Читать книгу: «Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта»

Постановка задачи

В 1900г. на 1 Международном математическом конгрессе, известный математик Давид Гильберт[1] поставил перед математиками всего мира 23 задачи. Эти задачи принято называть "Проблемами Гильберта".

Решением десятой проблемы Гильберта стало признание ее неразрешимости, доказанное советским математиком Ю.В.Матясевичем [2] в 1970г.

Доказательство неразрешимости Матиясевича признано как единственно допустимое, но возможно это не так.

Итак, для того, чтобы опровергнуть, либо подтвердить это доказательство нужно вначале напомнить задачу, определенную Д.Гильбертом в 10-й проблеме.

«Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах»

То есть нужно найти некий алгоритм, при помощи которого возможно находить натуральные (целочисленные) значения для произвольных неизвестных.

Решение проблемы

Самое известное уравнение Диофанта[3] это формула Пифагора[4].

Известны также так называемые «тройки Пифагора», целочисленные значения для неизвестных «a,b,c»

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25 и т.д. Эти тройки имеют два сходства: первое – квадрат первого числа равен сумме двух других чисел, второе – разница между вторым и третьим числом равна 1. Следовательно, можно предположить, что это не случайные совпадения. Исходя из этого, составим равенства

Теперь, используя все эти формулы, составим уравнения

Подставим эти уравнения в формулу Пифагора

Получилось равенство значений правой и левой сторон уравнения. Это можно считать доказательством существования алгоритма нахождения натуральных значений «пифагоровых троек». Итак, обобщим формулы алгоритма и собственно получившийся алгоритм

Но эти формулы диофантовы лишь для нечетных чисел, хотя при постановке в формулы четных чисел для «а» также можно найти значения двух других чисел «b» «c», эти значения будут рациональными, но не целыми числами.

Пример № 1

«а»= 8

Также, применяя этот алгоритм, можно находить соответствующие значения «троек» для любых рациональных чисел.

Пример № 2

a=2,5

Так как закономерностью алгоритма является соотношение

то значение «c» можно найти, добавив к числу «b» 1

Алгоритм верен и для дробей

Пример № 3

И для квадратных корней

Пример № 4

Применяя этот алгоритм, можно находить значения практически всех троек Пифагора.

Доказательство теоремы Ферма

Постановка вопроса о разрешимости диофантовых уравнений подразумевала также доказательство теоремы Ферма[5]. Почему же не может существовать целочисленные значения для уравнений вида

При

Собственно от формулы Пифагора это уравнение отличается только значением степени, поэтому формула Пифагора принадлежит к этим уравнениям.

А раз она принадлежит к данным уравнениям, то для нахождения решений можно применить универсальный алгоритм. Для этого нужно это произвольное уравнение перевести в степень 2

Упростим уравнение

Теперь можно применить одну из формул алгоритма

Для нахождения значений этого уравнения, кратностью можно пренебречь, так как в любом случае существует исходная тройка взаимно простых чисел. Поэтому применим формулу исходного алгоритма

По условиям алгоритма, должно получиться равенство

Предположим, что такое равенство возможно. Но коэффициент числа «b» меньше 1, так как сумма, которую представляет число «с», больше слагаемого, которое представляет число «b».

Из этого следует что

что соответствует утверждению Ферма о невозможности существования натуральных чисел, и не соответствует условиям алгоритма, это наглядно показывает ,что не существует целочисленных решений для уравнений вида

При

А так как в приведенных выше примерах доказано, что алгоритм является верным не только для натуральных, но и для всех рациональных чисел, то можно уверенно утверждать: не существует даже рациональных решений для уравнений этого вида.