Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Глава 5
Хороший математик против великого математика

Развенчивать мифы невероятно весело. Просто посмотрите на беззаботные взрывы смеха и улыбки до ушей ведущих телешоу «Разрушители легенд»^[34], и вы увидите: это карьера с высокой степенью удовлетворенности от работы.

Гораздо сложнее вносить поправки в мифы. Многие преобладающие в культуре взгляды на математику не то чтобы ошибочны – они просто искажены, неполны или гиперболизированы. Важны ли вычисления? Конечно же, но ими дело не ограничивается. Уделяет ли математика внимание деталям? Да, равно как вязание и паркур. Был ли Карл Гаусс прирожденным гением? Ну да, но красивые доказательства в основном находят не депрессивные немецкие перфекционисты^[35], а обычные люди вроде нас с вами.

Перед тем как завершить этот раздел, я дам еще одно, последнее объяснение того, как думают математики, – шанс провести ревизию и прокомментировать некоторые популярные мифы. Как большинство мифов, они опираются на правду. И, как большинство мифов, они пренебрегают сомнениями и пробуксовкой на пути к осмыслению, которое делает нас людьми – и математиками.

Пару лет назад, когда я жил в Англии, у меня был ученик по имени Кори. Он напоминал мне нежноголосого 12-летнего Бенджамина Франклина: молчаливый, проницательный, длинные рыжие волосы, круглые очки. Я легко мог представить, как он изобретает бифокальные линзы.

Кори вкладывал душу в каждое домашнее задание, находил ясные связи между темами и собирал свои тетрадки с такой тщательностью и терпением, что я всегда опасался, как бы он не опоздал на следующий урок. Неудивительно, что на первой большой контрольной в ноябре Кори расщелкал все задачи.

Вернее, все задачи, на которые у него хватило времени.

Прозвенел звонок, но последняя четверть бланка ответов все еще была пуста. Он набрал чуть больше 70 баллов из 100 и явился ко мне на следующий день с нахмуренным лбом.

– Сэр, – сказал он (поскольку Англия – поразительная страна, где даже к нескладным 29-летним учителям обращаются с большим почтением), – почему время на решение контрольных ограничено?

Я полагаю, что честность – наилучшая политическая линия.

– Не потому, что скорость очень важна. Мы просто хотим удостовериться, что школьники могут справиться с контрольной сами, без посторонней помощи.

– Так почему нельзя работать после звонка?

– Ну, если бы я держал весь класс в заложниках весь день, другие учителя могли бы взбелениться. Они хотят, чтобы вы знали физику и географию, потому что ностальгически привязаны к реальности.

Я осознал, что никогда не видел Кори в таком состоянии: зубы сжаты, глаза потускнели. Всем своим видом он излучал разочарование.

– Я мог решить больше задачек, – сказал он. – У меня просто кончилось время.

– Я знаю, – кивнул я.

Больше нечего было сказать.

Намеренно или нет, школьная математика посылает громкий, четкий сигнал: «Скорость – это всё». Контрольные нужно решать быстро. Чем раньше сдашь контрольную, тем быстрее приступишь к домашней работе. Вы только посмотрите, как заканчиваются уроки – по звонку, как раунд извращенной принудительной викторины по логарифмам. Математика превращается в гонку, успех становится синонимом скорости.

Все это в высшей степени глупо.

Скорость имеет одно баснословное преимущество: она экономит время. Но математика требует глубокого проникновения в суть поставленной задачи, подлинного понимания, элегантного подхода. Вы не достигнете ничего из вышеперечисленного, перемещаясь со скоростью 1000 км/ч. Вы лучше разберетесь в математике, если будете думать тщательно, а не на скорую руку, и вы лучше изучите ботанику, рассматривая каждую травинку, а не скача как одержимый через пшеничное поле.

Кори понимал это. Я уповаю только на то, что учителя наподобие меня^[36] не пытались, вопреки нашим лучшим намерениям, переубедить его.

Моя жена, математик-исследователь, однажды указала мне на курьезный паттерн математической жизни.

● Шаг 1. В воздухе повис сложный и захватывающий вопрос, важная гипотеза нуждается в доказательстве. Многие пытаются приручить зверя, но безуспешно.

● Шаг 2. В конце концов кто-нибудь находит длинное и запутанное доказательство, оно чрезвычайно глубокое, но за мыслью сложно уследить.

● Шаг 3. Со временем публикуются новые доказательства, они становятся все короче и проще, пока в конце концов самое первое доказательство не приобретает статус артефакта: неэффективная лампочка Эдисона выходит из употребления, уступая место более современным и изящным инженерным решениям.

Почему эта траектория настолько распространена?

Ну, в первый раз, когда вы находите истину, вы часто бредете колдобистым, извилистым путем. Вам делает честь то терпение, которое вы проявили, чтобы пережить все перипетии. Но требуется еще больше терпения, чтобы продолжить думать дальше. Только тогда вы сумеете отделить необходимые шаги от излишних, пойти напрямик и сократить нудное 120-страничное доказательство до цельного десятистраничного.

В 1920-е годы алгебра, вероятно, была самой скучной из всех отраслей математики^[37]. Заниматься алгеброй означало увязнуть в трясине мелочей, угодить в терновый куст громоздких технических формальностей, в дисциплину деталей.

И вот в 1921 году математик по имени Эмми Нётер^[38] опубликовала статью под названием «Теория идеалов в кольцевых областях». Забрезжила заря новой эпохи. Позже ее коллега сказал, что это рассвет «абстрактной алгебры как осознанной дисциплины». Нётер не была заинтересована в распутывании конкретных числовых схем. На самом деле она отложила саму идею числá в сторону. Для нее имели значение только симметрия и структура. «Она учила нас думать, пользуясь простыми и, соответственно, общими терминами, – вспоминал впоследствии один из ее коллег. – Поэтому она открыла путь к выявлению алгебраических закономерностей там, где раньше закономерности не были ясны».

Хорошая научная работа прежде всего требует сосредоточения на мельчайших деталях. Великая научная работа требует пренебрежения к деталям.

Для Нётер абстрагирование было не просто интеллектуальной привычкой, а стилем жизни. «Она часто перескакивала на родной немецкий, когда была поглощена какой-нибудь идеей, – рассказывал потом другой ее коллега^[39]. – Она любила пешие прогулки. Она приглашала учеников на променад в субботу днем и была настолько поглощена разговорами о математике, что забывала об автомобилях, и ученикам приходилось оберегать ее».

Великих математиков не волнуют тривиальности наподобие пешеходных переходов и интенсивности автомобильного потока. Они смотрят умственным взором на нечто большее.

В 1998 году Сильвия Серфати^[40] была поглощена вопросом: как определенные вихри эволюционируют со временем. Она даже написала об этом монографию («Вихри в магнитной модели Гинзбурга – Ландау»), но чувствовала, что зашла в тупик, решая эту головоломку.

«Много хороших исследований, – говорила она позже, – на самом деле начинаются с очень простых вещей, элементарных фактов, краеугольных кирпичиков… Прогресс в математике начинается с понимания системного случая, простейшего примера, в котором вы сталкиваетесь с той или иной задачей. И зачастую достаточно несложных вычислений; просто никому не приходило в голову рассмотреть задачу под таким углом».

Вы можете атаковать замок, ломясь в главные ворота и сражаясь с оборонительными силами лоб в лоб. Или вы можете попытаться лучше понять устройство замка – и, возможно, найти более легкий способ попасть внутрь.

Математик Александр Гротендик предложил другую метафору: представьте, что задача – это вкуснейший фундук, но лакомое ядрышко защищает скорлупа. Как расщелкать ее?

Есть два базовых подхода. Во-первых, взять молоток и бить по ореху, пока он не треснет. Результат достигнут, но этот метод грубый и требует усилий. Во-вторых, вы можете погрузить орех в воду.

По словам Гротендика, «время от времени вы трете орех, чтобы жидкость проникала внутрь, иначе вы потеряете время. Через недели и месяцы скорлупа становится мягче – и в один прекрасный день достаточно будет надавить рукой, чтобы скорлупа треснула, как очень спелое авокадо»^[41].

В течение двух десятилетий Серфати урывками продвигалась вперед, потому что вместе с коллегами позволила скорлупе впитывать воду. Наконец в 2015 году она нашла верный путь и ринулась в атаку. Задача была решена за несколько месяцев.

В каждой области математики есть свой cвятой Грааль. Для многих статистиков Граалем было гауссово корреляционное неравенство^[42].

«Я знаю людей, которые работали над ним 40 лет, – говорит Дональд Ричардс, специалист в сфере статистики из Пенсильвании. – Что касается меня, то я работал над ним 30 лет». Многие ученые предпринимали мужественные попытки – стостраничные вычисления, изощренные геометрические конструкции, новые гипотезы, основанные на математическом анализе и теории вероятностей, – но никто не добился Грааля. Некоторые усомнились и заподозрили, что этот Грааль – ложь и миф.

И вот в один прекрасный день в 2014 году Ричардс получил электронное письмо от немецкого пенсионера по имени Томас Ройен. В приложении был вордовский файл. Это выглядело странно: практически все математики набирают свои работы с помощью программы LaTeX. И зачем же бывший сотрудник фармацевтической компании обратился к ведущему исследователю в сфере статистики?

Выяснилось, что этот пенсионер доказал гауссово корреляционное неравенство. Он использовал аргументы и формулы, которые знакомы каждому выпускнику университета. Озарение пришло, когда он чистил зубы.

«Когда я увидел доказательство, – говорит Ричардс, – я сразу понял: оно верно». Ричардс чувствовал себя униженным и подавленным из-за того, что упустил такие простые аргументы, но, как бы то ни было, он был в восторге. «Помню, я подумал: какое счастье, что доказательство появилось еще при моей жизни! Честное слово, я был невероятно рад, когда его увидел».

История Ройена подтверждает поговорку моего любимого учителя физики^[43]: «Не стреляй из базуки по мухам». Для математиков изысканность заключается в самоограничении.

Ноябрь 2010-го, город Окленд, штат Калифорния. Мне 23 года. На утреннем уроке тригонометрии я на все лады пытаюсь объяснить ученикам формулу Муавра. Безуспешно.

– Ну хорошо, начнем сначала! – восклицаю я. Пот градом катится по моему лицу. – Вы хотите возвести это комплексное число в энную степень, не правда ли? Тогда вы можете прибавить к заданному углу 2πk/n, потому что вы вернетесь в ту же точку. Ясно?

– Нет! – завопил целый класс подростков, закрывая уши. – Прекратите! Вы делаете только хуже!

Ученица по имени Вианни^[44] подняла руку.

– Можно я попробую проверить, правильно ли я все понимаю?

– Пожалуйста… – вздохнул я. – Ни в чем себе не отказывай.

– Хорошо… Мы хотим поделить этот угол пополам, верно?

Подростки слегка поутихли.

– Если к углу мы прибавляем 360^о, мы просто возвращаемся на исходную позицию, верно? 90^о или 450^о, по сути дела, одно и то же, мы просто прошли целиком всю тригонометрическую окружность и вернулись в ту же точку.

Подростки выпрямили спины.

– А если мы делим угол пополам, то 360^о превращаются в 180^о, и мы оказываемся на противоположной стороне тригонометрической окружности.

Класс осветили фотовспышки интеллектуальных озарений, как будто над головами подростков засияли электрические лампочки.

– Поэтому, – подытожила Вианни, – мы получаем два решения. Правильно?

Я на мгновенье задумался. Подростки подались вперед.

– Да, – кивнул я. – Прекрасно сказано.

Аудитория разразилась аплодисментами. Вианни потонула в овациях. Даже я не мог не признать ее превосходство. Я пытался объяснить теорему с обратного конца, охватив все значения n одновременно, а она разобрала один-единственный частный случай, когда n = 2.

Величайшие математики в истории запомнились не только подвигами своей интеллектуальной мощи, но и тем, что проторили новые тропы и показали путь своим последователям. Евклид свел воедино все идеи предшественников и создал незаменимый учебник. Кантор дистиллировал свое новаторское понимание бесконечности до прозрачных и кристально ясных аргументов. Штейн стал наставником для нескольких поколений математиков, которые занимались гармоническим анализом, делясь советами со столь же великими учеными, как и он сам.

Нельзя сказать, что Вианни понимала формулу Муавра лучше, чем я. Просто она смогла ясно выразить свои знания, а мое понимание оставалось запертым в толстокостном черепе, внутри которого ворочался неуклюжий язык.

Математика, который не может объяснить свои идеи, постигнет та же участь, что и меня в тот бесславный ноябрьский день: оказаться на одиноком островке мысли без надежды донести свои идеи до иных берегов. Но если математик сможет поделиться своей истиной с окружающими, благодарная толпа будет чествовать его, словно героя.

Вряд ли вы слышали о Нго Бао Тяу, хотя, возможно, (А) в один прекрасный день от скуки вы решили заучить имена всех обладателей медали Филдса, самой престижной награды для молодых математиков, или (Б) вы из Вьетнама, где Тяу – национальная знаменитость и прославленный герой.

(Кстати, низкий поклон Вьетнаму за такой почет к математикам. Вероятно, в Америке ближе всего к такому статусу Уилл Хантинг, но это даже не самая известная у нас роль Мэтта Деймона.)

Тяу – страстный любитель соревнований. В детстве он стремился стать лучшим из лучших. Какое-то время так оно и было. Он выиграл две золотые медали подряд на Международной математической олимпиаде и стал своего рода Симоной Байлз^[45] во вьетнамской математике; учителя гордились им, сверстники завидовали.

Но в студенческие годы он стал погружаться в трясину депрессии, постепенно осознав, что не понимает математику, которую изучает. «Мои профессора думали, что я фантастический студент, – вспоминает он. – Я умел решать все упражнения. Но я ничего не понимал»^[46]. Он чувствовал, что все его достижения – мыльный пузырь, хрупкая пленка славы, которая вскоре лопнет и обнажит ужасную пустоту внутри. Затем наступил поворотный момент. Он уже не стремился быть лучшим и стал учиться у тех, кто лучше него.

Он возлагает все свои заслуги к ногам Жерара Ломона, своего научного руководителя в аспирантуре. «У меня был один из лучших научных руководителей в мире, – рассказывает Тяу, сияя от радости. – Каждую неделю я приходил в его кабинет, и каждый раз он прочитывал со мной одну-две страницы».

Они двигались медленно, строка за строкой, уравнение за уравнением, стремясь к полному пониманию. Вскоре Тяу начал работать над программой Ленглендса. Это своего рода трансконтинентальная железная дорога современной математики: масштабная попытка соединить отдаленные дисциплины. Этот проект привлек на свою орбиту поколение амбициозных математиков наподобие Тяу, который решил доказать «фундаментальную лемму» – самую дразнящую гипотезу программы Ленглендса.

Очередная олимпиада? Гонка, где математики пытаются обскакать друг друга и найти доказательство раньше всех? Нет, полагает Тяу. «Мне помогли многие коллеги в моей области, – говорит он. – Они искренне поддерживали меня. Я просил совета, и они говорили мне, чему нужно выучиться. Все были очень открыты. Я не чувствовал никакой конкуренции». С помощью коллег Тяу удалось доказать фундаментальную лемму. Эта работа и принесла ему филдсовскую медаль.

Несмотря на то что Тяу – выдающийся ученый, его история радует своей обыкновенностью.

Те, кто процветают в атмосфере школьных состязаний с четкими рейтингами, простой иерархией и подпиткой поощрениями, должны выстраивать взаимоотношения по-новому, когда попадают в безграничный мир науки. Они входят в него конкурентами и превращаются в соратников.

II
Дизайн
Функциональная геометрия

Из милосердия жизнь преподает нам жестокий урок: если вы одержимы какой-то идеей, это еще не означает, что вы сможете добиться своего.

Например, вы хотите начертить квадрат, у которого диагонали той же длины, что и стороны. Мне жаль вас расстраивать, но с квадратами этот фокус не пройдет.

Или, скажем, вы хотите покрыть пол плиткой в виде правильных пятиугольников. Извините, но ваша затея никогда не увенчается успехом^[47]. Между плитками в любом случае останутся зазоры.

Или, скажем, вы чертите равносторонний треугольник и хотите подобрать углы по своему вкусу, например 70^о, или 49^о, или 120^о. Боюсь, что космосу нет до вас никакого дела: углы равностороннего треугольника будут равны 60^о, ни градусом больше, ни градусом меньше, иначе ваш треугольник просто перестанет быть равносторонним.

Людские законы гибки, их можно отменять и пересматривать. Алкоголь продают с 21 года в США, с 18 лет в Великобритании, с 16 на Кубе, в Афганистане алкоголь запрещен, а в Камбодже никакие алкогольные ограничения не действуют – пейте, дети, на здоровье. Правительство любой страны может ужесточить или смягчить запрет на продажу алкоголя по своей прихоти (и, разумеется, чем крепче ваш напиток и чем небрежнее законы, тем больше вы склонны к капризам). Законы геометрии устроены иначе^[48]. В них нет пространства для маневра: нет президента, который вас помилует, нет присяжных, которые вас оправдают, нет офицера полиции, который сделает предупреждение и отпустит вас на все четыре стороны. Законы математики выполняются без внешнего контроля и нерушимы по самой своей природе.

Тем не менее, как мы уже видели и еще не раз увидим, это не так уж и плохо. Ограничения рождают творческий порыв. Законы о том, что не позволено геометрическим фигурам, идут в одной упаковке с анализами кейсов, выявляющих, что им разрешено. В дизайнерских проектах – в любом масштабе, от полезной бумаги до прочных зданий и космических станций, уничтожающих планеты, – геометрия воодушевляет, даже если ограничивает.

Поэтому забудьте сентиментальную фразу «Все возможно»! Да, это мило, но глубоко противоестественно, как и многие другие вещи, которые мы скармливаем детям. Реальность строже – и удивительнее.

Глава 6
Мы возвели этот город на треугольниках

Хочу познакомить вас со звездой этой главы – треугольником.

Это не привычный для вас протагонист. Высокомерные литературные типажи могут сбросить его со счетов, потому что он слишком плоский. Тем не менее этот нетипичный герой предпримет типичное героическое путешествие: родившись в убогой семье, научится применять внутреннюю силу и в конце концов сослужит службу всему миру в кризисные времена.

Теперь, если ваше сознание настолько зашорено, что вы не можете вместить идею доблестного многоугольника, ни в коем случае не читайте дальше. Наденьте глазную повязку предрассудков. Но, убедительно прошу вас, зажмурьтесь достаточно крепко, ибо лишь глубочайшая тьма сможет укрыть ваше сумеречное сознание от сияющей истины, пронзительного света плоской геометрии. Разве вы забыли? Мы возвели этот город. Мы возвели этот город на треугольниках…

1. Двенадцать узлов на египетской веревке

Добро пожаловать в Древний Египет: процветающее царство, засилье чиновников, строгая вера и локти, согнутые под прямым углом. Оно просуществует несколько тысячелетий и переживет восход и закат империй с властелинами в коронах поскромнее.

Идем, подышим свежим воздухом. На дворе 2570 год до н. э., и Великая пирамида Гизы уже построена наполовину^[49]. Три с половиной миллиона тонн кирпичей возвышаются среди пустыни, и на них взгромоздят еще три миллиона тонн. Самые тяжелые блоки весят больше двух слонов. Основание представляет собой квадрат со стороной 230 м (протяженность трех кварталов Нью-Йорка). Когда спустя десять лет пирамида будет закончена и 80 000 рабочих смогут расслабиться и выпить лимонаду, высота пирамиды будет составлять 150 м. Через пять тысячелетий она по-прежнему будет целехонька – самый непоколебимый небоскреб в истории человечества, величайший триумф триангулярной архитектуры.

Но на самом деле все не так.

Не поймите меня превратно: она еще не рухнула (по крайней мере, по моим последним данным). Но это никакая не победа треугольников. Если вы желаете увидеть треугольники в деле, забудьте о Великой пирамиде и прогуляйтесь со мной до пустыря неподалеку. Там мы обнаружим небольшую команду землемеров с канатом, завязанным странной петлей с 12 узлами на равном расстоянии друг от друга^[50].

Зачем? Просто понаблюдайте. Сделав несколько шагов, каждый третий землемер берет свой узел (№ 1, № 4 и № 8, если быть точным), и они натягивают канат. Словно по волшебству, он образует прямоугольный треугольник. Четвертый рабочий отмечает прямой угол на песке. Землемеры ослабляют натяжение каната. Эта сценка повторяется снова и снова, пока весь пустырь не будет поделен на идеальные участки равного размера.

Если вы не клевали носом на уроках геометрии (и даже если клевали), эта сценка, возможно, вызовет в памяти теорему Пифагора. Ее формулировка такова: если вы построите по квадрату на сторонах прямоугольного треугольника, сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большего. Или, говоря современным алгебраическим языком: а² + b² = с².

Реестр таких треугольников бесконечен. Например, длины сторон могут быть равны 5, 12 и 13; или 7, 24 и 25; или 8, 15 и 17; или (мой любимый пример) 20, 99 и 101. Египтяне мудро выбрали простейший случай: треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Вот поэтому узлов именно 12.

Но эта глава не о Пифагоре и «его» теореме (которую и без его помощи знали более древние цивилизации). Она о более простом и фундаментальном свойстве треугольников, замаскированном изяществе, которое мы скоро обнаружим. История треугольника начинается не в пифагорейском храме и не на вершине Великой пирамиды, а здесь, на пустыре. Канат превращается в инструмент землемера. Это первый увиденный нами намек на столь могущественную силу, что по сравнению с ней пирамиды – просто пригоршня пыли.