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4.1 INTRODUCCIÓN
Se conoce como sistemas de un grado de libertad a los sistemas estructurales cuyo desplazamiento depende de tan solo una coordenada. Son sistemas simples que constan de una masa concentrada, una componente de rigidez y, en la mayo-ría de ocasiones, otra de amortiguamiento.
Entre los sistemas típicos que son representados como sistemas de un grado de libertad se tienen:
Figura 4.1. Pérgola
Figura 4.2. Sistema masa-resorte-amortiguador
Figura 4.3. Tanque elevado
Figura 4.4. Pórtico
4.2 Sistema lineal-elástico
La relación lineal-elástico de un sistema está dada por la siguiente igualdad:
en la cual se asume que la deformación u es directamente proporcional a la fuerza elástica fK, originando como grafico una línea recta y siendo k la componente de rigidez del sistema.
Figura 4.5. Relación lineal fuerza-desplazamiento
Bajo esta asunción se puede presentar de manera directa, considerando los conceptos de la mecánica de los materiales, los coeficientes de rigidez k de los sistemas.
Por ejemplo, en el caso de un pórtico con apoyos empotrados, los coeficientes numéricos de las expresiones de la rigidez lateral del pórtico dependerán de la rigidez a la flexión de las vigas. Si se tuvieran vigas con una rigidez a la flexión de valor infinito (figura 4.6),
Figura 4.6. Pórtico bidimensional (Rigidez a la flexión de la viga EIviga= ∞ )
entonces el k del pórtico estará dado por la expresión 4.2, donde E es el módulo de elasticidad del material, Ic es el momento de inercia de la columna y h es la altura de las columnas.
Si se consideran vigas con una rigidez a la flexión de valor nulo (figura 4.7),
Figura 4.7. Pórtico bidimensional (rigidez a la flexión de la viga EIviga=0
entonces el k del pórtico estará dado por la expresión 4.3:
4.3 Amortiguamiento del sistema
Todo sistema presenta un mecanismo de amortiguamiento con el cual logra obtener el estado de reposo después de haber sido sometido a una fuerza de excitación que le generó algún desplazamiento.
En concordancia con los sistemas lineales-elásticos, se utiliza un amortiguamiento viscoso equivalente, el cual genera una relación de proporcionalidad li-neal entre la velocidad del sistema 
y la fuerza amortiguadora fC; simplifican-do, a la vez, el análisis matemático.
Figura 4.8. Relación lineal fuerza-velocidad
4.4 Ecuación de equilibrio dinámico del sistema
La ecuación de equilibrio dinámico del sistema se obtiene al realizar el diagrama de cuerpo libre del sistema de 1 gdl y considerando la segunda ley de Newton (fuerzaresultante = ∑F mü) como se presenta en la siguiente imagen:
Figura 4.9. Diagrama de cuerpo libre (segunda ley de Newton)
donde la sumatoria de fuerzas del sistema es igual a la masa del sistema por la aceleración del sistema:
Una concepción más genérica se obtiene mediante el principio de D’Alembert, el cual plantea que la masa genera fuerzas de inercia, consecuentemente es posible establecer un estado de equilibrio en cada instante de tiempo del sistema considerando las fuerzas de inercia.
Figura 4.10. Diagrama de cuerpo libre (principio de D' Alembert)
Dicha ecuación de equilibrio dinámico representa, por ende, la equivalencia de la siguiente figura:
Figura 4.11. Equivalencia de fuezas aplicadas (componentes) al sistema
4.5 Sistema con excitación sísmica
Cuando se considera la excitación sísmica en la base del sistema se genera un desplazamiento total ut(t) cuya composición es la sumatoria del desplazamiento relativo u(t) de la masa con respecto al suelo y del desplazamiento del suelo originado por la excitación sísmica ug(t).
Figura 4.12. Diagrama de cuerpo libre (Excitación sísmica en la base)
Al aplicar el principio de D’Alembert en el diagrama de cuerpo libre del sistema se obtiene casi la misma ecuación de equilibrio dinámico del sistema sometido a una fuerza aplicada en la dirección del desplazamiento; siendo dicha ecuación:
puesto que:
entonces; la ecuación de equilibrio dinámico del sistema con una excitación en la base, es la siguiente:
4.6 Métodos de solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema
La solución de la ecuación de equilibrio dinámico del sistema obtiene por resultados: desplazamientos, velocidades y aceleraciones; que, dependiendo de la fuerzade excitación del sistema, podrán ser valores no solo relativos sino también absolutos. Una vez obtenidos estos resultados se pueden hallar momentos flectores, fuerzas cortantes y axiales, así como también los esfuerzos internos del sistema.
Para llegar a los resultados habrá que elegir un procedimiento que nos permita solucionar la ecuación de equilibrio dinámico del sistema; entre estos procedimientos se encuentran:
• El procedimiento general del desarrollo de la ecuación diferencial de movimiento, la cual es lineal y de segundo orden; cuenta con una solución complementaria y una solución parcial.
• La integral de Duhamel se puede utilizar también para desarrollar esta ecuación diferencial lineal. Esta integral se basa en la idea de representar una fuerza aplicada a un sistema como una secuencia infinitesimal de impulsos cortos.
• El método del dominio de la frecuencia mediante el uso de la transformada de Fourier o la transformada de Laplace.
• Los métodos numéricos, los cuales realizan la integración de esta ecuación diferencial paso a paso en el tiempo. Entre los métodos más destacados se encuentran: interpolación de la excitación, diferencia central, Newmark, θ de Wilson, etcétera.
| Capítulo5 | Vibración libre y respuesta a las excitaciones |
5.1 INTRODUCCIÓN
Un sistema de 1 grado de libertad sometido inicialmente a un desplazamiento, sin considerar ninguna excitación externa, conseguirá su estado de vibración libre. Dicho sistema en movimiento solo se encuentra influenciado por condiciones iniciales dadas en el instante, cuando el tiempo es igual a 0.
Es posible que las fuerzas de excitación más comunes a las que puede estar somedito un sistema tengan similitud con excitaciones armónicas, periódicas o arbitrarias.
5.2 SISTEMA NO AMORTIGUADO EN VIBRACIÓN LIBRE
La ecuación de equilibrio dinámico (ecuación 5.1) de este sistema no tiene fuerza externa alguna (p(t) = 0) y la constante de amortiguamiento es igual a cero (c = 0); siendo su respectiva ecuación de movimiento representativa:
y dividiendo los términos de la ecuación entre la masa:
Considerando las condiciones iniciales de desplazamiento u(0) y velocidad ü(0) dentro de la solución de esta ecuación diferencial homogénea, se tiene:
donde ωn es la frecuencia circular natural del sistema, con unidades rad/s.
Los términos característicos del sistema no amortiguado en vibración libre son los siguientes:
• Frecuencia circular natural no amortiguada.
• Frecuencia cíclica natural.
• Periodo natural de vibración del sistema; tiempo requerido para un ciclo de vibración libre.
• Amplitud del movimiento.
5.3 SISTEMA AMORTIGUADO EN VIBRACIÓN LIBRE
La ecuación de equilibrio dinámico (ecuación 5.4) de este sistema no tiene fuerza externa alguna (p(t) = 0); y su respectiva ecuación de movimiento representativa es:
y dividiendo los términos de la ecuación entre la masa:
La solución de la ecuación diferencial homogénea 5.4 en términos generales es la siguiente:
donde las constantes c1 y c2 se obtendrán de las condiciones iniciales que se tengan.
Los términos característicos del sistema amortiguado en vibración libre son los siguientes:
• Frecuencia circular natural no amortiguada.
• Frecuencia circular natural amortiguada.
• Periodo natural de vibración del sistema; tiempo requerido para un ciclo de vibración libre; c es la constante de amortiguamiento.
• Amortiguamiento crítico.
5.4 RESPUESTA A EXCITACIONES ARMÓNICAS
La ecuación del equilibrio dinámico de un sistema con amortiguamiento, sometido a una fuerza armónica f(t), está dada por la ecuación 5.7;
donde f0 es la amplitud máxima de la fuerza y ω es la frecuencia de excitación de la fuerza.
La solución de la ecuación diferencial (ecuación 5.7) para sistemas de un grado de libertad presenta una parte complementaria y otra particular. La parte complementaria uc(t) es obtenida de considerar la vibración libre del sistema; conocida también como respuesta transitoria uT(t), ya que decae exponencialmente en el tiempo hasta volverse insignificante, está dada por la ecuación 5.8;
donde ζ es la fracción de amortiguamiento, ωn es la frecuencia natural circular del sistema, ω D es la frecuencia amortiguada.
La parte particular up(t) obtenida de la fuerza armónica aplicada al sistema; conocida también como respuesta estacionaria uE(t), ya que esta perdura en el tiempo, está dada por la ecuación 5.10;
donde las constantes C y D depende del tipo de fuerza armónica; para una fuerza armónica sinusoidal arbitraria f0 sen( ωt ) las constantes C y D se muestran en las expresiones 5.11a y 5.11b, respectivamente;
y para una fuerza armónica cosenoidal arbitraria f0 cost( ωt ) las constantes C y D se muestran en las expresiones 5.12a y 5.12b, respectivamente.
Siendo la solución completa la ecuación 5.13a y sus equivalentes las ecuaciones 5.13b y 5.13c.
La obtención de las constantes A y B en u(t) se calculan considerando las condiciones iniciales de desplazamiento u(0) y velocidad ü(0) en el instante de aplicación de la fuerza armónica.
5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES PERIÓDICAS
Figura 5.1. Representación de una fuerza periódica arbitraria
Una fuerza periódica es aquella que se repite indefinidamente en lapsos iguales de tiempo (figura 5.1); donde este lapso de tiempo viene a ser el periodo Tp de la función que representa a la fuerza periódica. Es bien conocido que una función periódica puede representarse en términos de la serie de Fourier.
La función f(t) es periódica si se cumple lo establecido en las expresiones 5.14a y 5.14b.
Usando la serie de Fourier, una función f(t) se representa mediante las ecuaciones 5.15a o 5.15b;
donde ωp es la frecuencia de la función periódica (expresión 5.16),
siendo las igualdades de las constantes a0, ai y bi, las mostradas en las expresiones 5.17a, 5.17b y 5.17c.
La ecuación del equilibrio dinámico de un sistema con amortiguamiento viscoso sometido a una fuerza periódica f(t) está dada por la ecuación 5.18.
La solución de la ecuación 5.18 presentada en términos de la serie de Fourier corresponde a la ecuación 5.19;
donde u0(t) (expresión 5.20a) es la respuesta media de la función periódica f(t), 
(expresión 5.20b) es la respuesta en estado estacionario de la fuerza armónica sinusoidal 
(expresión 5.20c) es la respuesta en estado estacionario de la fuerza armónica cosenoidal:
Siendo Ω , ωn y u(t) equivalentes a las expresiones mostradas 5.21a, 5.21b y 5.21c.
5.6 RESPUESTA A EXCITACIONES ARBITRARIAS
La integral de Duhamel suele ser usada para obtener la respuesta de sistemas lineales de 1 grado de libertad sometidos a excitaciones arbitrarias. Esta integral se basa en la idea de representar la fuerza aplicada al sistema como una secuencia infinitesimal de impulsos cortos.
Figura 5.2. Función de impulsos cortos
Siendo la respuesta del sistema la sumatoria de todas las respuestas de los impulsos cortos contenidos en el tiempo de duración de la excitación.
Con base en la figura 5.2, el impulso se define como el producto de una fuerza con su respectivo lapso de tiempo (expresión 5.22).
De la segunda ley de Newton, la cantidad de movimiento es el factor que relaciona una fuerza actuante f(t) sobre una masa m; definida por la expresión 5.23.
Una forma más representativa de la cantidad de movimiento se obtiene despejando el incremento de velocidad en el instante τ de la expresión 5.23, lo que da lugar a la ecuación 5.24.
La ecuación del equilibrio dinámico de un sistema en vibración libre no amortiguado (ecuación 5.25)
tiene como solución complementaria a la ecuación 5.26; a la cual considerándole valores iniciales (expresión 5.27) para cada impulso corto nuevo y sustituyéndolos en la solución complementaria (ecuación 5.26) se obtiene la ecuación 5.28.
Ahora, al integrar la ecuación 5.28 se obtiene el desplazamiento total u(t) el instante t debido a la acción de la fuerza continua f(t) (ecuación 5.29).
Si en el desplazamiento total se incluye el efecto de un desplazamiento inicial y una velocidad inicial, entonces se obtendrá la ecuación 5.30.
De manera similar, la ecuación del equilibrio dinámico de un sistema en vibración libre amortiguado (ecuación 5.31)
tiene como solución complementaria a la ecuación 5.32, donde ωD es la frecuencia amortiguada (expresión 5.33); a la cual considerándole valores iniciales para cada impulso corto nuevo y sustituyéndolos en la solución complementaria (ecuación 5.32) se obtiene la ecuación 5.34.
Siendo de interés la ecuación 5.34, en la cual para facilitar el cálculo numérico se introduce la identidad trigonométrica de la ecuación 5.35,
obteniendo la siguiente expresión del desplazamiento total en la ecuación 5.36;
donde:
Procediendo a obtener los valores de las integrales en función de constantes I, se proponen las ecuaciones 5.39, 5.40, 5.41 y 5.42;
donde:
En función de las integrales expuestas anteriormente las constantes AD(ti) y BD(ti)son determinadas por las expresiones de las ecuaciones 5.45 y 5.46.
Finalmente, el desplazamiento en el instante es el mostrado en la ecuación 5.47.
5.7 RESPUESTA SÍSMICA DE SISTEMAS LINEALES
La solución numérica de la ecuación de equilibrio dinámico del sistema sometido a una aceleración en la base (ecuación 5.48) se debe implementar mediante algún método numérico basado en la interpolación de la excitación (por ejemplo: integral de Duhamel), en expresiones de diferencias finitas de y ü o en la variación supuesta de la aceleración; para obtener resultados de cantidades tanto relativas (u(t);(t);ü(t)) como totales (ut(t);t(t);üt(t)).
La cantidad de desplazamiento u(t), de un sistema de 1 grado de libertad sometido a una aceleración en la base, se define considerando el periodo de vibración natural Tn y la fracción de amortiguamiento ζ del sistema.
Figura 5.3. Registros de desplazamientos de sistemas de igual amortiguamiento pero de periodos distintos
Los gráficos de espectros de respuesta proporcionan la información necesaria para obtener desde los desplazamientos máximos hasta las fuerzas internas del sistema.
5.8 ESPECTROS DE RESPUESTA
Se define espectro de respuesta al gráfico que contiene los valores máximos de las cantidades de respuesta de sistemas de un 1 g.d.l. en función del periodo de vibración natural Tn o de un parámetro relacionado con este, como la frecuencia circular ωn o cíclica fn.
5.8.1 Espectro de respuesta de desplazamiento
Se obtiene de los máximos desplazamientos u(t)máx alcanzados en sistemas de 1 grado de libertad para los diferentes periodos de vibración natural Tn, considerando una misma fracción de amortiguamiento ζ.
5.8.2 Espectro de respuesta de pseudo-velocidad
Parte de considerar una variable V (expresión 5.49), que tiene las mismas unidades de la velocidad pero que no es igual a la velocidad máxima relativa 
relacionada con la frecuencia natural circular ωn y con el máximo desplazamiento u(t)máx debido al sismo en sistemas de 1 grado de libertad.
Generando este espectro obtenemos la energía de deformación máxima almacenada en el sistema durante el sismo.
5.8.3 Espectro de respuesta de pseudo-aceleración
Parte de considerar una variable A (expresión 5.50), que tiene las mismas unidades de la aceleración pero que no es igual a la aceleración máxima relativa ü(t)máx, relacionada con la frecuencia natural circular 
y con el máximo desplazamiento u(t)máx debido al sismo en sistemas de 1 grado de libertad.
Al generar este espectro obtenemos los valores máximos de la fuerza estática equivalente fS; ya que se puede relacionar con el máximo cortante basal Vb-máx (expresión 5.51).
| Capítulo6 | Vibración libre de sistemas de un grado de libertad mediante el uso de Matlab y Simulink |
6.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se modelan y simulan pórticos bidimensionales de 1 nivel, bajo las consideraciones de modelos matemáticos de pórticos planos, usando diagramas de bloques con Simulink. Los desarrollos hacen una referencia específica a la vibración libre de sistemas sin amortiguamiento y con amortiguamiento.
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