Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

* * *

Введение

Уравнения и формулы. Большинству из нас они знакомы по школьным урокам математики, физики и химии. Но, вероятнее всего, даже те из них, что были некогда вызубрены для экзаменов, теперь пылятся где-то на задворках нашего взрослого разума – позабытые и, казалось бы, совершенно ненужные. В конце концов, нам действительно чаще всего требуются простейшие арифметические действия, а в самом крайнем случае (скажем, за неделю до зарплаты) – умение пользоваться калькулятором на смартфоне. Так зачем возвращаться к этим никчемным, бесполезным, никому не нужным штукам, если для задачи, которая внезапно потребовала решения, уже наверняка придумали приложение, электронную таблицу или программу?

Насколько мы можем судить, наша Вселенная подчиняется неким законам. Мы называем эти законы наукой и записываем математическим языком – при помощи уравнений. Абсолютно все – от образования галактик до расположения веснушек на носу ребенка – есть результат решения уравнений. Нравится вам это или нет, предпочитаете ли вы «метод научного тыка» или упорядоченные действия – уравнения сопровождают каждый аспект вашей жизни. Совершенно неважно, насколько решение уравнений доступно вашему пониманию – они управляют всем, что происходит вокруг. Так может быть, пора поближе познакомиться с миром математики?

Безусловно, уравнения помогут вычислить, какой дистанции следует придерживаться, чтобы избежать столкновения машин в час пик. Но они могут оказаться полезными и в чрезвычайных обстоятельствах – когда на кону стоит больше, чем выплата по страховке. Что, если вместо того, чтобы поутру тащиться на скучную работу в офис мистера Претенциозность, вы перехватываете сообщение от обитателей другой галактики? Или, останавливая чудовищный разлив нефти в Тихом океане, предупреждаете международный конфликт? В старом добром уравнении нуждаются даже важные для всех и шаткие с точки зрения международной дипломатии ситуации. Математика – то, что движет миром, а совершенствование математических знаний – то, что поможет развитию технологий и, возможно, спасет планету от экологической катастрофы!

Однако прежде, чем приняться за спасение жизней, давайте вспомним основы математики. Они понадобятся, если вы хотите читать эту книгу хоть сколько-нибудь осознанно.

Любому из нас, бывает, требуется помощь с математикой. Даже такие гении, как Исаак Ньютон и Альберт Эйнштейн, время от времени затруднялись записывать свои теории математическим языком и обращались за помощью к экспертам. Я не смогу быть рядом и помогать, пока вы читаете. Но я написал несколько пояснений: они облегчат понимание тех вещей, которые вы, возможно, успели подзабыть со школьных времен. Уверены в собственных знаниях – пропускайте этот раздел. К нему можно будет вернуться, если вдруг поймете, что переоценили свои способности.

Порядок действий

Всякий раз, когда вы видите выражение, требующее вычислений – или операций, как это называют математики, – вам нужно определить последовательность шагов. В отличие от письма или чтения, где мы движемся слева направо, в математике необходимо следовать определенному порядку.

Вычисления следует производить согласно аббревиатуре BIDMAS^[1]:

Скобки

Возведение в степень

Деление

Умножение

Сложение

Вычитание

Например, выражение 5 – 3 + (2 × 8) ÷ 4² содержит все шесть действий. Итак, начнем со скобок. Мы видим, что 2 × 8 = 16, и наш пример становится таким:

5 – 3 + 16 ÷ 4².

Далее по плану возведение в степень («в степени n» означает «в n раз больше»). Такую степень мы видим над числом 4. 4² – это число 4, умноженное само на себя. Поскольку 4 × 4 = 16, мы получаем:

5 – 3 + 16 ÷ 16.

Затем идет деление: 16 ÷ 16 = 1. Теперь наше выражение принимает вид:

5 – 3 + 1.

Сложение –3 и 1 дает нам –2:

5 – 2.

У нас на руках остается простое вычитание:

5 – 2 = 3.

Сокращение дробей

Эквивалентность дробей – важное понятие: это означает, что дроби, пусть и записанные по-разному, могут соответствовать одному и тому же числу. Например, как мы знаем, одна вторая – то же самое, что и две четверти:

Дроби принято оставлять в несократимом виде, то есть использовать наименьший возможный знаменатель (число под чертой) при целом числителе (число над чертой). Будь нам неизвестно, что две четверти эквивалентны половине, мы могли бы сократить дробь, найдя число, которому кратны и числитель, и знаменатель. Для двух четвертей оно будет равно двум, так как на него делятся и 2, и 4. Поделив оба числа на 2, мы сократим дробь, но ее значение останется таким же.

Если бы у нас было восемь двенадцатых, мы могли бы разделить числитель и знаменатель на 2 или на 4. Чтобы полностью сократить дробь, используем наибольший общий делитель:

Нет такого числа, которому были бы кратны 2 и 3, значит, наша работа завершена.

Степени и корни

Пример возведения в степень мы видели в подразделе «Порядок действий». Степень показывает, сколько раз число следует умножить само на себя. Так, вместо 3⁵ мы могли бы написать 3 × 3 × 3 × 3 × 3. Истинное значение 3⁵ составляет 243 – а это, согласитесь, совсем не то же самое, что 3 × 5 = 15 (при возведении в степень такую ошибку допускают очень часто).

Извлечение корня – операция, обратная возведению в степень. Лучше всего мы знакомы с квадратными корнями, обозначающими действие, противоположное – или обратное, как выражаются математики, – возведению в квадрат (однократное умножение числа на себя). Например:

Возведя 8 в квадрат, мы извлекаем из полученного числа квадратный корень и возвращаемся к тому, с чего начали. А дальше мы можем возводить число в любую степень, которая будет отлична от второй, и точно так же извлекать любой корень, отличный от квадратного: например, вычислить значение третьей степени числа 8 и извлечь из полученного кубический корень:

Решение уравнений

Строго говоря, уравнение – это задача с неизвестным. Сумеете ли вы найти неизвестное, если я скажу, что, умножив его на 4 и прибавив 3, мы получим 13? Алгебра позволяет записать задачу в кратком виде. Заменим загаданное число буквой y – переменной, и мой вопрос станет выглядеть так:

4 × y + 3 = 13.

Чтобы еще больше упростить запись и заодно избежать путаницы между знаком умножения и буквой x, сократим 4 × y до 4y:

4y + 3 = 13.

Чтобы определить неизвестное число, то есть найти решение, или корень уравнения, начинаем с правой части выражения (суммы) и производим действия в обратном порядке. Из числа 13 вычитаем 3, а полученную разность делим на 4:

y = (13 – 3) ÷ 4.

Обратите внимание: наша первая операция – вычитание – заключена в скобки. Не будь их, нам пришлось бы, согласно установленному порядку действий, начинать с деления. Итак:

y = (13 – 3) ÷ 4;

y = 10 ÷ 4;

y = 2,5.

Уравнение решено! Имейте в виду, что есть и альтернатива: разбивать обратные операции на несколько этапов. Такой подход пригодится, если неизвестное встречается несколько раз:

3a + 6 = 7а – 2.

Например, если мы увеличим обе части уравнения на 2, то в правой избавимся от –2. Задача примет следующий вид:

3а + 8 = 7а,

затем из обеих частей вычтем 3a:

8 = 4а,

и, наконец, разделив и левую, и правую части на 4, получим ответ:

а = 2.

Этот метод прекрасно работает в приведенных выше линейных уравнениях – задачах с неизвестным без степени. Квадратные уравнения, то есть те, где подлежащее определению число возведено в квадрат, сложнее, поскольку у них может быть два, один или даже ни одного корня. И, хотя есть различные методы решения подобных задач, я, опустив подробности, просто предложу использовать для вычисления формулу ax² + bx + c = 0. Итак, никакого волшебства:

Оставлю ее как вызов самому добросовестному из читателей. Пусть проверит!

Формулы

Формула – это способ показать математическую связь между величинами. Например, фут равен 30,48 см. Мы можем представить это следующей формулой:

c = 30,48f.

Буква f обозначает количество футов, c – количество сантиметров. Будь мы в США, где фут все еще остается стандартной единицей измерения длины, отношение помогло бы нам вычислить, сколько сантиметров в 6 футах. Нужно только заменить f на 6:

c = 30,48 × 6;

с = 182,88.

Итак, 6 футов – это 182,88 см.

В приведенном примере с – преобразуемое выражение. Если известна длина в сантиметрах, но ее следует перевести в дюймы, f нужно перенести в левую часть формулы, то есть должно получиться «f =». Действия будут напоминать решение уравнения. Чтобы вычислить c, мы умножали f на 30,48. Значит, разделив c на 30,48, получим:

f = с ÷ 30,48.

Другими словами, если бы мы захотели узнать, сколько футов в 182,88 см, то разделили бы это число на 30,48, получив 6 футов.

Неравенства

Часто цель математических действий – удостовериться и показать, что x равно определенному числу. Но иногда подобная конкретика нежелательна или невозможна, поскольку есть необходимость рассмотреть диапазон значений. Именно для этого мы и прибегаем к неравенствам. Допустим, по опыту мне известно, что каждое воскресенье за обедом моя семья съедает больше 7, но до 12 картофелин. Если представить количество картофеля в виде p, то «больше 7» будет выглядеть как p > 7. Предлагаю рассматривать символ неравенства как пасть прожорливого крокодила, который всегда норовит выбрать из двух объектов тот, который больше (в нашем случае это p), и съесть его. Поскольку «7 меньше p» означает то же, что и «p больше 7», выражение можно записать и наоборот: 7 < p. «До 12» означает, что p может быть как меньше, так и равно 12. Неравенство будет выглядеть следующим образом: p ≤ 12. У символа появилась дополнительная палочка, которая означает, что p способно быть не только меньше, но и равняться 12. Записав рядом оба выражения, мы охватим весь диапазон возможных значений p:

7 < p и p ≤ 12, или

7 < p ≤ 12.

Это все, что нам следует знать, чтобы вычислить, сколько картофелин понадобится для воскресного обеда.

1. Аббревиатура BIDMAS происходит от принятой в математике последовательности операций: brackets (скобки), indices (степени), division (деление), multiplication (умножение), addition (сложение), subtraction (вычитание). – Прим. пер.