чистого исчисления подпадает под два основных раздела, один из которых ближе к чистому числу по абстрактности, чем другой, но оба они чисто количественные по характеру, и оба они связаны с ним и друг с другом центральным или шрифтовым понятием Равенства, которое является общим для всех. Первая из них состоит в фигурах пространства, направлениях и скоростях движения, которые являются предметом чистой Геометрии и Кинематики; вторая – в объемах, массах, силах и энергиях, проявляемых физической Материей, насколько они могут быть обработаны количественно и сделаны предметом любой точной физической науки.

Основа для применения чистого вычисления к пространственным и физическим величинам закладывается путем взятия некоторой непрерывной части любой такой величины, выражения ее числом и использования этого числа в качестве единицы измерения; например, в пространственной длине, если мы берем фут в качестве единицы измерения и называем его 1, то 1, умноженная на 3, представляет собой длину, называемую ярдом, а разделенная на 12 – дюймом. Окружность круга также делится на 360 равных дуг, называемых градусами, каждая из которых делится на 60 равных минут, а каждая из них – на 60 равных секунд, причем каждая равная дуга образует равный угол в центре круга. Все это, выраженное числами, может быть обработано численно, то есть с помощью процессов чистого вычисления, результаты которых должны быть переведены в конце процессов в определения пространства, те же самые, что и те, для которых числа были вначале заменены. Это точно так же, как если бы вычисление было языком со значением, только это вычисление (в отличие от звуков языка, взятых самих по себе) имеет свои собственные значения, а именно числовые значения, помимо пространственных (или физических) значений, для выражения которых оно используется ex institute.

Начиная с таких простых начал, как эти, все мыслимые конфигурации пространства, направления, движения, скорости и их изменения могут быть введены в диапазон чистого вычисления. Вся аналитическая геометрия состоит в применении ее к посторонней предметной материи пространственных фигур. И благодаря чрезвычайной общности ее символов и методов в сочетании с минимальностью того, что мы можем назвать ее прожектором – исчисления, мы можем быть уверены, что ни одна часть пространства, времени или возможного движения не должна быть оставлена непредставленной в ее результатах.

Из этого, однако, отнюдь не следует, что все результаты в форме алгебраических или символических выражений, к которым приходит чистое исчисление или которые выводятся из его процессов в ходе такого применения, должны иметь корреляты, представленные ими в объектной материи, к которой применяется исчисление. По сравнению с общими понятиями и процессами чистого вычисления, объект-материя, который мы знаем как поддающееся измерению пространство, время и движение, – это данный и конкретный объект-материя. Ее явления, хотя и весьма абстрактные, не допускают обобщения так же, как это делает простое арифметическое число, благодаря приему обращения с неизвестными числами, как если бы они были известны, и несуществующими или отрицательными числами, как если бы они существовали для целей вычисления. Следовательно, никогда нельзя избежать вопроса, могут ли символические выражения, к которым мы приходим или которые участвуют в вычислении, быть или не быть истолкованы как указывающие или представляющие какие-либо позитивно мыслимые особенности или отношения в данном объекте-материи; ибо этот объект-материя имеет свою собственную природу и законы, полностью независимые от тех процессов чистого вычисления, которые действительно используются для их открытия, но сами по себе не ограничиваются этим открытием и никоим образом не являются творческими в отношении природы и законов, которые они используются для открытия. Акты целенаправленного внимания к временному потоку сознания порождают число и исчисление, но ни число, ни исчисление не порождают восприятия пространственной протяженности или того движения, которое ее предполагает. Именно из актов целенаправленного внимания к восприятию пространственной протяженности и движения возникает Геометрия; и именно этим объектом-материей определяется ее цель и определение как науки. Каким бы необходимым ни было чистое вычисление для должного изучения пространственных явлений, оно никогда не сможет изменить ни их природу, вытекающую из пространственного протяжения, ни природу самого пространственного протяжения как непосредственной данности опыта. Эти замечания еще более очевидно применимы к тому более конкретному объекту-веществу чистого вычисления, который состоит из физических масс, сил и энергий Они также, включая их интенсивности, направления и изменения, вводятся в область вычисления теми же средствами, а именно, путем принятия единиц измерения, выраженных численно. При условии, как и прежде, что они рассматриваются исключительно как существующие и происходящие во времени и пространстве, то есть как величины, абстрагируясь от их реальных условий и последствий, отличных от тех, которые могут быть выражены как величины самих сил. Качественные изменения, такие как те, которые происходят вследствие химического сродства между веществами, хотя они могут быть результатом количественных изменений, таких как изменения конфигурации, в веществах, которые объединяются, таким образом, как качественные, исключены даже из этого вторичного объекта-материи чистого вычисления; хотя они также таким образом ipso facto классифицируются как принадлежащие к третьему и еще более отдаленному объекту-материи его, я имею в виду в силу их зависимости от чисто количественных физических изменений, относящихся ко второй главе, насколько законы этих изменений могут быть количественно установлены.

Таким образом, чистое исчисление можно рассматривать как априорную количественную обработку явлений всего физического мира, – априорную, конечно, не в трансцендентальном смысле этого слова, но в том смысле, что она основана на необходимости (вследствие того, что время и пространство являются нераздельными элементами в конечных данных опыта) представлять их как явления, существующие во времени и пространстве и занимающие их, и ограничиваться обработкой их только в этом характере. Она разрабатывает, с одной стороны, мыслимые возможности, с другой – неизбежные необходимости, связанные с этими явлениями. Таким образом, в этих пределах он может как предложить физику, химику или биологу новые гипотезы, так и проверить уже предложенные гипотезы, проработав количественные последствия, которые они влекут за собой.

Однако чистое вычисление, хотя и основано на делениях только времени (а не пространства), не является наукой о времени в том смысле, в каком чистая геометрия может быть названа наукой о пространстве, а именно как наука о его конфигурациях, или о фигурном пространстве, или о фигурном пространстве и его границах, точках, линиях и поверхностях, вместе взятых. Длины времени не являются объектом вычисления в том же непосредственном смысле, в каком протяженности и фигуры являются объектом геометрии, хотя вычисление, конечно, может быть применено для их определения. Длины времени не являются содержанием чисел, как пространственные протяженности являются содержанием пространственных границ. Числа возникают первоначально из последовательных актов деления временного континуума, но равенство всех единичных числовых единиц само по себе не вытекает из какого-либо воспринимаемого равенства в нескольких интервалах между этими последовательными актами деления. Длительность этих интервалов имеет не больше отношения к числовому значению единиц, чем длительность времени, психологически необходимого для выполнения каждого акта деления в мысли. Никакой единицы измерения времени таким образом не создается. Поэтому то обстоятельство, что время является единственным континуумом, необходимым для совершения актов счета, то есть для создания единиц, не делает эти акты мерами временной длины и не возводит измерение абстрактного времени в единственную или даже главную цель вычисления. Геометрия – это наука об измерении пространственной протяженности, делимой или делителями; исчисление – это наука о самом делении, каким бы ни был континуум, который оно измеряет.

Акты счета являются первым условием или ингредиентом установления единиц измерения; а установление единицы или фиксированного стандарта, всегда равного самому себе, в свою очередь, является первым и необходимым шагом в измерении явлений любого рода. Таким образом, вычисление во всем своем развитии непосредственно применимо к делениям или границам пространства, а именно, путем разбиения их на единицы равной длины, или части, измеряемые друг другом. Следовательно, фигуры в пространстве могут быть выражены числами; единицы длины, ширины и объема, будучи однажды взятыми. Измерение длины времени с помощью постоянных и общеприменимых единиц зависит от измерения длины пространства как одного из условий и поэтому возможно лишь косвенно.¹⁷

Таким образом, время, хотя (или скорее потому, что) оно является наиболее фундаментальным условием науки вообще, по своему характеру как единственный необходимый формальный элемент сознания, избегает быть предметом какой-либо специальной науки о нем. Ибо для того, чтобы вообще быть понятым как объект, оно должно быть взято вместе с некоторыми определениями или различиями, принадлежащими к его неотделимому содержанию, или со-элементу, ощущению, поскольку время в чистом виде есть абстракция, неспособная быть даже приведенной в сознание без некоторой ссылки на то, от чего она абстрагирована мыслью. Более того, чтобы его рассматривать как объект особой отрасли науки, посвященной только ему, эти определения могут быть взяты только из того неотъемлемого соэлемента чувства, который является исключительно его собственным, то есть из чувств, которые занимают только время, а не время и пространство вместе. Но эти ощущения сами по себе, как мы видели, не являются постоянной единицей, применимой для измерения последовательных временных интервалов.

В этом отношении время отличается от пространства, неотъемлемое содержание или сопутствующий элемент которого, я имею в виду элемент зрительных и осязательных ощущений, богат различиями направления и величины, которые могут быть приведены в сопоставление и измерены один против другого. И эти пространственные измерения на самом деле являются конечными средствами, которыми мы располагаем для измерения временных интервалов, хотя и только косвенно. В идеале, конечно, мы можем представить себе время, разделенное на точно равные друг другу длительности, и сделать из этого идеальный стандарт, к которому, по идее, должны приближаться фактические косвенные измерения. И это фактически то самое, что делает Ньютон, когда говорит об «абсолютном времени», что оно «течет равномерно», ибо это эквивалентно представлению о нем, разделенном на единицы равной продолжительности. В этой концепции «абсолютного времени» наука о времени, можно сказать, одновременно и начинается, и заканчивается. Как доктрина она не существует. Однако на практике ее место занимает наука о делениях времени, то есть исчисление, или наука о чистом числе. Чистое исчисление и чистая геометрия, основанные соответственно на двух формальных элементах всего сознания – длительности времени и протяженности пространства, – это две науки, которые стоят у истоков всех позитивных и точных наук. Из вышеизложенного рассказа о применимости абстрактного или чистого числа к измерению конкретных содержаний или частей того конкретного временного потока сознания, из которого, благодаря вниманию и абстракции, оно возникает, мы видим не только происхождение концепции количества в целом, но и происхождение двух видов или классов, на которые количество обычно рассматривается как делимое, а именно: (1) непрерывное, (2) дискретное количество. Число – это дискретное количество в смысле представления результата идеального деления непрерывного количества на множество частей, или меньших континуумов, хотя следует помнить, что только путем деления первоначально нерасчлененный континуум становится или может мыслиться как количество вообще. Число – это название одной или нескольких частей, возникающих в результате такого деления. Если рассматривать числа как состоящие из одного или нескольких единиц, а непрерывные величины сводить к измерению путем деления их на единичные континуумы, то фактическое измерение непрерывной величины можно рассматривать как ответ на вопрос Сколько, а фактическое измерение дискретной величины – как ответ на вопрос Сколько? И применение последнего к первому, когда оно может быть осуществлено, всегда говорит нам, сколько единиц непрерывной величины можно найти в континууме, который измеряется. Таким образом, непрерывное и дискретное количество – это, строго говоря, не два отдельных класса количества, а два различных, хотя и неразделимых способа, с помощью которых количество может рассматриваться. Без непрерывности никакое количество не могло бы существовать; без дискретности оно не могло бы быть признано количеством. Сама идея количества возникает из целенаправленного введения идеального деления в данный репрезентативный континуум.