Читать книгу: «Интегрирование и нейросети», страница 3

где ( C ) – произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

[\int \left( \frac{5}{x^{1/2}} – x \right) , dx = 10 \sqrt{x} – \frac{x^2}{2} + C.]

Действительно, =+.

Пример 3. Вычислить интеграл функции f(x) = (6x^2 + x – 1)dx.

Посмотрим, как с этим примером справится нейросеть GPTutor

Для вычисления интеграла функции ( f(x) = 6x^2 + x – 1 ) используем правила интегрирования.

Интеграл можно записать следующим образом:

[\int (6x^2 + x – 1) , dx = \int 6x^2 , dx + \int x , dx – \int 1 , dx]

Решая каждый интеграл по отдельности:

( \int 6x^2 , dx = 2x^3 + C_1 )

( \int x , dx = \frac{x^2}{2} + C_2 )

( \int 1 , dx = x + C_3 )

Складываем результаты:

[\int (6x^2 + x – 1) , dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} – x + C\]

где \( C = C_1 + C_2 – C_3 \) – произвольная константа интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

\[\int (6x^2 + x – 1) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} – x + C\].

ВАЖНО!

Результат интегрирования всегда можно проверить дифференцированием первообразной. В результате дифференцирования должна получиться подынтегральная функция.

Например,

, так как = .

3.2.Метод интегрирования по частям.

Пусть U(x) и V(x) – две непрерывные функции, имеющие непрерывные производные. Метод интегрирования по частям основан на следующих двух равенствах:

(UV)’ = U’V + V’U (*) и (**),

Где *) – правило дифференцирования произведения 2х функций U и V;

**) – правило их интегрирования.

Из *) и **) следует формула интегрирования по частям:

Пример 1. Вычислить интеграл функции f(x) = lnxdx.

MashaGPT

Чтобы вычислить интеграл функции \( f(x) = \ln x \), необходимо использовать метод интегрирования по частям.

Определим:

– \( u = \ln x \) \(\Rightarrow\) \( du = \frac{1}{x} dx \)

– \( dv = dx \) \(\Rightarrow\) \( v = x \)

По формуле интегрирования по частям:

\[\int u \, dv = uv – \int v \, du\]

Подставим значения:

\[\int \ln x \, dx = x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x – \int dx\]

Теперь вычислим второй интеграл:

\[\int dx = x\]

Итак, получаем:

\[\int \ln x \, dx = x \ln x – x + C\]

Где \( C \) – произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл функции \( f(x) = \ln x \) равен:

\[\int \ln x \, dx = x \ln x – x + C\]

GPTutor

Чтобы вычислить интеграл функции ( f(x) = \ln x ), используем метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

[\int u , dv = uv – \int v , du]

Мы выбираем:

( u = \ln x ), тогда ( du = \frac{1}{x} , dx )

( dv = dx ), тогда ( v = x )

Теперь подставляем в формулу:

[\int \ln x , dx = x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x} , dx]

[= x \ln x – \int 1 , dx]

Теперь вычисляем последний интеграл:

[= x \ln x – x + C]

где ( C ) – произвольная константа интегрирования.

Таким образом, результатом интегрирования является:

[\int \ln x , dx = x \ln x – x + C]

И нейросеть ChatGPT Online – AI Chat GPT:

Для полного уяснения данного вычислительного процесса найдем данный интеграл обычным способом:

Положим u = lnx, dx = dv. Тогда du =

Давайте попросим нейросети решить более сложную задачу.

Пример 2(6). Вычислить интеграл функции f(x) = е^2xcos3xdx.

ChatGPT Online – AI Chat GPT

Для вычисления интеграла функции (f(x) = e^{2x} \cos(3x)) воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрируем (e^{2x}) и дифференцируем (\cos(3x)):

[u = e^{2x}, \quad dv = \cos(3x) dx]

[du = 2e^{2x} dx, \quad v = \frac{1}{3} \sin(3x)]

Подставляем полученные значения в формулу интегрирования по частям:

[\int e^{2x} \cos(3x) dx = e^{2x} \frac{1}{3} \sin(3x) – \int \frac{1}{3} \sin(3x) \cdot 2e^{2x} dx]

Упрощаем:

[\int e^{2x} \cos(3x) dx = \frac{e^{2x} \sin(3x)}{3} – \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin(3x) dx]

Теперь проведем интегрирование по частям для второго интеграла:

Интегрируем (e^{2x}) и дифференцируем (\sin(3x)):

[u = e^{2x}, \quad dv = \sin(3x) dx]

[du = 2e^{2x} dx, \quad v = -\frac{1}{3} \cos(3x)]

Подставляем полученные значения:

[\int e^{2x} \cos(3x) dx = \frac{e^{2x} \sin(3x)}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{2x} \cos(3x) – \int \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{2x} (-\sin(3x)) dx]

Упрощаем:

[\int e^{2x} \cos(3x) dx = \frac{e^{2x} \sin(3x)}{3} + \frac{2}{9} e^{2x} \cos(3x) + \frac{2}{9} \int e^{2x} \sin(3x) dx]