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7.12 EJEMPLO 11. EXCITACIóN ARBITRARIA 3
Crear un modelo de Simulink para implementar la visualización de desplazamientos, velocidades y aceleraciones de un sistema de 1 grado de libertad gobernado por la ecuación diferencial de movimiento 7.11.
La fuerzaf(t) se muestra en la figura 7.33.
Figura 7.33. Gráfica Tiempo vs Fuerza f(t) del Ejemplo 11
Considerar los parámetros de la tabla 7.11 para la simulación de este modelo.
Tabla 7.11
Configuración de parámetros de la simulación del Ejemplo 11
Solución. El diagrama de bloques del modelo se muestra en la figura 7.34.
Figura 7.34. Diagrama de bloques del Ejemplo 11
Hacer doble clic en el bloque Signal Builder, en la ventana que se abre ir a las opciones Signal/New/Custom… y establecer los valores [0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1] en el parámetro Time values y los valores [0 5 8.8 10 8.8 5 0 0 0 0 0] en el parámetro Y values. Se tiene por resultado la figura 7.35.
Figura 7.35. Ventana Signal Builder del Ejemplo 11
Establecer el valor de [1] en el parámetro Numerator coefficients y las constantes [m c k] en el parámetro Denominator coefficients del bloque Transfer Fcn; el valor de 3 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Scope; los términos x1, v1, a1 y f1 en los parámetros File name de los bloques To File. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto.
Adicionalmente, ejecutar el código fuente mostrado en el siguiente script, con la finalidad de tener los valores de las variables m, c y k almacenados en el Workspace de Matlab.
1 %% Ingreso de datos
2 clc; clear all; close all; % Funciones de limpieza
3 m = 0.2533; % Masa
4 c = 0.1592; % Coeficiente de amortiguamiento
5 k = 10; % Rigidez
Resultados
• Un simulador visual de los desplazamientos ocasionados en un pórtico de un nivel en tiempo real, similar al del ejemplo 1: excitación sinusoidal, el cual se obtendrá al ejecutar el código fuente mostrado en el siguiente script:
1 %% Visualización interactiva de desplazamientos
2 clc; clear all; close all; % Funciones de limpieza
3 load x1
4 figure ( ' Name ' , ' Visualización interactiva de desplazamientos ' ' NumberTitle ' , ' off ' , ' units ' , ' normalized ' , ' outerposition ' ,[0 0 1 1]);
5 set(gcf , ' Color ' , ' w ' )
6 set(gca , ' Color ' , ' w ' , ' Visible ' , ' off ' )
7 axis tight
8 x1 =15* x1 (2 ,:);
9 …
• La representación gráfica de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del sistema (figura 7.36); la cual se obtiene al hacer doble clic sobre el bloque Scope, implementado en el diagrama de bloques del modelo (figura 7.34).
Figura 7.36. Visualización gráfica de desplazamientos, velocidades del Ejemplo 11
7.13 EJEMPLO 12. EXCITACIÓN SÍSMICA
Crear un modelo de Simulink para implementar la visualización de desplazamientos, velocidades y aceleraciones de un sistema de 1 grado de libertad gobernado por la ecuación diferencial de movimiento 7.12.
La aceleración del suelo üg se muestra en la figura 7.37.
Figura 7.37. Registro de aceleración üg del Ejemplo 12
Considerar los parámetros de la tabla 7.12 para la simulación de este modelo.
Tabla 7.12
Configuración de parámetros de la simulación del Ejemplo 12
Solución. Realizar el ingreso de datos correspondiente al código fuente mostrado en el siguiente script, con la finalidad de tener los valores de las variables m, c y k y las matrices A, B, C y D almacenados en el Workspace de Matlab.
1 %% Ingreso de Datos y Cálculo de matrices A, B, C y D
2 clc; clear all; close all; % Funciones de limpieza
3 m = 21.63; % Masa
4 k = 23479.8223; % Rigidez
5 epsilon = 0.05; % Relación de amortiguamiento
6 % Cálculo de la matriz A
7 A=[0 1; -k/m -2* epsilon * sqrt (k/m)];
8 % Cálculo de la matriz B
9 B =[0; 0];
10 % Cálculo de la matriz C
11 C=[1 0; 0 1; -k/m -2* epsilon * sqrt (k/m)];
12 % Cálculo de la matriz D
13 D =[0; 0; 0];
El diagrama de bloques del modelo se muestra en la figura 7.38. Se establecen las constantes [t g] (cuyos valores se definen en el Workspace) en el parámetro Data del bloque From Workspace; el valor de 3 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Scope; los términos x1s, v1s, a1s y f1s en los parámetros File name de los bloques To File. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto.
Figura 7.38 Diagrama de bloques principal del Ejemplo 12
El diagrama de bloques del bloque Subsystem se muestra en la Figura 7.39. Se establecen las constantes A, B, C y D en los parámetros A, B, C, D y los valores [0.1 0] en el parámetro Initial conditions del bloque State-Space; el valor de 3 en el parámetro Number of Input Ports del bloque Demux. Los demás parámetros de los bloques quedan con los valores dados por defecto. Realizar las configuraciones de acuerdo a lo visualizado en el modelo de la figura 7.39.
Figura 7.39. Diagrama de bloques del bloque Subsystem del Ejemplo 12
Resultados:
• Un simulador visual de los desplazamientos ocasionados en un pórtico de un nivel en tiempo real, similar al del ejemplo 1: excitación sinusoidal, el cual se obtendrá al ejecutar el código fuente mostrado en el siguiente script:
1 %% Visualización interactiva de desplazamientos
2 clc; clear all; close all; % Funciones de limpieza
3 load x1
4 figure ( ' Name ' , ' Visualización interactiva de desplazamientos ' ' NumberTitle ' , ' off ' , ' units ' , ' normalized ' , ' outerposition ' ,[0 0 1 1]);
5 set(gcf , ' Color ' , ' w ' )
6 set(gca , ' Color ' , ' w ' , ' Visible ' , ' off ' )
7 axis tight
8 x1 = 15* x1 (2 ,:);
9 …
• La representación gráfica de los historiales de respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del sistema (figura 7.40), la cual se obtiene al hacer doble clic sobre el bloque Scope, implementado en el diagrama de bloques del modelo (figura 7.38).
Figura 7.40 Visualización gráfica de desplazamientos, velocidades y aceleraciones del Ejemplo 12
| Capítulo8 | Análisis lineal-elástico de modelos planos |
8.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se presenta la formulación general de los términos de la parte homogénea de la ecuación diferencial gobernante de un sistema lineal-elástico; con el método de superposición se logra identificar las fuerzas de inercia, amortiguamiento y elásticas en función de las componentes de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema, respectivamente. Así como también se presenta la formulación matricial para obtener las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez del sistema. Finalmente, se hace una breve introducción a modelos matemáticos simples para pórticos planos y la equivalencia del problema sísmico.
8.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Figura 8.1 Equivalencia de un sistema lineal.
En general, para realizar la formulación de la ecuación de movimiento de un sistema lineal (ecuación 8.1) es necesario identificar las fuerzas de inercia (fli), de amortiguamiento (fCi) y elásticas (fKi); las cuales contienen, respectivamente, las componentes de masa, amortiguamiento y rigidez, como se ilustra en la figura 8.1.
Lo primero que se debe realizar es definir los grados de libertad (desplazamientos y rotaciones de los nodos), para conocer posteriormente la composición de cada una de las fuerzas del sistema.
Un ejemplo clásico es el de un sistema aporticado de poca altura, en el cual se puede asumir que tanto las vigas como las columnas son axialmente rígidas. Bajo esta asunción se idealiza el sistema reduciendo los grados de libertad (figura 8.2).
Figura 8.2. Idealización de un sistema de 18 g.d.l a 9 g.d.l
8.2.1 Fuerzas elásticas
En sistemas lineales el método de superposición y el concepto de los coeficientes de influencia de rigidez, son los que establecen la relación entre las fuerzas externas elásticas (figura 8.3) con la matriz de rigidez de la estructura y los desplazamientos. Siendo, por el método de superposición, la representación de una fuerza elástica en un grado de libertad arbitrario i, la expresión de la ecuación 8.2:
Figura 8.3. Fuerzas elásticas del sistema
La representación matricial de este conjunto de fuerzas se muestra en la expresión 8.3
y su forma compacta en la expresión 8.4, donde k es la matriz de rigidez del sistema y u es el vector de desplazamientos.
Comúnmente, para obtener la matriz de rigidez de un sistema se utiliza el método de las rigideces (desplazamientos).
8.2.1.1 Ensamblaje de la matriz de rigidez de un pórtico plano
Los pasos para obtener la matriz de rigidez de un pórtico plano son los siguientes:
a. Primer paso
Identificar los grados de libertad del modelo estructural.
Figura 8.4. Posibles grados de libertad un mismo pórtico bidimensional
b. Segundo paso
Identificar las matrices de rigidez de los elementos viga y columna del modelo estructural, en coordenadas locales.
Figura 8.5. Viga de sección constante que no considera efectos de corte.
Figura 8.6. Viga de sección constante que no considera efectos de corte y es axialmente rígida.
Figura 8.7. Columna, sin considerar efectos de corte
Figura 8.8. Columna, sin considerar efectos de corte (axialmente rígida)
c. Tercer paso
Utilizar las matrices de transformación, con la finalidad de pasar de coordenadas locales a coordenadas globales las matrices de rigidez y los vectores de fuerzas de los elementos del modelo estructural, como se ilustra en la Figura 8.9.
Figura 8.9. Sistema de coordenadas locales y globales
La matriz de transformación y su transpuesta se presentan en las expresiones 8.9 y 8.10, respectivamente;
donde:
La matriz de rigidez de los elementos de la estructura en coordenadas globales está dada por la expresión 8.12;
donde:
k: matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales
k*: matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales
T: matriz de transformación
T: transpuesta de la matriz de transformación
Procediendo de esta manera se tiene que la matriz de rigidez de una viga en coordenadas globales es:
y la matriz de rigidez de una columna en coordenadas globales es:
Con fines ilustrativos, al considerar los 6 grados de libertad por elemento, en términos generales, la matriz de rigidez de cada elemento de un sistema aporticado estará dada por la expresión 8.15.
d. Cuarto paso
Al ensamblar la matriz de rigidez del modelo estructural en coordenadas globales se suma el aporte de los términos de rigidez de cada elemento en su respectivo grado de libertad, como se ilustra en la figura 8.10.
Figura 8.10. Procedimiento de ensamblaje de la matriz de rigidez
8.2.1.2 Condensación estática de la matriz de rigidez
Realizar este procedimiento permite reducir el número de incógnitas o grados de libertad de una estructura, además de obtener la matriz de rigidez lateral del sistema.
Para obtener la matriz de rigidez lateral Lk se debe considerar los grados de libertad laterales como principales, ya que los desplazamientos horizontales son mucho mayores que las rotaciones en los nudos ante una aceleración en la base; siendo los grados de libertad restantes considerados como secundarios. Por esta razón, la rigidez lateral del sistema se presenta solo en función de los grados de libertad laterales.
Siendo la matriz de rigidez lateral KL:
Figura 8.11. Matriz de rigidez de rigidez del sistema, dividida entre los grados de libertad principales y secundarios
8.2.2 Fuerzas amortiguadoras
Con el supuesto de un amortiguamiento viscoso equivalente se establece la relación entre las fuerzas externas amortiguadoras (figura 8.12) con la matriz de amortiguamiento de la estructura y las velocidades. Siendo, por el método de superposición, la representación de una fuerza amortiguadora en un grado de libertad arbitrario i, la expresión de la ecuación 8.17:
Figura 8.12. Fuerzas amortiguadoras del sistema
La representación matricial de este conjunto de fuerzas se muestra en la expresión 8.18:
y su forma compacta en la expresión 8.19, donde c es la matriz de amortiguamiento del sistema y 
es el vector de velocidades.
Comúnmente, para la elaboración de la matriz de amortiguamiento de un sistema se utilizan fracciones de amortiguamiento como las mostradas en la tabla 8.1; debido a que es muy complejo considerar todos los factores que pueden intervenir en el mecanismo de amortiguamiento de un sistema, siendo bastante propicio considerar datos de laboratorio.
8.2.2.1 Matriz de amortiguamiento clásico
El amortiguamiento clásico se considerará en sistemas que probablemente tengan mecanismos de amortiguamiento semejantes en toda la longitud de la estructura. Para la construcción de la matriz de amortiguamiento clásico se pueden tomar como base las fracciones de amortiguamiento modal; las cuales son consideradas en el método de amortiguamiento de Rayleigh y en el método de amortiguamiento de Caughey.
Las fracciones de amortiguamiento dadas en la tabla 8.1 son factibles en caso de un análisis estructural lineal-elástico con amortiguamiento clásico.
Tabla 8.1 Valores de amortiguamiento recomendados
| Nivel de esfuerzo | Tipo y condición de la estructura | Fracción de amortiguamiento |
| Esfuerzo de trabajo, menor de aproximadamente la mitad del punto de cedencia | Acero con conexiones soldadas, concreto presforzado, concreto debidamente reforzado (solo agrietamiento leve) | 2-3 |
| Concreto reforzado con grietas considerables | 3-5 | |
| Acero con conexiones atornilladas o remachadas, estructuras de madera con uniones clavadas o atornilladas 2-3 3-5 | 5-7 | |
| En el punto de cedencia o justo debajo de este | Acero con conexiones soldadas, concreto presforzado (sin pérdida completa en el presfuerzo | 5-7 |
| Concreto presforzado con pérdida total del presfuerzo | 7-10 | |
| Concreto reforzado | 7-10 | |
| Acero con conexiones atornilladas o, remachadas estructuras de madera con uniones atornilladas | 10-15 | |
| Estructuras de madera con uniones clavadas | 12-25 |
Fuente: Newmark y. Hall, 1982.
8.2.2.2 Amortiguamiento de Rayleigh
Este método está basado en la ecuación 8.20, lo cual indica que el amortiguamiento del sistema consta de dos relaciones: amortiguamiento proporcional a la masa (c = a0 m) y amortiguamiento proporcional a la rigidez (c = a1 k)
Figura 8.13. Amortigamiento proporcional a la masa y a la rigidez, respectivamente.
La expresión de la fracción de amortiguamiento modal del término proporcional a la masa, en la ecuación de Rayleigh, es
lo cual evidencia, para este caso, que la fracción de amortiguamiento es inversamente proporcional a la frecuencia natural.
Para el término proporcional a la rigidez, en la ecuación de Rayleigh, se tiene por fracción de amortiguamiento modal la expresión:
lo cual muestra, para este caso, que la fracción de amortiguamiento es linealmente proporcional a la frecuencia natural.
La fusión de dichas proporcionalidades obtenidas entre el amortiguamiento y la frecuencia natural son las que establecen el amortiguamiento de Rayleigh. En conclusión, el factor de amortiguamiento del n-ésimo modo del sistema estará dado por la ecuación:
Teniendo las fracciones de amortiguamiento de dos modos del sistema se puede plantear la siguiente expresión matricial:
de la cual, al asumir que dichas fracciones de amortiguamiento son iguales, lo cual es bastante probable, se deduce que los coeficientes a0 y a1 tienen la composición mostrada en las siguientes expresiones:
Suele ser conveniente usar este método cuando se consideran fracciones de amortiguamiento de solo dos modos, ya que genera una matriz de amortiguamiento banda, lo cual hace más sencillo el procedimiento de desarrollo de la ecuación de equilibrio del sistema.
8.2.2.3 Amortiguamiento de Caughey
Este método es propicio para la creación de la matriz de amortiguamiento clásico considerando fracciones de amortiguamiento en más de dos modos, el cual es una serie que presenta la siguiente formulación:
donde:
N = número de grados de libertad del sistema
at = constantes
m = matriz de masa
k = matriz de rigidez
Si se usaran las fracciones de amortiguamiento de cuatro modos del sistema, entonces la matriz de amortiguamiento estaría compuesta por los siguientes términos:
Para el modo n-ésimo, la fracción de amortiguamiento sería:
donde:
ωn = frecuencia natural del sistema
El condicionamiento de la matriz de amortiguamiento debe hacerse de tal manera que los modos involucrados en la respuesta tengan fracciones de amortiguamiento modal similares al valor deseado ζ del sistema. Suele ser conveniente utilizar este procedimiento cuando se considerarán tres o más fracciones de amortiguamiento modales.
8.2.3 Fuerzas de inercia
Se establece la relación entre las fuerzas externas inerciales (figura 8.14) con la matriz de masas de la estructura y las aceleraciones. Es, por el método de superposición, la representación de una fuerza inercial en un grado de libertad arbitrario i, la expresión de la ecuación 8.29:
Figura 8.14. Fuerzas inerciales del sistema, con masa concentrada en nudos
La representación matricial de este conjunto de fuerzas se muestra en la expresión 8.30:
y su forma compacta en la expresión 8.31, donde m es la matriz de masas del sistema y ü es el vector de aceleraciones.
8.2.3.1 Fundamentos básicos para la construcción de la matriz de masas
La construcción de la matriz de masas es pieza fundamental para obtener posteriormente frecuencias naturales, modos de forma, para generar la matriz de amortiguamiento, entre otros. Dicha construcción depende del modelo matemático del sistema por considerar, en otras palabras, si el análisis será bidimensional o tridimensional.
Por ejemplo: para un sistema bidimensional aporticado de 3 niveles la matriz de masas será una matriz diagonal, como la que se presenta en la ecuación 8.32.
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