Читать книгу: «Основы R-анализа», страница 2

4. R-функции как границы количественных систем

Выше мы видели, что важную роль в координации двух позиций и метрик актуально бесконечного играет некоторая функция f, которая в нашем примере сжимала натуральный ряд чисел в предельную последовательность с конечным пределом. Благодаря такому сжатию, определялась внешне-метрическая позиция актуально бесконечного. Эту идею можно обобщить, распространяя её с натурального ряда на всё множество вещественных чисел и предполагая некоторую функцию R^-1_М, которая изоморфно сжимает множество вещественных чисел R в интервал (-М,М), где М> 0, – подмножество R. В этом случае финитизируются две бесконечности +∞ и -∞, где R^-1_М (∞) = М и R^-1_М (-∞) = -М. Такую функцию я буду называть обратной базовой R-функцией. К ней нужно предъявить ряд требований.

Все эти требования в конечном итоге вытекают из общей идеи, что функция у = R^-1_М (х) должна быть аналогом функции у = х при представлении бесконечности ∞ в виде конечного числа М. Более строго это можно выразить в виде условия:

lim_M→∞R^-1_M (x) = x,

т.е. обратная R-функция с верхним порогом М должна переходить в тождественное отображение у = х при стремлении М к бесконечности.

Чтобы определить свойства функции R^-1_М, нужно взять отображение у = х и трансформировать его до у = R^-1_М (х), изоморфно сжимая вещественную числовую ось в интервал (-М,М). Такова интуиция. Из неё можно вывести следующие основные свойства.

Во-первых, как уже было отмечено, функция у = R^-1_М (х) должна быть изоморфизмом, т.е. сохранять порядковые соотношения: х₁ <х₂ влечёт R^-1_М (х₁) <R^-1_М (х₂), и обеспечивать взаимно однозначное отображение между областью определения и значения.

Во-вторых, как и у=х, функция у = R^-1_М (х) должна быть непрерывной.

В-третьих, как и у=х, функция у = R^-1_М (х) должна быть нечётной, т. е. R^-1_М (-х) = -R^-1_М (х). Отсюда сразу же вытекает, что R^-1_М (0) = 0⁵.

Этого пока достаточно. В ряде случаев можно потребовать, чтобы выполнялось свойство R^-1_М (1) = 1, а также функция у = R^-1_М (х) была дифференцируемой и dR^-1_M (0) /dx = 1.

Понятно, что раз функция у = R^-1_М (х) взаимно однозначна, то определена обратная к ней функция, которую будем обозначать как у = R⁺¹_М (х) и называть прямой базовой R-функцией. Она, наоборот, изоморфно разжимает интервал (-М,М) в бесконечную вещественную числовую прямую R.

В качестве примера можно привести R-функции, построенные на основе функций тангенса и арктангенса:

R⁺¹_М (х) = (2M/π) tg (πx/2M),

R^-1_М (х) = (2M/π) arctg (πx/2M).

Графики этих функций для М=10 приведены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Прямая базовая R-функция, построенная на основе функции тангенса при М=10.

Эти R-функции непрерывны и дифференцируемы. Для них выполняется условие lim_M→∞R^-1_M (x) = x. Например, учитывая, что ряд Маклорена для арктангенса имеет вид

arctg (x) = x – x³/3 + …,

для обратной R-функции получим:

(2M/π) arctg (πx/2M) = (2M/π) ((πx/2M) – (πx/2M) ³) /3+…) →

→ (2M/π) (πx/2M) = x при М→∞.

Рис. 2. Обратная базовая R-функция, построенная на основе функции арктангенса при М=10.

Хотя в общем случае свойство dR^-1_M (0) /dx = 1 не выполнено, но оно выполняется всё лучше при М→∞:

((2M/π) arctg (πx/2M)) ’ = (2M/π) (1/ (1+ (πx/2M) ²)) (π/2M) =

= (1/ (1+ (πx/2M) ²)) →1 при М→∞.

В нуле эти функции дают ноль, а вот в единице они не всегда дают единицу, но чем больше М, тем ближе значение R^-1_М (1) к единице.

В общем случае различных частных видов R-функций существует бесконечное множество. Пока мы ограничиваемся самыми общими к ним требованиями.

Используя R-функции, мы теперь более адекватно можем определить структуру актуальной бесконечности для вещественных чисел. Сделаем это на примере бесконечно большого.

Качество конечного охватывает всё множество вещественных чисел, и любое изменение внутри этого множества есть внутреннее изменение этого качества, т.е. его количество. В наибольшей степени количество качества конечного выражается рациональными числами, которые никогда не достигают границ конечного количества.

В случае иррациональных и вещественных чисел мы уже операционально достигаем границ конечного количества и даже переходим за эти границы в область бесконечного – бесконечно большого и бесконечно малого. Но пока это за-конечное количество дано неметрически – без внешней метрики, которая должна была бы конечно соизмерять конечное и бесконечное.

Как в стандартном, так и в нестандартном анализе бесконечное всегда остаётся бесконечным и никогда не может быть представлено конечным числом. Поэтому соизмерение конечного и бесконечного в этом случае лишь операциональное (участие в общих операциях), но не метрическое – так построена на сегодня любая версия математического анализа, как по Ньютону, так и по Лейбницу. В итоге подлинного обеспечения состояния актуальной бесконечности в этом случае достичь не удаётся. Чтобы это сделать, нужно добавить к внешней позиции бесконечности метрическое представление, которое сделает бесконечное конечным. Проиллюстрируем такой приём с помощью обратной базовой R-функции.

Мы сжимаем множество вещественных чисел в конечный интервал (-М,М) обратной базовой R-функцией, и бесконечности +∞ и -∞ теперь финитизируются и представляются числами М и -М соответственно. Кроме внутренней позиции конечного количества, теперь у нас появляется и внешняя позиция, в которой бесконечное оказывается актуальным, т.е. достижимым и даже переходимым далее, т.е. конечной величиной. Это и есть настоящая актуальность – данность как достижимого и переходимого далее состояния. Таким образом, сделать бесконечное актуальным означает в данном случае представить его как конечную величину во внешней позиции, благодаря обратной базовой R-функции.

Уточним ряд понятий.

Дана обратная базовая R-функция у = R^-1_М (х), которая отображает множество вещественных чисел R в интервал (-М, М), т. е. R^-1_М: R→ (-М,М). Интервал (-М,М) является подмножеством также множества вещественных чисел, но если быть точным, то здесь следует различать два множества вещественных чисел: 1) прообразное множество вещественных чисел, обозначим его R (0), которое является областью определения обратной базовой R-функции, и 2) образное множество вещественных чисел R (1), которое включает в себя как свою часть интервал (-М,М).

Такое разделение связано с тем, что у этих множеств два разных качества: если прообразное множество вещественных чисел R (0) представляет качество конечного количества, то образное множество R (1) – качество количества, которое соединяет в себе конечное и бесконечное для первого качества (R (1) выражает качество финфинитного количества).

Величина R^-1_М (∞) представляет собой настоящую актуальную бесконечность, определённую не только во внешней позиции, но и во внешней метрике. Заменяя представленную выше абстрактную функцию f на R^-1_М, получим для внутренней и внешней метрики следующие определения:

ρ_in (R^-1_М (х), R^-1_М (у)) = |х – у|,

ρ_ex (R^-1_М (х), R^-1_М (у)) = |R^-1_М (х) – R^-1_М (у) |.

По внутренней метрике элемент R^-1_М (∞) является недостижимым для любого конечного элемента R^-1_М (х), т.е. расстояние между ними бесконечное:

ρ_in (R^-1_М (х), R^-1_М (∞)) = |х – ∞| = ∞,

а во внешней метрике элемент R^-1_М (∞) оказывается конечно достижимым (актуальным) для любого элемента R^-1_М (х), где х – вещественное число:

ρ_ex (R^-1_М (х), R^-1_М (∞)) = |R^-1_М (х) – R^-1_М (∞) | = |R^-1_М (х) – M| <∞.

Так более полно может быть определена актуальная бесконечность («конечная бесконечность»), и в её определении, как видим, важную роль играет R-функция.

5. К новой модели бесконечно большого количества

В итоге мы начинаем постепенно входить в работу с аппаратом R-анализа. В основе этого аппарата, как видим, лежат R-функции.

В силу изоморфизма, обратная базовая R-функция R^-1_М позволяет полностью воспроизвести всю структуру вещественных чисел и связанных с нею дополнительных конструкций на интервале (-М,М). Например, мы можем определить R-сложение ⊕ между элементами х* = R^-1_M (х) и у* = R^-1_М (у) по правилу:

х*⊕у* = R^-1_М (R⁺¹_М (х*) + R⁺¹_М (у*)) = R^-1_М (х + у) = (х + у) *.

Аналогично поступаем и для всех остальных операций и предикатов.

Казалось бы, R-изоморфизм не даёт ничего нового уже по определению. Но, как было представлено выше, кроме изоморфных отношений, появляется также момент внешней метрики, который выходит за границы изоморфизма и позволяет оперировать с бесконечно большим количеством как с конечным числом.

Это означает, что за границами R-изоморфизма начинает проступать какая-то более богатая структура, которая хотя и скоординирована с R-изоморфизмом, но более или менее может выходить за его границы. Задача R-анализа теперь состоит в том, что всё более проявлять и оформлять такую структуру.

Попробуем сделать первый шаг в оформлении такой R-структуры на примере бесконечно большого как актуальной величины.

Когда мы сжимаем прообразное множество вещественных чисел R (0) обратной базовой R-функцией R^-1_М в интервал (-М,М) на образном множестве вещественных чисел R (1), мы по сути начинаем иметь дело с двумя количественными системами Q (0) и Q (0,1). Первая из них представлена множеством R (0), вторая – множеством R (1). Разница их состоит хотя бы в том, что у них разные границы качества. Если у первой количественной системы Q (0) качеством является конечность, которая своей верхней границей имеет бесконечно большое ∞, то вторая количественная система Q (0,1) делает границу ∞ первой системы конечной, в виде числа R^-1_М (∞) = М, и обладает более глобальным качеством конечно-бесконечного (финфинитного) (см. рис. 3).

Рис. 3. Соотношение двух количественных систем – системы конечного количества Q (0) с множеством R (0) как своим внутренним количеством (внизу) и системы конечно-бесконечно-большого количества Q (0,1) с множеством R (1) (вверху). Система Q (0) отображается в систему Q (0,1) обратной базовой R-функцией R^-1_М (изображена изогнутыми стрелками, направленными снизу вверх).

На рис. 3 вместо декартовской системы координат, где числовые оси аргумента и функции изображаются перпендикулярно друг другу, изображена другая система представления функции, где числовые оси аргумента и функции параллельны друг другу. Такая система имеет свои плюсы и минусы. Минус в том, что мы не видим график функции, но плюс состоит в том, что на плоскости можно изображать многократные функции от функций.

Строго говоря, вещественные числа х∈R (0) и х∈R (1), даже если это одно число х, следует различать между собой, поскольку это количества разных качеств. Это означает появление новой степени свободы при определении числа-количества – это параметр качества. Коль скоро мы вводим разные количественные системы, даже обладающие изоморфными количествами, то всё же эти количества теперь приходится различать, поскольку у них разные качества. Далее я буду называть новую степень свободы, связанную с качеством количественной системы, слоем или количественным слоем. По сути, слой – синоним качества количества.

Итак, количественные системы Q (0) и Q (0,1) обладают разными качествами-слоями, и параметр слоя открывает новые измерения и многообразия в организации количества, вводя качественные параметры в математику наряду с количественными.

Как более операционально выразить принадлежность одного и того же вещественного числа х к разным слоям?

Положим, что слой количества – это новое измерение в некотором многомерном пространстве. Тогда одно число х разных слоёв будет лежать как бы в разных измерениях, что можно выразить парами (х,0) – х одного слоя, (0,х) – х другого слоя.

Пусть, например, первая координата в паре (х,у) выражает элемент х из первой количественной системы Q (0), второй элемент у – из второй системы Q (0,1). Слой количества в этом случае будет выражен номером координаты в паре.

Хорошо, пусть будут пары. Но тогда должна возникнуть некоторая структура на этих парах. Что это за структура?

Вернёмся вновь к смыслу пар (х,у). Элемент х выражает количество системы Q (0), которая представлена множеством R (0), а элемент у – это элемент из множества R (1) системы Q (0,1). Внутри себя эти элементы полностью воспроизводят структуры вещественных чисел, т.е. для частного случая пар (х,0) и (0,у) можно просто задать структуру поля вещественных чисел и связанные с нею конструкции. Проблема возникает, когда мы имеем дело с двукоординатной парой (х,у), где х и у не равны нулю. Как работать с такими парами?

Здесь мы должны вспомнить об R-функции, которая сжимает множество R (0) в интервал (-М,М) на множестве R (1). Тем самым она делает элементы у≥М на множестве R (1) бесконечно большими для R (0). То есть множество R (1) – это область бесконечно большого количества для количества из R (0). По крайней мере, это верно для элементов у≥М из R (1).

А как быть с элементами у∈ (-М,М) из R (1)?

Эти элементы изоморфны элементам из множества R (0), которое выражает конечное количество. Следовательно, множество R (1) включает в себя как конечные элементы системы Q (0), так и бесконечные относительно неё элементы. Это и значит, что система Q (0,1) является конечно-бесконечным количеством относительно системы Q (0). Она финфинитна.

Только бесконечность системы Q (0,1) – это не бесконечно малое, а то бесконечно большое, которое выражает как плюс-, так и минус-бесконечность. Можно называть такое бесконечно большое модульным, обозначая его символом ±∞. На множестве R (1) модульному бесконечно большому будут соответствовать полуинтервалы (-∞, -М] и [M+∞). Количественную систему, определённую на этих полуинтервалах, обозначим через Q (1) – как систему модульного бесконечно большого количества.

Таким образом, качество системы Q (0,1) объединяет в себе конечное и модульное бесконечно большое, если представлять это качество со стороны системы Q (0).

Если в системе Q (0) между конечным и модульно бесконечно большим, как ±∞, определена бесконечная несоизмеримость, то в системе Q (0,1) эти состояния количества соизмеряются между собой как две конечности: интервал (-М,М) и объединение двух полуинтервалов (-∞, -М] ∪ [M+∞).

Если мы будем находиться в одной количественной системе, то получим свои виды конечного и бесконечного с бесконечной несоизмеримостью между ними. Только координация двух и более количественных систем позволяет ввести новые состояния количества – бесконечное как конечное (R^-1_М (∞)), конечно-бесконечное (R (1)) и т. д.

Итак, мы определились: система Q (0) представляет конечное количество, система Q (0,1) – конечно-бесконечное (финфинитное) количество, где бесконечное представлено как модульное бесконечно большое Q (1). И данные определения возникают только в отношениях этих двух систем.

В современной версии математики нет конечно-бесконечного количества, но только либо конечное, либо бесконечное. Даже в концепте актуальной бесконечности, как было отмечено выше, нет конечных метрических определений. В системе Q (0,1) феномен конечно-бесконечного количества возникает именно из-за конечности интервала (-М,М), т.е. конечности числа М> 0, что позволяет всё конечное количество системы Q (0) представить как часть количества системы Q (0,1), определив последнее как конечно-бесконечное количество в отношении к системе Q (0). Таким образом, в основе феномена финфинитности лежит конечность числа М – верхнего порога обратной базовой R-функции.

Отсюда также становится понятным, как можно воспроизвести классические определения дихотомического количества, где внутренность и границы количества несоизмеримы до бесконечности. Для этого достаточно устремить М к нулю и в пределе получим бесконечно малый интервал (-М,М) и некоторый вырожденный вариант обратной базовой R-функции R^-1₀, который отобразит множество R (0) в бесконечно малую окрестность нуля на R (1), что и должно быть в отношениях конечного и модульного бесконечно большого с точки зрения стандартного математического анализа. Тем самым мы выражаем некоторый принцип соответствия между представленной выше моделью с ненулевой конечной верхней границей М и классическим подходом с бесконечно малой границей.

Более-менее определившись со смыслом количественных систем Q (0), Q (1) и Q (0,1) и их отношением, вернёмся к теме того, как же можно задать алгебру на парах (х,у)?

Теперь мы понимаем, что элемент х выражает стандартное конечное количество, а элемент у – некоторый вид финфинитного количества, где бесконечное (инфинитное) представлено как модульное бесконечно большое, в пределе М→0 переходящее в обычное модульное бесконечно большое ±∞ для всего множества R (1).

Отсюда возникает естественная интерпретация пары (х,у) как суммы конечного и бесконечно большого элементов, что условно можно было бы выразить следующим образом: (х,у) = х + iy,

где iy – «интеграл у, т. е. представление у как элемента «интегральной шкалы» системы Q (0,1). Выражение iy можно понимать как домножение у на бесконечно большую единицу i.

Отсюда можно вывести следующие правила для операций на парах:

(х₁,у₁) + (х₂,у₂) = (х₁ + iy₁) + (х₂ + iy₂) = (х₁ + х₂) +

+ i (y₁ + y₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂),

(х₁,у₁) ⋅ (х₂,у₂) = (х₁ + iy₁) ⋅ (х₂ + iy₂) = x₁x₂ + x₁iy₂ + x₂iy₁ +

+ i²y₁y₂ = x₁x₂ + x₁iy₂ + x₂iy₁ = x₁x₂ + i (x₁y₂ + x₂y₁) =

= (х₁х₂, x₁y₂ + x₂y₁).

Здесь было отброшено слагаемое i²y₁y₂, поскольку i² – это бесконечно большая второго порядка, а в парах мы рассматриваем только бесконечно большие первого порядка.

На этой основе можно развить алгебру на парах, в том числе ограниченное деление пар, но в этой алгебре присутствуют делители нуля, так что мы не получим поля, но некоторую структуру, которую далее будем называть предполем.

Как интерпретировать пару (х,у) в связи со структурой количественной системы Q (0,1)?

В паре (х,у) элемент х берётся из множества R (0), а элемент у – из R (1). Но элементы х из R (0) одновременно представлены в интервале (-М,М) множества R (1). Поэтому элемент х можно интерпретировать и как элемент из R (0), и как элемент из R (1). В последнем случае такой элемент будет дан как величина х* = R^-1_М (х). Чтобы различать эти варианты, введём понятие 1-реализации пары (х,у) по правилу:

r₁ (x,y) = y + R^-1_M (x).

Здесь обратная базовая R-функция играет роль как бы конечного дифференциала х, в отношении к которому величина у выступает как своеобразный интеграл, что и фиксируется в принятой выше интерпретации пары как х + iy.

6. О чёрно-белой и цветной математике

Надеюсь, читатель уже начинает чувствовать методологию R-анализа. В её основе лежит идея единства количества и качества. Мы рассматриваем не просто то или иное количество – множество натуральных, рациональных или вещественных чисел, – но задаёмся вопросом: какое качество мы связываем с тем или иным количеством, как скоординированы между собой количественные и качественные определения?

В стандартной математике – математике стандартного математического анализа – такого рода вопросы не возникают, поскольку либо работают с количеством одного качества, либо качества разных количественных систем слабо (конечно) отличаются друг от друга – что, например, имеет место для отношения качеств натуральных и целых чисел, целых и рациональных чисел. И только для вещественных чисел возникает некоторый более сильный скачок между качествами конечного и бесконечного, что и даёт новый потенциал развития математики. Но этот потенциал фиксируется в самом начале своей реализации и не разворачивается далее. R-анализ пытается реализовать этот потенциал количественно-качественных координаций как можно полнее.

Стоит отметить также ещё один момент.

Если смотреть на ряд координаций количества и качества, то с чисто количественной стороны в них исчезает какая-либо новизна. Например, рассмотренная выше методология построения количественных систем Q (0) и Q (0,1) с прообразным R (0) и образным R (1) множествами вещественных чисел превратится просто в некоторый вид отображения на вещественых числах, если не различать качества этих систем.

Переход к R-анализу не всегда сопровождается новой математической техникой, но всегда предполагает новое математическое мировоззрение, где старая математика начинает играть новыми смысловыми красками. И такими красками являются качества (слои), которые мы добавляем к чисто количественным определениям.

В этом смысле стандартная математика как бы чёрно-белая (не цветная). В ней господствует количество одного качества – в лице множества вещественных чисел, которое максимально вытесняет количества всех иных качеств. Если они и слабо мерцают в такой математике, то только вытесненные на бесконечно удалённые края господствующей системы конечного количества. Такую математику можно называть моноквантической – математикой одного количества (одной количественной системы).

В лице R-анализа мы начинаем иметь дело с «цветной» математикой – математикой количеств разных качеств и координацией их между собой. Такую математику можно называть поликвантической.

Когда мы начинаем раскрашивать количественные структуры в цвета разных качеств, то возникает новая организация, которая исчезает при чёрно-белом своём представлении. Поэтому важно встать на новую точку зрения поликвантизма и полихроматизма в теории количества, не редуцируя его только до количества одного качества-цвета. Последнее тоже возможно, и может быть полезно, но важно сохранять и цветовое многообразие количественных систем, наряду с монохроматическим подходом.

Например, на описанное выше преобразование обратной базовой R-функции R^-1_М:R→ (-М,М) можно посмотреть цветным зрением, и тогда мы увидим две количественные системы Q (0) и Q (0,1) со своими качествами конечного и модульного бесконечно большого, а можно посмотреть чёрно-белым зрением и увидеть за R (0) и R (1) всего лишь одно и то же множество вещественных чисел с одним качеством конечного. В последнем случае мы потеряем конструкции R-анализа и вновь скатимся в стандартную моноквантическую математику. Поэтому важно изменить ещё и систему смыслов в своём математическом сознании, даже работая со стандартной математической техникой, – и тогда она заиграет новыми красками и смыслами.

Конечно, R-анализ будет давать и новую математическую технику, связанную с идеей поликвантизма. Но первые его шаги могут протекать ещё в рамках старой техники, лишь требуя нового цветного зрения. И это важно понять и удержать такую способность, чтобы суметь пройти эти первые шаги, не скатиться в чёрно-белый моноквантизм и достичь царства цветной математики.

Путеводная нить Ариадны в лабиринтах новой математики – это идея количественной системы как единства количественно-качественных определений. Мы теперь не просто работаем с количеством, но со множеством количеств разных качеств, и границы количественных систем и их качеств определяют R-функции. Далее мы смотрим на возникающие здесь координации, исследуем их и выражаем в новых (или старых) операциональных средствах.