Читать книгу: «Интегрирование и нейросети», страница 2

[\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C]

где ( n \neq -1 ) и ( C ) – произвольная константа интегрирования.

В нашем случае ( n = 2 ):

[\int x^2 , dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = x^2 ) равна:

[F(x) = \frac{x^3}{3} + C], где ( C ) – произвольная константа.

ChatGPT Online – AI Chat GPT

Нейросети GPTutor и GPT-4о правильно решили этот пример. Нейросеть ChatGPT ошиблась, перепутав делимое и делитель.

Но все три нейросети абсолютно правильно отметили очень важную особенность процесса нахождения первообразной, называемого интегрированием:

Если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной.

Так, в примере 1 можно было взять в качестве первообразных следующие функции: F(x) = x^3/3 + 3;

F(x) = x^3/3 + 13; F(x) = x^3/3 + 33 или вообще F(x) = x^3/3 + С, где С – произвольная постоянная (константа, как называют ее нейросети). Таки образом, если функция имеет первообразную, то она имеет их бесчисленное множество.

Все множество первообразных F(x) +C называется неопределенным интегралом от функции f(x) обозначается символом ∫f(x)dx.

При этом функцию f(x)называют подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением ,а знак

∫ – знаком интеграла.

Продолжим диалог с нейросетями.

Расскажите о свойствах интеграла.

Расскажите о свойствах неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла.

GPTutor

Неопределенный интеграл – это функция, которая показывает обобщение накопления (или суммы) значений некоторой функции. Основные свойства неопределенного интеграла включают:

Линейность:

[\int [a f(x) + b g(x)] , dx = a \int f(x) , dx + b \int g(x) , dx],

где (a) и (b) – константы, а (f(x)) и (g(x)) – функции.

Свойство постоянной функции:

[\int k , dx = kx + C].

где (k) – постоянная, а (C) – произвольная постоянная интегрирования.

Свойство замены переменной (подстановка):

Если (u = g(x)) – дифференцируемая функция, то:

[\int f(g(x)) g'(x) , dx = \int f(u) , du]

Свойство интегрирования по частям:

[\int u , dv = uv – \int v , du].

где (u) и (v) – функции, которые выбираются в зависимости от конкретной задачи.

Собственное значение интеграла:

Если (F(x)) – первообразная функции (f(x)) (то есть (F'(x) = f(x))), то:

[\int f(x) , dx = F(x) + C]

Интеграл по области:

Если (a < b), то:

[\int_a^b f(x) , dx = F(b) – F(a)].

где (F(x)) – первообразная функции (f(x)).

Эти свойства полезны для упрощения интегралов и решения интегральных уравнений. Если тебе нужны примеры или объяснения конкретных свойств, дай знать!

II.Таблица интегралов

III.Методы интегрирования

3.1. С использованием таблицы интегралов.

Пример 1.Вычислить интеграл функции f(x) = x^2(1+2x)dx.

Попросим решить этот пример нейросеть:

GPTutor

Для вычисления интеграла функции ( f(x) = x^2(1 + 2x) ), начнем с раскрытия скобок:

[f(x) = x^2 + 2x^3.]

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

[\int f(x) , dx = \int (x^2 + 2x^3) , dx = \int x^2 , dx + \int 2x^3 , dx.]

Выполним интегрирование для каждого слагаемого:

(\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C_1),

(\int 2x^3 , dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = \frac{x^4}{2} + C_2).

Сложим результаты:

[\int f(x) , dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + C,]

где ( C = C_1 + C_2 ) – произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

[\int x^2(1 + 2x) , dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + C.]

Все правильно. Замечаний нет.

Пример 2.Вычислить интеграл функции f(x) = (5/x^(1/2) – x)dx.

GPTutor

Для вычисления интеграла функции ( f(x) = \left( \frac{5}{x^{1/2}} – x \right) ), мы можем записать его как:

[\int f(x) , dx = \int \left( \frac{5}{x^{1/2}} – x \right) , dx.]

Теперь разобьем интеграл на две части:

[\int f(x) , dx = \int \frac{5}{x^{1/2}} , dx – \int x , dx.]

Решим каждый из интегралов по отдельности:

Для первого интеграла:

[\int \frac{5}{x^{1/2}} , dx = 5 \int x^{-1/2} , dx = 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 5 \cdot 2 x^{1/2} = 10 x^{1/2} = 10 \sqrt{x}.]

Для второго интеграла:

[\int x , dx = \frac{x^2}{2}.]

Теперь объединим результаты:

[\int f(x) , dx = 10 \sqrt{x} – \frac{x^2}{2} + C,]