Исследуем. Проектируем. Предлагаем

Геометрический умножатель

Капустин Владислав

ГБОУ города Москвы «Школа № 1384 имени А. А. Леманского»

Руководители:

Войнова Юлия Александровна, учитель математики;

Одноволик Юрий Валерьевич, учитель технологии

Консультант:

Кузнецова Ольга Владимировна, программист

Введение

Представьте на минуту, что вам пришла телеграмма, зашифрованная азбукой Морзе, а все вокруг вдруг забыли, каким образом можно раскодировать сообщение. Чтобы не потерять важную для вас информацию, вы бы выучили наизусть последовательность точек и тире и передавали бы ее другим людям до тех пор, пока не нашелся бы тот, кто сможет ее расшифровать.

Примерно такой же мне видится ситуация и с таблицей умножения. Заучив ее в младших классах и научившись использовать повсеместно, я пришел к мысли о том, что передо мной не просто цифры, а зашифрованное послание. Что же оно несет в себе? Как я могу приоткрыть завесу тайны над тем посланием, которое нам оставил Пифагор, а может быть, и кто-то из более древних мудрецов?

Сегодня многие люди полагают, что существует некое утраченное знание, которым человечество обладало в прошлом и которое медленно восстанавливается. Неспроста древние философы придавали сакральное значение определенным геометрическим формам и связывали их с тайнами мироздания. Их последователи оставили для нас важные послания, запечатленные в архитектурных, музыкальных и живописных произведениях. Изучение геометрических фигур, подобных пифагорейским и платоновским, способствует повторному обретению познания миропорядка, поскольку они являются носителями его в зашифрованном виде.

В данном проекте я хотел бы прикоснуться к тайне древних и приобщить как можно больше сверстников к созерцанию красоты двух миров, проявленных друг в друге, – мира чисел и всего окружающего нас мира. Моя цель заключается в познании геометрических законов, которые являются неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, а также часто становятся ключом к решению самых сложных научных и технических задач.

Актуальность работы: в век разработки нанотехнологий и теории многомерного пространства может стать вполне своевременным обращение взора к сакральной геометрии, что объединяет мудрость многих школ, как существовавших задолго до нашей эры, так и современных, связывающих эзотерику с последними достижениями квантовой физики. Рассмотрение таблицы умножения с новой точки зрения, изучение ее геометрических свойств может привести нас к дальнейшему открытию утраченных древних знаний.

Объект исследования: таблица умножения (таблица Пифагора) как одно из хранилищ священных знаний в области сакральной геометрии и нумерологии.

Предмет исследования: сокрытые в таблице умножения геометрические формы, отражающие законы преобразования чисел, принципы их взаимодействия.

Цель проекта: попытаться раскрыть пространственное отображение закономерностей, заложенных в таблице умножения, и на их основе создать механическое устройство – Геометрический умножатель.

В ходе проведения данного исследования были поставлены следующие задачи и выполнены соответствующие этапы работы (см. таблицу).

Таблица

Задачи и этапы исследовательского проекта

Гипотеза: таблица умножения содержит в себе геометрические формы, описывающие законы взаимодействия чисел, их преобразования.

Основная часть

1. Теоретическая часть

1.1. Изучение основных постулатов сакральной геометрии и нумерологии

В Древней Греции изучение сущности красоты, таинства прекрасного, основанного на определенных геометрических образцах, сформировалось в отдельную ветвь науки – эстетику, которая у античных философов была неразрывно связана с космологией. Древние греки обладали геометрическим видением универсального порядка. Они воспринимали Вселенную как обширное пространство разнообразных взаимосвязанных элементов.

Первичные многоугольники и многогранники – фундаментальные образцы творения, представляющие творческие силы самоорганизации, которые формируют и определяют мир. Все в природе может быть описано в терминологии математических принципов, которые свойственны этим формам.

Геометрические фигуры – конкретное воплощение чисел. Числа принадлежат к миру принципов, и они становятся геометрическими фигурами, нисходя в физический план. Например, число 4 связывается с квадратом, 5 – с пентаграммой, 3 – с треугольником, 2 – с углом, 1 – с точкой или линией. Такая абстрактная величина, как число, на определенном этапе развития самосознания человека начинает пониматься органически и геометрически.

1.2. Анализ степени изученности и научной разработанности данной темы

Интересные работы, связанные с нумерологическим представлением таблицы умножения и абрисами первоцифр, можно найти в работах А. А. Корнеева на его сайте, созданном в начале двухтысячных годов под названием «Числонавтика». Так, в одной из статей утверждается, что таблица умножения является «цифровым отображением топологической операции продольного разрезания ленты Мебиуса на три части».

Еще одно серьезное исследование я нашел у кандидата физико-математических наук В. Б. Творогова, который запатентовал свое изобретение в 1999 году как «Вращающаяся таблица умножения/деления размером (w х w), где w = 3(mod10) или w = 7(mod10)». Это устройство в основном варианте реализации имеет две параллельные расположенные рядом неподвижные плоскости и вращающийся круг между ними. На плоскостях нарисованы квадратные матрицы с ячейками и общей осью вращения. Таблицы на поворотной плоскости позволяют получить результат умножения способом поворота круга относительно неподвижных плоскостей вокруг оси, проходящей через центры таблиц.

Описание механизма мне показалось сложным, вследствие чего я так и не смог представить принцип его работы. Также я понял, что в устройстве есть определенная сложность с вычислением десятков результата. Так, в описании изобретения есть фразы, говорящие о необходимости проведения дополнительных операций методом устного счета: «сбоку в каждом ряду, кроме первого, сделаны прорези для вспомогательного числа v_i, используемого для устных вычислений десятков».

Таким образом, моей целью стало создание понятного теоретического и практического материала, который бы мог использоваться на уровне школьных занятий, а принцип работы устройства подходил и для массового использования.

1.3. Приведение таблицы умножения к ее нумерологическому виду и анализ полученного результата

Давайте вспомним, как строится всем известная таблица умножения (таблица Пифагора). Для ее представления необходимо построить квадрат, в левом столбце и в верхней строке которого идут числа от 1 до 9. Умножая каждое число из верхней строки на каждое число из левого столбца и записывая результат на пересечении, мы получим квадрат, состоящий из 81 клетки. Таким образом, мы видим в каждой клетке таблицы результат умножения чисел из левого столбца и верхней строки.

Теперь приведем таблицу умножения к нумерологическому квадрату (см. рис.). Для этого числа в каждой ячейке таблицы необходимо нумерологически сократить, т. е. преобразовать с помощью сложения входящих в состав числа цифр до однозначных. Например, число 12 = 1 + 2 = 3, а число 49 = 4 + 9 = 13 = 1 + 3 = 4.

Рис. Таблица умножения, приведенная к нумерологическому квадрату

С первого же взгляда бросается в глаза окаймляющий узор таблицы из цифры 9. Эта цифра – главная сущность нашей таблицы, что будет доказано далее. Но сначала узнаем, какое сакральное значение придавалось этой цифре в древности. Цифра «9» означает всемогущество и представляет собой Тройную Триаду (3 х 3). Это число окружности, отсюда деление на 90 и 360 градусов. У пифагорейцев девять – предел всех чисел, внутри которого существуют и обращаются все прочие. Это число небесное и ангельское, рай на земле. Девять – священное число в скандинавской и древнегерманской символике. Есть тройные триады ангельских хоров, девять сфер и кругов ада. У буддистов девятка – это высшая духовная сила, небесное число. У китайцев 3 х 3 – самое благоприятное из всех чисел, означающее также восемь направлений плюс центр в качестве девятой точки, как в Зале Света. В греко-римской традиции существовало девять богов, а позднее девять муз. У евреев девять – чистое понимание, истина; в Каббале символизирует основание.

Цифра «9» имеет необычные математически-нумерологические свойства: при умножении на любое число оно воспроизводит само себя. Например, 9 х 6 = 36 = 3 + 6 = 9 и т. д. А при сложении с любым числом оно преобразуется в это же число. Например, 6 + 9 = 15 = 1 + 5 = 6 и т. д.

Таким образом, нетрудно догадаться, что нумерологическая сумма каждой строки, каждого столбца, да и всей таблицы будет равна 9 (45 = 4 + 5 = 9, 405 = 4 + 5 = 9).

А теперь рассмотрим всю красоту нашей таблицы умножения, выраженной в ее симметрии. Древние мудрецы воспринимали симметрию как универсальный принцип, ключ, который открывает истинный характер мира. Они говорили о ней как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слово «симметрия».

Таблица размером 8 х 8, которая образовалась внутри ограничений в виде девяток, проявляет одновременно и зеркальную, и центральную симметрию. Это можно прочувствовать, складывая таблицу по диагонали.

Складывая таблицу пополам, вертикально или горизонтально, вы будете получать каждый раз сумму двух цифр, равную 9. Ровно пять пар всех возможных таких соединений: 4 + 5, 8 + 1, 3 + 6, 7 + 2 и 9 + 9.

В центре таблицы можно увидеть квадрат из цифр «9». А также последовательность из трех цифр: 3, 6 и 9, которые делят таблицу на 9 квадратов.

«Если бы вы знали великолепие цифр 3, 6 и 9, у вас был бы ключ к вселенной», – говорил Никола Тесла.

Нужно отметить, что все эти последовательности можно выразить геометрически. Однако данные эксперименты я хотел бы провести с таблицей умножения в ее обычном, не нумерологическом виде.

1.4. Раскрытие свойств таблицы умножения с точки зрения ее геометрического отображения

Если нумерологический вид таблицы умножения сразу приводил нас к мысли о ее гармонии, то обычный и привычный нам образ, скорее всего, просто скрывает свою красоту от непосвященных. Рассмотрим же ее внимательнее.

Обратим сначала внимание только на единицы чисел. Здесь цифры также образуют симметрию, осью которой является столбец чисел умножения на 5.

Теперь попробуем перевести рассматриваемые последовательности цифр в геометрическое отображение. Для этого, начертив окружность и разделив ее на 10 равных частей, обозначив точки цифрами от 0 до 9, начнем соединять их сообразно числовым последовательностям отдельно для каждого столбца.

Таким образом, из единиц столбцов умножения на 1 и 9 я получил правильный десятиугольник (декагон). Из столбцов умножения на 2 и 8 я получил пятиугольник (пентагон), из столбцов умножения на 3 и 7 – звездчатый десятиугольник (декаграмму), а из 4 и 6 – звездчатый пятиугольник (пентаграмму). Геометрическая форма столбца умножения на 5 отразила свою функцию оси симметрии в линии.

2. Практическая часть

2.1. Формулировка принципов работы механического устройства для наглядного отображения геометрических законов таблицы умножения

Механизм, который может быть разработан для геометрического отображения операции умножения, должен четко определять множители и однозначно получать необходимый результат без каких-либо дополнительных вычислений. А значит, работа с цифрами из разряда десятков в таблице умножения не менее важна.

Как видно из предыдущего этапа работы, геометрические фигуры для описания некоторых столбцов умножения оказались одинаковыми, например, 1 и 9, 2 и 8 и т. д. Однако необходимо отметить, что направление движения по входящим в них отрезкам – разное. При умножении чисел, меньших 5, двигаться нужно по часовой стрелке, а для чисел, больше 5, – против часовой.

При движении по часовой стрелке во время обрисовки геометрической фигуры каждый новый оборот, т. е. переход через точку «0», производит перевод в разряде десятков в столбцах умножения на 1 вперед.

Таким образом, в геометрическом понимании умножения чисел, меньших пяти, первый множитель – число, которое мы умножаем, – представляет собой определенную геометрическую фигуру; второй множитель – то количество раз, которое мы берем число, представляет собой количество отрезков, проводимых по ходу построения геометрической фигуры по часовой стрелке; результат представлен из цифры десятков, содержащей в себе количество оборотов, пройденных через нулевую точку, и цифры единиц, которая соответствует той точке, на которой остановилась обрисовка фигуры.

При умножении чисел, больших пяти, множители аналогичны, только движение происходит против часовой стрелки. В числе результата также однозначно получается цифра единиц. Однако цифра десятков искомого числа вычисляется по-разному для каждого из четырех чисел. Например, при умножении 9 разряд десятков результата увеличивается при каждом продвижении по отрезкам фигуры, а у цифры 6 разряд десятков в результате будет равен количеству оборотов, но переход будет осуществляться через точку «5». К сожалению, на данном этапе работы мне не удалось определить точную зависимость этих составляющих. Так что приходится признать, что задача решена пока только наполовину.

Однако я не теряю надежды разгадать эту загадку до конца и надеюсь продолжить работу над данным проектом и в дальнейшем.

2.2. Создание Геометрического умножателя на основе сформулированных принципов

В целях наглядной демонстрации геометрического представления принципов работы таблицы умножения я решил сделать устройство, основанное на поворотном механизме.

Геометрический умножатель, так я назвал эту конструкцию, можно сделать из любого материала – пластика, дерева, железа. Все детали являются достаточно простыми, и соорудить этот механизм сможет любой старшеклассник в школьной мастерской. Моим наставником в создании Геометрического умножателя стал учитель технологии – Одноволик Юрий Валерьевич. В процессе разработки мы несколько раз меняли детали и схему работы механизма и пока не достигли желаемого результата. Соорудить устройство нам удалось из того, что было под рукой.

Между двух пластин из фанеры находятся две вертикальные оси вращения. Детали поворотного механизма собраны из конструктора Лего. Одна ось вращения расположена по центру механизма и выходит наружу над верхней пластиной. На данную ось крепятся две стрелки: одна – внутри механизма, между пластин; другая расположена сверху всех деталей и повторяет движение нижней, невидимой для пользователя, стрелки.

На второй оси вращения расположена шестеренка, разделенная по 36⁰ на 10 частей с помощью закрепленных на ней гвоздиков. Сверху шестеренки приклеена окружность из плотной бумаги с аналогичным разделением на 10 частей и обозначением полученных секторов цифрами от 0 до 9. При вращении верхней стрелки центральной оси нижняя стрелка также поворачивается, и при прохождении нулевой отметки, которая совпадает с центром оси вращения шестеренки с цифрами от 0 до 9, производит ее поворот на одну позицию.

Геометрические фигуры столбцов умножения обозначаются углублением линий на специальных карточках, сделанных из пластика. Пользователь обрисовывает фигуру по описанному выше алгоритму геометрического умножения, при этом поворачиваются стрелки. Таким образом, получается результат, который состоит из числа разряда десятков, видимого в прорези карточки и верхней фанерной пластины, и числа разряда единиц, обозначенного на карточке.

Заключение

Работа над этим проектом позволила мне окунуться в мир тайн посвященных, почувствовать себя продолжателем древних традиций поиска принципов устройства Вселенной и человека. Изучив основные постулаты сакральной геометрии и нумерологии, я стал видеть в окружающем меня мире огромное количество сообщений, написанных на языке создателя симметрии и гармонии. Научившись расшифровывать эти послания, можно найти многие ключи к пониманию бытия.

Рассмотрение таблицы умножения как некой криптограммы подтолкнуло меня к выдвижению гипотезы существования геометрических законов таблицы умножения. Анализ числовых последовательностей таблицы привел меня к выводам, подтверждающим данную идею, а также к возможности сформулировать математическую операцию умножения геометрическим языком.

Однако задача, поставленная передо мной, не была решена полностью. Поиск ответа на вопрос, как при движении против часовой стрелки, т. е. при умножении чисел, больших пяти, получить в результате цифру в разряде десятков, станет моим дальнейшим развитием проекта. Несмотря на указанные проблемы, полученные теоретические выводы позволили мне создать механическое устройство – Геометрический умножатель. Я выражаю большую благодарность всем тем, кто помогал мне и участвовал в его разработке.

Надеюсь, что проведенное мною исследование не оставит равнодушными сверстников, увлекающихся различными головоломками, а использование Геометрического умножателя учениками младших классов в процессе запоминания таблицы умножения поможет им выучить ее, а может быть, даже и полюбить за красоту пространственного отображения.

Литература

1. Аврелий Августин. Трактат о порядке. URL: https://azbyka.ru/otechnik/Avrelij_Avgustin/o_porjadke (дата обращения: 20.02.2018).

2. Большая книга нумерологии. URL: http://www.rumvi.com/products/ebookбольшая-книга-нумерологии/e6ec3ae0-3a1a-4634-8714-b4b5a948c65e//preview/preview.html#TOC_EQ2AE (дата обращения: 20.02.2018).

3. Диалоги Платона. Тимей. URL: http://www.gumer.info/bogoslov_Buks/Philos/Platon/timei.php (дата обращения: 20.02.2018).

4. Казина Н. В. Код Пифагора как архетип вселенной // Теория гармонических архетипов природы и космоса: Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского. Серия «Философия. Культурология. Политология. Социология». 2011. Т. 24(63), № 1. С. 28–43.

5. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.

6. Неаполитанский С. М., Матвеев С. А. Сакральная геометрия. СПб., 2004.