Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Шорткат к счету

Уже то, как именно мы записываем числа, может определить, будут ли вычисления простыми или окажутся сложной и трудной работой, в которой легко ошибиться. Момент, когда мы поняли, что удобное символическое обозначение сложных идей – это шорткат к эффективному мышлению, был важным моментом развития человечества. Судя по историческим данным, каждая цивилизация осознавала, что письменность вообще и записывание устной речи в частности дает мощное средство для сохранения, передачи и использования новых идей. И каждый раз при возникновении новой системы письменности какого-либо языка, как правило, появлялись и новые хитроумные способы записи концепции чисел. Но те цивилизации, которые создавали более удобные системы записи чисел, получали в свое распоряжение шорткаты к более быстрым и рациональным методам вычислений и работы с данными.

Одним из самых первых шорткатов, открытых математиками, было удобство позиционной системы счисления. Когда вы считаете что-нибудь, будь то овцы или дни, в первую очередь вам может прийти в голову идея пометить каждую овцу или каждый день особым символом. По-видимому, именно так и считали первые люди. Имеются кости с зарубками, сделанными 40 000 лет назад, которые считают примером первых попыток счета.

Уже это достижение было важным. Оно отмечает начало зарождения абстрактной концепции чисел. Археологи не знают, что именно подсчитывали при помощи этих зарубок, но у людей уже было понимание, что у их количества и количества овец или дней, что бы они там ни считали, есть нечто общее. Проблема состоит в том, что отличить 17 от 18 в записи, сделанной зарубками на кости, может быть довольно непросто. Нужно заново пересчитать все зарубки. В какой-то момент почти в каждой культуре возникает светлая идея создания некой сокращенной, более удобной для чтения записи всех этих зарубок.

Несколько лет назад, когда я жил в Гватемале, меня заинтриговали странные последовательности точек и тире, встречавшиеся на тамошних банкнотах. Я спросил нашу соседку, не закодированы ли в местных деньгах надписи какой-то странной азбукой Морзе. Она объяснила, что это действительно код, но закодирован на каждой банкноте ее номинал. Точки и тире были сокращенным представлением способа записи чисел, существовавшим в культуре майя. Майя понимали, что человеческому мозгу трудно определять количество зарубок, когда их больше четырех. Поэтому они не ставили на странице все больше и больше точек, а, дойдя до пяти, проводили через четыре точки линию – как делают заключенные, считающие дни до выхода на свободу. Таким образом линия стала условным обозначением числа пять.

Но что делать, если нужно сосчитать еще большее количество? Древние египтяне разработали весьма впечатляющую систему иероглифов, обозначающих разные степени десяти. Число десять обозначалось изображением пут для скота (приспособления, ограничивающего движения животного), сто – веревочной петлей, тысяча – цветком кувшинки, десять тысяч – согнутым пальцем, сто тысяч – лягушкой и, наконец, миллион – коленопреклоненным человеком с воздетыми к небу руками; у него был такой вид, будто он только что выиграл в лотерею.

Это была хорошо продуманная система. Чтобы обозначить миллион, египетский писец мог не наносить на кость миллион зарубок, а просто нарисовать на папирусе фигурку коленопреклоненного человека. Такое умение легко записывать большие числа было одним из факторов, позволивших Египту превратиться в могущественную цивилизацию, способную успешно собирать налоги со своего населения и строить крупные города.

Но и в египетской системе было нечто весьма нерациональное. Если писец хотел записать число 9 999 999, он должен был использовать 63 символа. А если к этой сумме добавлялась еще одна единица, нужно было изобретать новый символ, обозначающий 10 000 000. Заметим теперь, что в нашей современной системе счисления для записи такого большого числа, как 9 999 999, мы используем всего семь символов, а при помощи всего десяти разных символов (0, 1, 2, … 9) можно записать сколь угодно большое число. Все дело в позиционной системе счисления, поразительном шорткате, независимо найденном на разных этапах истории человечества тремя разными культурами.

Первой этот шорткат нашла цивилизация, соперничавшая с египетской, – вавилоняне. Интересно отметить, что в основе системы счисления их культуры лежали не степени десяти, как у египтян или в нашей нынешней системе. Они работали со степенями шестидесяти. У них были свои обозначения для всех чисел до 59, и только после этого, как они считали, требовалась перегруппировка. Числа от 1 до 59 они записывали с помощью всего двух символов: символа , обозначавшего 1, и символа , обозначавшего 10. Но это означало, что для записи числа 59 требовался набор из целых четырнадцати символов.

На первый взгляд такая система кажется далеко не рациональной. Но в выборе числа 60 скрывается шорткат совсем другого рода. Все дело в делимости этого числа. Число 60 можно представить в виде произведения стольких разных делителей – как 2 × 30, как 3 × 20, как 4 × 15, как 5 × 12 или как 6 × 10, – что у торговцев, которые брали на вооружение эту систему, было множество возможностей по-разному делить свои товары. Именно из-за высокой делимости числа 60 мы до сих пор используем его для отсчета времени. Час из шестидесяти минут и минута из шестидесяти секунд происходят из древнего Вавилона.

Однако по-настоящему революционным изобретением вавилонян была система представления чисел, больших 59. Можно было поступить как египтяне – то есть начать создавать новые символы. Но у вавилонян появилась другая идея: что значение символа может изменяться в зависимости от его положения относительно других символов. В нашей нынешней системе в числе 111 повторяется три раза один и тот же символ, и прелесть этого обозначения состоит в том, что, если читать это число справа налево, первый символ 1 обозначает единицу, второй – десяток, а третий – сотню. Каждый раз, когда мы добавляем слева еще один символ, его значение увеличивается в десять раз.

Однако система счисления вавилонян была не десятичной, а шестидесятеричной. Поэтому при каждом смещении на шаг влево значение увеличивалось на число, кратное 60. Например, число 111 в вавилонской системе было бы равно 1 × 60² + 1 × 60 + 1 = 3661. Этот шорткат был исключительно полезным. При помощи всего двух символов,  и , можно было выразить сколь угодно большое число. Но не любое число. Для этого нужен был еще один символ. Что делать, если нужно было записать число 3601? Требовалось показать, что в разряде шестидесяти ничего нет. Нужен был символ для пустого места. В вавилонской клинописи отсутствие какой-либо степени 60 обозначалось двумя маленькими насечками: .

Этот шорткат к записи больших чисел открыли и майя. У них уже был символ для обозначения числа 5. Линия. Три линии могли обозначать 15. Три линии и четыре точки – 19. Но затем майя решили, что записи становятся слишком громоздкими. Поэтому символы, стоящие у них в следующих позициях, стали обозначать степени двадцати. Так, число 111 в системе счисления майя обозначает 1 × 20² + 1 × 20 + 1 = 421. Вскоре и они поняли, что в некоторых местах требуется символ, обозначающий пустое место, и выбрали для этого изображение ракушки.

Майя были великими астрономами и регистрировали огромные промежутки времени. Рациональная система счисления, основанная на положении символов, позволила им оперировать астрономически большими числами, не создавая огромных списков символов.

Однако в обеих системах, и у вавилонян, и у майя, не хватало одного элемента – символа, обозначающего ничто. Этот революционный шаг сделала третья культура, изобретшая позиционную систему счисления, – индийцы.

Цифры, которые служат нам сегодня, мы часто называем арабскими, но это название ошибочно. Во всяком случае, оно не рассказывает всей их истории. Арабы, привезшие эту систему в Европу, научились ей у индийских писцов. На самом деле цифры следовало бы называть индо-арабскими. Индийская система счисления использует символы от 1 до 9, причем при каждом шаге влево значение цифры увеличивается в 10 раз. В этой системе есть и символ, обозначающий ничто. Ноль.

Когда европейцев познакомили с этой идеей, они ее не поняли. Зачем нужен символ, если нечего считать? Но для индийцев ничто, пустота – важная философская концепция, и они были готовы дать ей название и исчисление.

В Европе все еще использовали римские цифры, а вычисления производили на абаках. Но работа с абаком требует особых умений и навыков. Поэтому простым людям вычисления были недоступны. Вычисления позволяли власть имущим сохранять власть. От расчетов на абаке не остается записей. Есть только результат. Такой системой было удобно злоупотреблять.

Поэтому правящие круги пытались остановить распространение системы счисления, завезенной с Востока. Она дала бы простому человеку доступ к вычислениям и возможность записывать эти вычисления. Внедрение этого шортката к работе с числами было, вероятно, не менее важно, чем изобретение печатного станка. Оно открыло математику народу.

Черная магия математики

Сегодня наш шорткат к вычислениям – это компьютеры и калькуляторы. Но те, кому сейчас за пятьдесят, помнят, как их учили работать еще с одним шорткатом, помогавшим выполнять сложные арифметические вычисления: это были таблицы логарифмов. На протяжении целых столетий они были основным шорткатом для любого торговца, штурмана, банкира или инженера. Этот инструмент давал им преимущество перед любым конкурентом, пытавшимся выполнять расчеты «в лоб».

Могущество логарифмов поставил нам на службу шотландский математик Джон Непер. Мне очень хотелось бы познакомиться с Непером – не только потому, что он придумал этот удобный шорткат к вычислениям, но и потому, что он, судя по всему, был человеком безумно необычным. Непер, родившийся в 1550 году, увлекался теологией и оккультизмом. Он разгуливал по своему имению в сопровождении черного паука, которого держал в маленькой клетке. Соседи считали, что он якшается с дьяволом. Когда он пригрозил одному из них, что переловит его голубей, клевавших его зерно, сосед решил, что Непер блефует, так как поймать птиц невозможно. На следующее же утро он был поражен, увидев, как Непер ходит по полю, собирая неподвижно сидящих там голубей в мешок. Неужели их заколдовали? Как выяснилось, голуби просто опьянели, наклевавшись гороха, который Непер вымочил в бренди.

Непер активно эксплуатировал веру местных жителей в его колдовские способности. Когда ему нужно было выяснить, кто из его слуг ворует, он сказал им, что вора назовет его черный петух. Каждый из слуг по очереди должен был войти в комнату и прикоснуться к петуху. Непер утверждал, что при прикосновении преступника петух закричит. Когда все слуги побывали в комнате с петухом, Непер велел им показать руки. У всех кроме одного на руках была сажа. Непер вымазал ею петуха, зная, что только вор побоится прикоснуться к птице.

Помимо теологических изысканий Непера увлекала и математика. Но его интерес к числам был всего лишь хобби, и он сетовал на то, что все его богословские занятия не оставляют достаточно времени для выполнения вычислений. Затем, однако, он разработал хитроумную стратегию, позволяющую обойти те долгие вычисления, через которые он пытался продираться.

Вот что он писал в книге, посвященной этому шорткату:

Видя, что ничто, о любезные исследователи математики, не мешает математическим занятиям, а также не досаждает и не стесняет вычислителей более, нежели операции умножения, деления и извлечения квадратов и кубов больших чисел, кои не только отнимают непомерное время, но и бывают по большей части подвержены многим коварным ошибкам, начал я рассуждать в уме своем о том, какими надежными и удобными средствами смог бы я устранить такие затруднения.

В результате Непер открыл способ, превращающий трудную задачу перемножения двух больших чисел в гораздо более простую операцию сложения. Какую из следующих операций вы выполнили бы вручную быстрее:

379 472 × 565 331

или

5,579179 + 5,752303?

Секрет этого волшебного превращения заключается в логарифмической функции. Функция подобна маленькой математической машине, которая берет одно число, а затем преобразует его в соответствии с внутренними правилами этой функции и выдает на выходе другое. Логарифмическая функция берет число и выводит то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить исходное^[25]. Например, если ввести в логарифмическую функцию число 100, на выходе получим 2, потому что при возведении 10 в степень 2 получается 100. Если ввести в логарифмическую функцию миллион, на выходе получится 6, потому что миллион – это 10 в 6-й степени.

Использовать логарифмическую функцию становится несколько сложнее, когда в нее вводишь числа, отличные от явных степеней 10. Например, чтобы получить число 379 472, нужно возвести 10 в степень 5,579179. Чтобы получить число 565 331, 10 возводят в степень 5,752303. Таким образом, как и в случае многих других шорткатов, для использования этого нужно проделать большую предварительную работу. Непер потратил много часов на подготовку таблиц, в которых можно найти логарифмы разных чисел, но, когда эти таблицы были готовы, шорткат заработал в полную силу.

Потому что, если у вас есть два числа, выраженные в виде степеней 10, например, 10^a и 10^b, перемножить их очень просто. Их произведение равно 10^a+b. То есть можно не заниматься тяжелой работой по перемножению 379 472 × 565 331, а сложить логарифмы этих чисел – 5,579179 + 5,752303 = = 11,331482 – а затем найти значение 10^11,331482 в таблицах, которые подготовил Непер.

Идея применения вычислительных таблиц для ускорения арифметических операций была не нова. Кажется даже, что некоторые из клинописных табличек древних вавилонян применялись именно для этого. В них для перемножения больших чисел была задействована другая формула. Если взять два больших числа A и B, то алгебраическое соотношение

A × B = 1/4 × {(A + B)² – (A – B)²}

заменяет умножение вычитанием двух квадратов. Хотя такие алгебраические обозначения появились только в IX веке, вавилоняне понимали связь между квадратами и произведениями, которая позволяла им пользоваться шорткатом к вычислению произведения A и B. Вместо вычисления квадратов их можно было просто найти в одной из таблиц квадратов, предварительно рассчитанных писцами.

Непер описал найденный им шорткат в книге под названием «Описание чудодейственной таблицы логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614). Читателям этой книги те идеи, которые она распространяла, и впрямь казались настоящим чудом. Оксфордский математик Генри Бригс, бывший первым профессором престижной кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем в Новом колледже, в котором профессорствую и я, был настолько поражен могуществом логарифмов Непера, что предпринял четырехдневное путешествие к Неперу в Шотландию. Он писал: «Я никогда не видел книги, которая доставила бы мне большее удовольствие или большее удивление».

На протяжении многих столетий эти таблицы давали естествоиспытателям и математикам шорткаты к сложным вычислениям. 200 лет спустя великий французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас заявил, что логарифмы «сокращают тяжелые труды, удваивая жизнь астронома и избавляя его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений».

В этой фразе Лаплас выражает важнейшее качество хорошего шортката: он освобождает разум, позволяя прилагать свои силы к более интересным предприятиям. Но истинную свободу от рутины вычислений ученые обрели лишь с появлением вычислительных машин.

Механические калькуляторы

Одним из первых могущество машин в качестве шортката к вычислениям осознал великий математик XVII века Готфрид Лейбниц: «Недостойно превосходных мужей тратить часы на рабский труд вычислений, который без опаски можно было бы поручить любому другому, если бы использовались машины».

Идея машины, которую Лейбниц в конце концов построил, возникла у него при знакомстве с шагомером. «Когда я увидел прибор, с помощью которого можно подсчитывать шаги, не думая об этом, мне немедленно пришло в голову, что и все арифметические операции могут быть выполнены посредством подобного рода устройства».

Шагомер был основан на чрезвычайно простой идее: когда шестерня с десятью зубьями проходит полный оборот, она поворачивает на одно деление другую, соединенную с ней шестерню, которая отсчитывает десятки шагов. Позиционная система счисления на основе шестеренок. Вычислительная машина Лейбница, которую он назвал «пошаговым арифмометром», умела складывать, умножать и даже делить. Но физическое воплощение его идей оказалось делом трудным. «Если бы только мастер мог исполнить прибор так же, как я задумал его модель», – писал он.

Он привез деревянный прототип своей машины в Лондон, чтобы показать его членам Королевского общества^[26]. Роберт Гук, уже прославившийся своей придирчивостью, был совершенно не в восторге. Разобрав машину на части, он заявил, что мог бы создать гораздо более простое и рациональное устройство. Лейбница это не остановило; в конце концов он сумел нанять искусного часовщика, который и построил машину, способную открыть вычислительный шорткат, обещанный Лейбницем.

У Лейбница была и идея еще более грандиозная. Он хотел механизировать не только арифметику, но и все мышление вообще. Он хотел свести философские рассуждения к математическому языку, который можно было бы внедрить в машину. Ему представлялось время, когда два философа, не согласные по поводу какой-нибудь идеи, смогут просто обратиться к машине, которая разберется в их разногласиях и установит, кто из них прав.

Когда я был в Ганновере, в котором жил Лейбниц, мне посчастливилось увидеть одну из его машин. Это великолепная вещь, и нам очень повезло, что она у нас есть. В течение нескольких лет оригинал машины валялся на чердаке в Геттингене – университетском городе, в котором учился и работал Гаусс. Машину вновь обнаружили только в 1879 году, когда рабочие, пытавшиеся починить протекавшую крышу здания, наткнулись на нее в углу чердака.

Машина Лейбница положила начало процессу, который впоследствии привел нас к нынешним калькуляторам и компьютерам. Но это не означает, что возможности компьютеров безграничны. В наше время мы склонны считать, что компьютеры настолько хорошо умеют выполнять быстрые вычисления, что могут сделать практически что угодно. В 1984 году журнал Time утверждал: «Стоит ввести в компьютер правильную программу, и он сделает все, что вам захочется». Но у компьютеров есть ограничения. Даже им иногда требуется программист-человек, способный придумать хитроумный шорткат, чтобы избежать вычислений, выполнение которых на компьютере займет все время существования Вселенной.

Один из самых интересных шорткатов, которые используют компьютеры, связан с применением чисел нового типа, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с миром практических вычислений, – мнимых чисел.

Сквозь математическое зеркало

Можете ли вы решить уравнение x² = 4? Вам, вероятно, не составит труда найти решение x = 2, потому что при возведении 2 в квадрат получается 4. Если немного подумать, вы можете найти и второе решение, потому что x = –2 тоже подходит. Дело в том, что квадрат отрицательного числа – это число положительное. Поэтому –2 в квадрате тоже равно 4.

Это очень простое уравнение. Но что, если я попрошу вас решить вот это:

x² – 5x + 6 = 0?

Вероятно, при виде этого уравнения у многих читателей пробежали по спине мурашки, потому что это одно из квадратных уравнений – уравнений, содержащих х в квадрате, – решать которые учат в школе. Собственно говоря, общую алгоритмическую процедуру, позволяющую получить решение, придумали еще древние вавилоняне. Хотя у них еще не было алгебраического языка для выражения математических идей, в современных обозначениях для поиска корней обобщенного квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0

применяется следующая формула:

Значит, в случае уравнения x² – 5x + 6 = 0 нужно подставить в формулу a = 1, b = –5 и c = 6, и мы получим решения x = 2 или x = 3.

Могущество математики по части создания шорткатов для тяжелой работы начало проявляться еще в вавилонскую эпоху. До открытия этой формулы каждое квадратное уравнение приходилось решать вручную. Каждый раз писцы заново изобретали колесо, не сознавая, что снова и снова делают одно и то же, хотя и с разными числами. Но в какой-то момент нашелся писец, который понял, что существует общая алгоритмическая процедура, работающая, к каким бы числам она ни применялась.

В этот момент и началась математика. Это искусство распознавания паттернов, лежащих в основе бесконечного количества таких уравнений. Паттерн показывает, что требуется не потенциально бесконечная работа, а, по сути дела, всего одна операция. Выучивший алгоритм или формулу решения уравнения получает в свое распоряжение шорткат к решению бесконечно многих разных уравнений. Рождение математики в вавилонскую эпоху показывает, почему математику и в самом деле можно назвать искусством шортката.

Но позволяет ли этот шорткат решить все квадратные уравнения?

Как насчет решения уравнения x² = –4? На протяжении многих столетий считалось, что у этого уравнения нет решений. Числа, которые мы используем для подсчета предметов, обладают тем свойством, что их возведение в квадрат всегда дает число положительное. Вавилонский алгоритм – или вавилонская формула – не помогает решить это уравнение, потому что для этого требовалось бы понять, что такое квадратный корень из –4.

Но в середине XVI века произошло одно довольно странное событие. В 1551 году итальянский математик Рафаэль Бомбелли работал над проектом осушения болот в долине Кьяна, относившейся тогда к Папской области. Все шло хорошо, пока работы внезапно не пришлось приостановить. Поскольку Бомбелли было нечем заняться, он решил написать книгу по алгебре. Его увлекли новые интересные формулы для решения уравнений, о которых он прочитал в книге другого итальянского математика, Джироламо Кардано.

Вавилоняне придумали формулу для решения квадратных уравнений. Но как быть с уравнениями кубическими, например, x³ – 15x – 4 = 0? Несколькими десятилетиями раньше многие математики заявляли, что нашли формулы для их решения. В то время математики не публиковали статьи в научных журналах, а сходились друг с другом в математических поединках – публичных диспутах. Я так и вижу эту великолепную картину: как субботним утром на городской площади собираются шумные фанаты местного математика, чтобы поддержать его в очередной схватке ученых. Формула одного из математиков явно превосходила своими достоинствами все то, что предлагали остальные. Этого единоборца от математики звали Никколо Фонтана, но более известно было его прозвище – Тарталья^[27]. Ему, понятно, не хотелось раскрывать секрет своего успеха, но в конце концов Кардано уговорил его поделиться формулой при условии, что Кардано не будет ее разглашать.

Кардано держался несколько лет, но в конце концов не смог удержаться от искушения. Он напечатал формулу Тартальи во всей ее славе в своей знаменитой книге Ars Magna^[28], вышедшей в свет в 1545 году. Когда Бомбелли прочитал книгу Кардано и применил пресловутую формулу к уравнению x³ – 15x – 4 = 0, произошло нечто довольно странное. В некоторый момент формула требовала извлечения квадратного корня из –121. Бомбелли мог извлечь квадратный корень из 121. В этом не было ничего сложного – он равен 11. Но что такое квадратный корень из –121?

У математиков и раньше возникала эта странная потребность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, но обычно, дойдя до этого места, они отступали. Кардано столкнулся с той же проблемой и бросил вычисления. Считалось, что таких чисел не бывает. Но Бомбелли оказался не робкого десятка. Он продолжил работу с формулой, приведенной в книге Кардано, просто оставив в ней это странное несуществующее, мнимое число. Затем числа как бы по волшебству взаимно сократились, и он получил решение: x = 4. И действительно, когда он подставил это решение в исходное уравнение, оно оказалось верным.

Чтобы добраться до пункта назначения – решения x = 4, – Бомбелли пришлось пересечь мир мнимых чисел. Он как бы прошел сквозь некое волшебное зеркало и обнаружил за ним новую страну, путь через которую вел к другому порталу, позволявшему вернуться в мир нормальных чисел и добраться до желанной цели. Но пути к решению, не проходившего через этот воображаемый мир, не существовало. Бомбелли начал подозревать, что речь идет не просто об искусственном приеме; что, может быть, такие числа, находящиеся по ту сторону зеркала, все же действительно существуют. Просто математикам нужно достаточно смелости, чтобы допустить их в мир чисел.

Работа, которую опубликовал Бомбелли, привела к открытию мнимых чисел. Первое из таких чисел, квадратный корень из –1, в конце концов получило особое обозначение – i. Буква i обозначает слово imaginaire – воображаемый, мнимый; это пренебрежительное название ввел несколько лет спустя французский философ и математик Рене Декарт, не питавший к этим странным неуловимым числам никаких теплых чувств.

И все же Бомбелли открыл их могущество. В его книге был приведен полный анализ способов обращения с мнимыми числами. При решении таких кубических уравнений те, кто был готов пройти сквозь зеркало в мир мнимых чисел, мог воспользоваться шорткатом к ответу. В конце концов математики начали называть такие числа компле́ксными, в отличие от чисел вещественных, известных всем нам с самого детства^[29].

Настойчивость Бомбелли произвела большое впечатление на Лейбница, назвавшего его выдающимся мастером аналитического искусства: «Итак, некий инженер, Бомбелли, находит практическое применение комплексным числам – возможно, потому что они позволили ему добиться полезных результатов, – в то время как Кардано считал квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. Бомбелли первым дал описание каких бы то ни было комплексных чисел… Его изложение законов вычисления комплексных чисел отличается замечательной доскональностью».

На протяжении целых столетий математики продолжали относиться к этим числам чрезвычайно подозрительно. Если вам нужен квадратный корень из 2, это число, хотя его представление в виде десятичной дроби и бесконечно, можно найти на линейке. Оно расположено где-то между 1,4 и 1,5. Но где находится квадратный корень из –1? На линейке его не увидишь. В конце концов способ, позволяющий увидеть комплексные числа, придумал мой герой – Карл Фридрих Гаусс.

До Гаусса числа, которые использовали математики, изображали отметками на горизонтальной прямой: отрицательные числа отсчитывались влево, положительные – вправо. Гаусс принял гениальное решение пойти в новом направлении. Новые числа стали отсчитываться по вертикали. В представлении Гаусса числа стали не одно-, а двумерными. Его новая карта чисел оказалась чрезвычайно продуктивной. Ее геометрия отражала алгебраический характер поведения этих чисел. Как я объясню в главе 5, хороший чертеж бывает поразительно действенным шорткатом к объяснению сложных идей.

Гаусс изобрел это графическое представление комплексных чисел в процессе поисков доказательства одного поразительного их свойства. Если взять любое уравнение, каким бы сложным оно ни было, состоящее из разных степеней х, не только кубов, для нахождения его корней всегда можно использовать мнимые числа. Изобретать новые числа не было нужды. Мнимые числа уже были средством, достаточно сильным для решения всех уравнений. Это великое открытие Гаусса называется сейчас основной теоремой алгебры^[30].

Карта Гаусса стала фантастически полезным шорткатом к ориентации в этом странном новом мире мнимых чисел. Как ни странно, Гаусс хранил свое двумерное визуальное представление в тайне. Позднее его заново независимо открыли два математика-любителя: сначала датчанин Каспар Вессель, а еще позднее – швейцарец Жан Арган. Сегодня эту карту называют диаграммой Аргана^[31]. Слава редко достается по заслугам.

Впоследствии французский математик Поль Пенлеве писал в книге «Анализ научных работ до 1900 года» (Analyse des Travaux Scientifiques Jusqu’en 1900):

Естественное развитие этой работы вскоре привело к тому, что геометры стали учитывать в своих исследованиях наряду с вещественными и мнимые величины. Выяснилось, что самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую.

Пенлеве был не только математиком, но и премьер-министром Франции. Его первое пребывание в этой должности продлилось всего девять недель, но за это время ему пришлось разбираться с последствиями революции в России и вступления США в Первую мировую войну, а также заниматься подавлением мятежа во французской армии^[32].

Хотя комплексные числа прямо не используются в моей работе, я часто прибегаю к их философским основам. Такого рода шорткаты в чем-то похожи на кротовые норы, позволяющие попасть из одного конца Вселенной в другой, которые так любят создавать писатели-фантасты. В любой ситуации имеет смысл проверить, не спрятано ли где-нибудь зеркало, сквозь которое можно добраться до цели.

В моих математических исследованиях я пытаюсь понять все симметрии, какие только можно построить. Но, как ни странно, тот путь к решению этой задачи, который я нашел, предполагает создание нового объекта, называемого дзета-функцией, который происходит совершенно из другой области математики. Тем не менее это позволило мне взглянуть на мои собственные исследования с новой точки зрения, которой у меня не могло бы быть, если бы я не выходил за пределы мира симметрии. Как я объясню на нашей следующей технической остановке, на которой мы познакомимся с предпринимателем Брентом Хоберманом, пришествие интернета привело к появлению фантастического зеркала, прохождение через которое позволяет обойтись без посредников в самых разнообразных коммерческих сделках.

Иногда кротовую нору, помогающую найти путь к решению, можно обнаружить, просто сменив ландшафт, по которому мы движемся. Когда я захожу в тупик при работе над какой-нибудь математической задачей, я часто слушаю музыку или упражняюсь на виолончели – это помогает моему разуму отвлечься. А когда я возвращаюсь к письменному столу, часто оказывается, что мой взгляд на задачу странным образом изменился. Слушание музыки, перемещение совершенно в другую среду, может быть подобно получению доступа в мир мнимых чисел, в котором, как писал Пенлеве, обнаруживаешь более короткий путь к цели. Вполне имеет смысл поэкспериментировать с имеющимися альтернативными маршрутами – они могут помочь добраться до тайной дверцы, ведущей к новому образу мыслей.