Читать книгу: «Reflexiones teóricas para la Educación Matemática»

Introducción

Este libro convoca al lector a pensar sobre la enseñanza de la matemática. No sobre la enseñanza de algunos conceptos matemáticos en particular sino sobre el proceso de construcción de conocimientos matemáticos en una clase. Proceso complejo, sin duda. Proceso en el que necesariamente se juegan tomas de posición: cómo se concibe la matemática, por y para qué se enseña en la escuela, qué es aprender, qué tipo de producción se espera de los alumnos, esos futuros ciudadanos, más probablemente “laicos” que “sacerdotes” del credo matemático.

Se trata de un libro teórico. Para mayor precisión, un libro de teoría didáctica. O sea, un libro en el que el “objeto” de estudio –el “misterio”, la “caja negra”– constituye el conjunto de asuntos que intervienen en la elaboración de conocimientos en una clase; clase inserta en una institución, institución que forma parte de la sociedad. ¿Cuáles son aquellos asuntos? Eso depende de la teoría y, en parte, este libro se ocupa de ello.

¿En qué medida un libro en el que se desarrollan perspectivas teóricas acerca de la educación matemática “le sirve” a un profesor (actual o futuro)? La respuesta –como siempre– es relativa. Depende de cómo se ubique el profesor. Si el profesor concibe la enseñanza como un “problema a resolver”, si piensa que enseñar supone la toma de decisiones que admiten algún nivel de fundamentación, la teoría didáctica sirve para enriquecer la perspectiva de la enseñanza, para tomar conciencia de la complejidad de los procesos allí involucrados, para volver problemático lo que funciona como “natural”, para producir explicaciones nuevas para hechos que preocupan desde hace tiempo, para cuestionar, para criticar, para profundizar. El lector encontrará en este libro varias advertencias que señalan que la teoría didáctica no propone reglas de acción que se puedan utilizar en el aula de manera inmediata. Sostenemos de todos modos su “utilidad” porque concebimos que, para poder actuar, el profesor necesita tomar su práctica como objeto de reflexión y producir ideas que sustenten mejor esa acción siempre renovada de enseñar.

Este libro está compuesto por tres artículos: uno escrito por Patricia Sadovsky sobre la Teoría de Situaciones Didácticas, propuesta y desarrollada inicialmente por Guy Brousseau; otro elaborado por Ana Bressan, Betina Zolkower y María Fernanda Gallego, en el que se tratan los principios de la Educación Matemática Realista, que reconoce como fundador al matemático holandés Hans Freudenthal; y un tercero, cuyo autor es Humberto Alagia, en el que se invita a reflexionar sobre las complejas relaciones entre la Educación Matemática como proyecto social que compromete a un amplio abanico de hombres, mujeres e instituciones de nuestra sociedad, y la Educación Matemática como dominio de conocimiento que se nutre de las producciones de los distintos grupos de investigadores que desarrollan su actividad en el mundo académico.

Tanto la Teoría de Situaciones como la Educación Matemática Realista proponen modelos para los procesos de producción matemática en el ámbito escolar. Para ello problematizan la actividad matemática misma. Lo hacen con miradas y énfasis diferentes pero con puntos de partida convergentes: la matemática es una actividad humana a la que todos pueden acceder, y es la actividad misma, y no sólo sus resultados –aunque éstos obviamente se incluyen–, la que se constituye en un objeto de enseñanza con alto valor formativo para niños y jóvenes.

Problematizar la actividad matemática de la clase supone analizar cuáles son los procesos que dan lugar a la producción de conocimientos, qué características tienen sus problemas, qué papel juegan los contextos particulares, cómo se validan sus soluciones, cómo se conforman y evolucionan sus normas, cómo emergen y se desarrollan diferentes modos de representar los objetos, cómo se constituyen las teorías, cómo intervienen las interacciones sociales, qué papel juega el docente como actor diferenciado. Explicitar las referencias que se toman para realizar estos estudios también forma parte del desarrollo teórico.

Problematizar la actividad matemática de la clase constituye a la vez una tarea matemática y didáctica: se trata de estudiar un tipo de actividad particular –la de la disciplina matemática– en la que está presente la intención de enseñar. Las relaciones entre la producción teórica y la práctica de enseñar –preocupación legítima de los profesores, preocupación necesaria de los investigadores– están tratadas y problematizadas en el artículo de Humberto Alagia. Hay en este asunto todavía mucha tela para cortar: los tiempos, las exigencias y las condiciones en las que se produce conocimiento en el marco de la investigación didáctica no van en general de la mano de las necesidades que tiene un profesor cuando debe decidir su proyecto de enseñanza. La investigación, a su vez, no puede perder de vista que en su horizonte está –debe estar– la tarea de aportar elementos que mejoren la enseñanza. Los profesores por su parte no deberían esperar los métodos que la investigación nunca va a producir, ya que tal empresa no forma parte de su objeto: estudiar los procesos de producción de conocimiento matemático en la clase no deriva –no puede derivar– en un conjunto de normas y prescripciones para enseñar. Como se sostiene en el artículo de Alagia: hay una tensión compleja y difícil de manejar entre la disciplina y las urgencias del proyecto.

Comenzamos diciendo que este libro convoca a pensar sobre la enseñanza de la matemática. Precisamos ahora: este libro convoca a pensar colectivamente sobre la enseñanza de la matemática. Efectivamente, éste no es un libro para leer en soledad. Es un libro de estudio y, por lo tanto, de discusión. Queda para los lectores, la tarea nada sencilla de establecer relaciones entre las diferentes posiciones que se exponen, encontrar vínculos, identificar distancias, reconocer acuerdos y desacuerdos, aceptar aportes... Precisamos entonces aún más: este libro convoca a trabajar colectivamente sobre la enseñanza de la matemática; después de todo, la lectura y el estudio constituyen actos de producción.

Patricia Sadovsky

La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la matemática1

PATRICIA SADOVSKY

1. Introducción

Una teoría –sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, en nuestro caso– queda al mismo tiempo lejos y cerca de esos ámbitos complejos, las aulas, en los cuales los docentes deben (intentan, desean, pelean por) enseñar y los alumnos deben (intentan, desean, se resisten a) aprender. Lejos, porque la teoría no es un espejo –¿lamentablemente?– de la realidad; cerca, porque ofrece herramientas para pensar sobre la realidad. Lejos, porque la teoría no provee ni reglas, ni normas, ni prescripciones para actuar; cerca, porque profundiza nuestra comprensión de los hechos de las clases, al producir explicaciones que muestran una amplia zona de matices allí donde antes veíamos un solo color. Lejos, porque en el “terreno” en que ocurre el encuentro –¿la batalla?, ¿la transacción?, ¿la comunión?– entre alumnos y docentes acerca del saber matemático acontecen hechos que la teoría no contempla; cerca, porque la teoría nos deja ver cuestiones de la enseñanza que no nos resultan accesibles aun participando activamente –con todo lo que ello implica– en el día a día de las aulas. Lejos, porque en el trabajo cotidiano irrumpen imprevistos que se escapan necesariamente a cualquier predicción teórica; cerca, porque la teoría nos permite advertir que aquello que siempre estuvo ahí, que es así, es el resultado de decisiones de los hombres y no un ordenamiento –lógico o caprichoso, no importa– de la naturaleza.

Una teoría es un recorte, un modelo que intencionalmente selecciona algunos de los aspectos del proceso que se quiere estudiar. Por eso carece de sentido atribuirle desajustes con respecto a la realidad: no se pretende atrapar todo, no se anuncia lo que va a ocurrir, no se garantiza que las cosas vayan a transitar de la mejor manera posible.

Una teoría no es una cuestión de nombres. Los nombres –los conceptos, que en realidad se nombran de una cierta manera– se vuelven herramientas cuando permiten conocer nuevos asuntos que no están identificados fuera de la teoría. Los nombres –los conceptos– cobran sentido además cuando se relacionan unos con otros formando un cuerpo estructurado. Cuando se usan para “aplicar” nuevas palabras a aquello que ya conocíamos, no aportan nada productivo. Lo que importa es ampliar –modificar– nuestra perspectiva de la enseñanza y el aprendizaje. Actuar mejor a partir de ello no es una consecuencia inmediata. Entre el saber teórico y la práctica, hay personas y hay instituciones, creencias, responsabilidades, exigencias, lealtades y traiciones, ideologías... Todo ello condiciona la escena que efectivamente sucede en las clases.

Desde esta ubicación, según la cual una teoría está separada de la realidad al mismo tiempo que –por hacerla inteligible– brinda elementos para intervenir sobre la realidad, es que nos disponemos ahora a desarrollar nuestra interpretación de algunas ideas de la Teoría de Situaciones Didácticas, formulada inicialmente por Guy Brousseau2 y retomada, reformulada y enriquecida por una amplia comunidad de investigadores, fundamentalmente de la comunidad francesa de Didáctica de la Matemática.

2. La Teoría de Situaciones Didácticas: un modelo de las interacciones didácticas. Primeros anticipos

Guy Brousseau (1986, 1988 a, 1988 b, 1995, 1998, 1999) propone un modelo desde el cual pensar la enseñanza como un proceso centrado en la producción de los conocimientos matemáticos en el ámbito escolar. Producir conocimientos supone tanto establecer nuevas relaciones como transformar y reorganizar otras. En todos los casos, producir conocimientos implica validarlos, según las normas y los procedimientos aceptados por la comunidad matemática en la que dicha producción tiene lugar.3

Concebir la clase como un ámbito de producción supone ya una toma de posición: respecto del aprendizaje, de la enseñanza, del conocimiento matemático, de la relación entre el conocimiento matemático que habita en la escuela y el que se produce fuera de ella.

Brosseau toma las hipótesis centrales de la epistemología genética de Jean Piaget como marco para modelizar la producción de conocimientos. Sostiene al mismo tiempo que el conocimiento matemático se va constituyendo esencialmente a partir de reconocer, abordar y resolver problemas que son generados a su vez por otros problemas. Concibe además la matemática como un conjunto organizado de saberes producidos por la cultura.

La concepción constructivista lleva a Brousseau (1986) a postular que el sujeto produce conocimiento como resultado de la adaptación a un “medio” resistente con el que interactúa: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta a través de respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje”.

A la vez, Brousseau (1988 a) postula que para todo conocimiento (matemático) es posible construir una situación fundamental, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento y para la cual éste determina la estrategia óptima.

La concepción de la matemática como un producto de la cultura permite concebir la diferencia entre el conocimiento que se produce en una situación particular y el saber estructurado y organizado a partir de sucesivas interpelaciones, generalizaciones, puestas a punto, interrelaciones y descontextualizaciones de las elaboraciones que son producto de situaciones específicas. Resulta entonces que no se puede acceder al saber matemático si no se dispone de los medios para insertar las relaciones producidas en la resolución de un problema específico en una construcción teórica que abarque dichas relaciones. En términos de Brousseau: “un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera” (1986).

Los elementos centrales de la teoría quedan esbozados a partir de estas tres hipótesis generales.

El modelo de Guy Brousseau describe el proceso de producción de conocimientos matemáticos en una clase partiendo de dos tipos de interacciones básicas: a) la interacción del alumno con una problemática que ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego; y b) la interacción del docente con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la problemática matemática. A partir de ellos postula la necesidad de un “medio” pensado y sostenido con una intencionalidad didáctica.

Las interacciones entre alumno y medio se describen a través del concepto teórico de situación adidáctica, que modeliza una actividad de producción de conocimiento por parte del alumno independientemente de la mediación docente. El sujeto entra en interacción con una problemática, poniendo en juego sus propios conocimientos, pero también modificándolos, rechazándolos o produciendo otros nuevos, a partir de las interpretaciones que hace sobre los resultados de sus acciones (retroacciones del medio). El concepto de medio incluye entonces tanto una problemática matemática inicial que el sujeto enfrenta, como un conjunto de relaciones –esencialmente matemáticas también– que se van modificando a medida que el sujeto produce conocimientos en el transcurso de la situación, transformando en consecuencia la realidad con la que interactúa.

Las interacciones entre docente y alumno a propósito de aquella del alumno con el medio se describen y se explican a través de la noción de contrato didáctico. Esta herramienta teórica da cuenta de las elaboraciones con respecto a un conocimiento matemático en particular, que se producen cuando cada uno de los interlocutores de la relación didáctica interpreta las intenciones y las expectativas –explícitas e implícitas– del otro en el proceso de comunicación. Cuando el docente dice, gesticula o sugiere a raíz de una intervención del alumno referida al asunto matemático que se está tratando, además de lo dicho explícitamente, juega una intención que muchas veces se expresa entrelíneas. El alumno –justamente porque es alumno– trata de descifrar los implícitos: supone, infiere, se pregunta –y se responde– qué quiso decirle el docente con sus gestos. Todo eso interviene en la conceptualización que el alumno logra alcanzar. De alguna manera, el concepto de contrato didáctico nos permite tomar conciencia de que una parte de las ideas matemáticas de los alumnos son producto de inferencias que, por provenir de lo que el docente expresa pero no necesariamente dice, escapan generalmente a su control. Más adelante volveremos sobre estas cuestiones.

Brousseau señala que la necesidad teórica de un “medio” está dada por el hecho de que la relación didáctica va a extinguirse, y en el futuro el alumno deberá hacer frente a situaciones desprovistas de intenciones didácticas (1986). A esto nosotros agregaríamos que un proceso de aprendizaje basado principalmente en interacciones con el docente, sin la confrontación del alumno con una porción de la “realidad”4 que puede conocerse –y por lo tanto modificarse– a través de las herramientas que ofrece la matemática, deja muy poco espacio para que el alumno confronte sus anticipaciones con las respuestas de la “realidad” con la que interactúa y en esa confrontación aprenda a controlarla por un lado y a reconocer el alcance de las relaciones utilizadas, por otro. Desde nuestro punto de vista, sin las interacciones con un medio se desdibuja tanto el papel de los conceptos matemáticos en tanto medio de resolución de problemas como la posibilidad de poner en juego herramientas de validación propias de la disciplina.

Ahora bien, una visión de la enseñanza que se centre exclusivamente en los procesos de producción de conocimientos en interacción autónoma con un medio, sin las retroacciones de quienes comparten la misma comunidad, ni la mediación de quienes representan el saber cultural (los docentes), desconoce que las respuestas a problemas particulares no se insertan de manera automática en un sistema organizado de conocimientos que permite abordar cuestiones que van mucho más allá del contexto que las hizo observables. Dicho de otro modo, se estaría desconociendo el carácter social y cultural de la construcción de conocimientos escolares. En la perspectiva de Brousseau, la clase se piensa como un espacio de producción en el cual las interacciones sociales son condición necesaria para la emergencia y la elaboración de cuestiones matemáticas. El marco cultural de la clase impone restricciones que condicionan el conocimiento que se elabora. Por ejemplo, las herramientas matemáticas de los alumnos hacen posible que se desarrollen algunas demostraciones pero no otras. Por otro lado, la referencia –inevitable– del docente hacia la comunidad matemática erudita juega un papel regulador en la constitución de ese marco cultural. Efectivamente, el docente, por ser representante del saber matemático tolerará –aunque sea provisoriamente– algunas producciones pero no lo hará con otras que pueden parecerle muy alejadas de aquello que quiere instituir. Estas regulaciones del docente que tienen como doble referencia la clase, por una parte, y la disciplina matemática en tanto conjunto organizado de saberes, por otra, se explican a través de la noción teórica de contrato didáctico.

Los dos tipos de interacciones básicos a los que nos hemos referido, sujeto/medio y alumno/docente, conforman en la Teoría de Situaciones un sistema, es decir que no pueden concebirse de manera independiente unas de las otras. Este sistema es la situación didáctica. Las relaciones entre los subsistemas resultan complejas y están sujetas permanentemente a reelaboraciones teóricas. Profundizaremos a continuación la noción de situación adidáctica.

3. Acerca de la noción de situación adidáctica

Una situación adidáctica consiste en una interacción entre un sujeto y un medio a propósito de un conocimiento. “Hemos llamado ‘situación’ al modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas ‘situaciones’ requieren de la adquisición ‘anterior’de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso ‘genético’. Notemos que la misma palabra ‘situación’ sirve, en su sentido ordinario, para describir tanto al conjunto (no necesariamente determinado) de condiciones que enmarcan una acción, como al modelo teórico y eventualmente formal que sirve para estudiarla” (Brousseau, 1999).

Esta doble acepción de la palabra “situación” a la que se refiere Brousseau, ha llevado en algunos casos a identificar “situación” con “problema matemático”. La confusión no resulta menor, justamente porque en el modelo de Brousseau no es solamente el problema el que determina la producción de conocimientos –interpretación que daría lugar a poner la teoría bajo sospecha de una suerte de empirismo– sino la interacción que puede entablarse entre el sujeto y un “medio resistente” (en el cual, sin duda, el problema es un núcleo principal).

Nos interesa resaltar la idea de que la situación constituye una interacción. ¿Por qué? La palabra “interacción” da cuenta de un ida y vuelta entre el sujeto y el medio: frente a un problema el sujeto elige una alternativa matemática entre varias posibles, la pone en juego y tiene la posibilidad de analizar los resultados de sus acciones reafirmando sus decisiones o rectificándolas. Al llevar a cabo este movimiento está produciendo conocimiento, ya sea que confirme que una cierta relación matemática se ajusta al problema que encara, ya sea que tome conciencia de que lo realizado no es pertinente. Esta producción modifica el medio: ya no sólo están en él el problema y los conocimientos iniciales que fueron puestos en juego sino también los nuevos que se produjeron en la interacción con el problema.

Pareciera que estuviéramos atribuyéndole cualidades humanas al medio, cuando decimos que ofrece respuestas a las acciones del sujeto –retroacciones–. En realidad es el sujeto quien se ubica en posición de interpretar los resultados de sus acciones buscando analizar si las decisiones tomadas se encaminan a su finalidad (la resolución del problema). Para que este juego de acciones y retroacciones a raíz de una problemática matemática sea posible se “piden” –en el mismo sentido en que se pide, por ejemplo, que una cierta función cumpla con una característica– dos condiciones indispensables: que el sujeto –el alumno convocado a aprender– se ubique en una posición de producción; y que el problema y el modo de plantearlo ofrezcan la posibilidad de que el sujeto valide sus acciones. Vemos entonces que los requerimientos del modelo condicionan tanto las características del medio como la posición del sujeto que interactúa con él. Esto trae aparejada la obligación teórica de precisar más detalladamente dichas condiciones para cada uno de los conocimientos matemáticos cuya enseñanza quiere pensarse bajo el filtro de este modelo.

El carácter de “adidáctico” remite a un tipo de vínculo con el medio, en el que el sujeto compromete esencialmente su sistema matemático de conocimientos. “Entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquél en el que produce su respuesta, el maestro rehusa intervenir proponiendo los conocimientos que quiere ver aparecer. El alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber también que este conocimiento está enteramente justificado por la lógica interna de la situación y que puede construirlo sin atender a razones didácticas” (Brousseau, 1986).

Como lo han señalado muchos autores, por ejemplo Margolinas (1993), la noción de adidáctico –digamos de paso que ha sido objeto de interpretaciones muy diversas– se refiere al tipo de compromiso intelectual que el alumno tiene con el medio y no alude al “silencio” del maestro sino al hecho de que, para dar lugar a la producción de conocimientos, el docente no explicita cuáles son los conocimientos que el alumno debe movilizar.

De todos modos, contornear la idea de adidacticidad es todavía una obra en construcción. Digamos por el momento que lograr un compromiso intelectual del alumno con el medio es, en este modelo, responsabilidad del alumno y del docente. Cuando caractericemos el trabajo del docente, volveremos sobre la cuestión y daremos otra vuelta de tuerca a la noción de adidacticidad.

¿Quién es el sujeto de este modelo “situación”? Pensando en el tipo de interacción que se describe, aceptemos por el momento que el sujeto es un “sistema de conocimientos” (Perrin-Glorian, 1999), y veremos más adelante cómo se vincula tal sujeto con el alumno. Ante esta extraña caracterización del sujeto, cabe insistir en que estamos hablando de un modelo teórico. Todos sabemos que el alumno real y su sistema de conocimientos no se separan en la clase de matemática y que la cognición está atravesada por muchísimas cuestiones, entre las cuales las afectivas e institucionales tienen un gran peso. Simplemente, cuando en el marco del modelo se hace el estudio teórico para analizar un proceso genético de producción de conocimientos, se está poniendo en relación un cierto problema matemático con un conjunto de conocimientos con los cuales se contaría para interactuar con dicho problema. Recordemos una vez más que –por el momento– estamos poniendo la realidad a cierta distancia.

Dos condiciones son inherentes a la noción de situación adidáctica:

 el sujeto debe poder elegir entre varias estrategias, entendiendo que cuando elige una opción, rechaza en simultáneo otras alternativas;

 la situación tiene una finalidad5 que puede identificarse independientemente del conocimiento a producir.

¿Por qué Brousseau “pide” estas condiciones para las situaciones adidácticas?

La idea de elección múltiple está sustentada en la “necesidad” de provocar un juego entre anticipaciones y decisiones, a partir del cual el sujeto va modificando sus esquemas y produciendo conocimiento.

La posibilidad de elegir –y esto también, desde nuestro punto de vista, ha sido objeto de malentendidos– se va construyendo en las sucesivas instancias de la situación. ¿Qué queremos decir? El modelo situación adidáctica está concebido sobre el supuesto de que los conocimientos que están en juego en dicha situación tienen una complejidad tal que requieren de tiempos de elaboración más o menos prolongados. Por eso, se piensa en una situación que se implementa varias veces cambiando en cada oportunidad algunas condiciones –por ejemplo, los números en juego, las herramientas que se permiten para abordarlo o las formulaciones que se proponen– sobre el supuesto de que dichos cambios van dando lugar a la producción de nuevas relaciones matemáticas por parte del sujeto. Más que pensar en un problema particular como núcleo del medio, se piensa en un tipo de problema con condiciones variables, cuyas particularidades se “fijan” cada vez.

Por ejemplo, pensemos en el problema Reproducir un paralelogramo dado a partir de ciertos datos, dirigido a alumnos que están estudiando las propiedades de los cuadriláteros. El problema puede ser pensado para tratar dos asuntos6 : la identificación de los elementos que caracterizan el paralelogramo y el análisis de las condiciones de posibilidad de la construcción. Es claro que para que los alumnos puedan lograr una aproximación a los objetos matemáticos que están en juego, la situación deberá ser “jugada” una y otra vez. Para que las jugadas sean diferentes –de otro modo no se estarían produciendo nuevas relaciones– será necesario modificar en cada instancia o bien los datos con los que se trabaja, o bien las condiciones en que se hace la construcción: quién decide cuáles son los datos que se usan, qué instrumentos de geometría se permiten, o alguna otra variable que modifique la relación7 del alumno con la situación. Al interactuar una y otra vez con el mismo tipo de problema, el alumno va modificando su sistema de decisiones –de conocimientos– gracias a las lecturas que hace de las retroacciones del medio. En este caso, esas lecturas le informan si obtuvo o no el paralelogramo buscado. Las nuevas relaciones que va incorporando amplían el espectro de posibles que el alumno puede concebir y dan lugar al rechazo consciente de las decisiones erróneas.