Электронная книга

СПИН-финансы

4.75
Читать фрагмент
Как читать книгу после покупки
Шрифт:Меньше АаБольше Аа

Сложный процент

Допустим, вы начали сберегать или вам уже удалось сберечь достаточно крупную сумму денег. Теперь перед вами встанет проблема – что делать со сбережениями? Как сделать так, чтоб инфляция не «обгладывала» по кусочку каждый день от ваших сбережений? Самый широко распространенный способ это отдать свои свободные деньги в банк. Банк обязуется их оберегать и при этом будет вам выплачивать доход за пользование вашими деньгами.

У банка есть деньги, а вам требуются деньги – тогда банк кредитует вас. Если у вас есть свободные деньги, а банку требуются деньги – тогда вы кредитуете банк. И в том и в другом случае, за право пользоваться чужими деньгами, тот, кто берет в долг (заемщик), будет вынужден заплатить процентную ставку тому, кто дает в долг (кредитор). Когда владелец денег, то есть кредитор, получает доход, от предоставления денег во временное пользование другим, то такой доход называется процентным.

Величина возможного процентного дохода, за один и тот же срок кредитования, определяется не только величиной процентной ставки, но также зависит еще и от механизма начисления процентов. Например, у вас есть свободные деньги, которые вы решили дать взаймы банку, то есть сделали вклад: под определенную процентную ставку, на определенный срок и другие, заранее оговоренные условия.

Когда будет начисляться процентный доход, который не будет увеличивать сумму первоначального вклада, тогда речь будет идти о простом проценте. Если же будет происходить причисление процентов к основной сумме вклада, которое позволит в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты, то это и будет тот самый сложный процент или, иначе говоря, будет происходить капитализация процентов. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно.

Допустим, вы сделали вклад в размере 120,0 тыс. руб., сроком на 1 год, с процентной ставкой 10 % годовых. В первом случае, по условиям открытия вклада, начисление процентов происходит в конце срока. Во втором случае, происходит ежемесячная капитализация: начисление процентов в следующем месяце будет происходить на сумму равную первоначальному взносу плюс проценты прошлого периода (за прошлый месяц).

1) Процентный доход за год в первом случае составит 12 тыс. руб. (10 % от 120 000 есть 12 000).

2) Во втором случае расчет процентов будет другим. За первый месяц процентный доход составит 1 тыс. руб. Во второй месяц проценты уже будут начисляться на сумму 120 000 + 1 000 = 121 тыс. руб. Процентный доход за второй месяц составит 1 008,33 рубля. В третий месяц проценты уже будут начисляться на сумму в 122 008,33 рубля… Итого, в конце г. доход составит 12 565,57 рубля, что на 565,57 рубля больше, чем в первом варианте.

Получается, что за тот же самый период (1 год), под такой же процент (10 %) при условии ежемесячной капитализации можно получить бо́льший доход (примерно на 4,7 % больше).

Давайте посмотрим, как изменится процентный доход, в случае ежегодного и ежемесячного начисления процентов, при увеличении срока вклада.

Первоначальный взнос 120 тыс. руб., процентная ставка и в том и в другом случае 10 % годовых:

Таблица 6. Процентный доход, в случае ежегодного и ежемесячного начисления процентов, при увеличении срока вклада исходя из 10-ой годовой ставки.


При этом разница в доходах, в процентном выражении, остается неизменной в не зависимости от величины первоначального взноса. Если взнос будет 100 руб. или 18 млн. руб. – разница (в процентах) не изменится, но понятно, что номинальное количество денег получаемых в виде процентов, зависит от суммы первоначального взноса.

В случае 15 % годовых:


Таблица 7. Процентный доход, в случае ежегодного и ежемесячного начисления процентов, при увеличении срока вклада исходя из 15-ой годовой ставки.


В случае 20 % годовых:


Таблица 8. Процентный доход, в случае ежегодного и ежемесячного начисления процентов, при увеличении срока вклада исходя из 20-ой годовой ставки.


В случае 25 % годовых:


Таблица 9. Процентный доход, в случае ежегодного и ежемесячного начисления процентов, при увеличении срока вклада исходя из 25-ой годовой ставки.


Кстати, обратите внимание, как интуитивно не понятно растут процентные доходы (и в том и в другом случае), при увеличении доходности и срока инвестирования.[4]

Помните, что сложный процент подразумевает реинвестирование полученной доходности, поэтому ваш актив будет увеличиваться со временем экспоненциально.


На заметку. Именно из-за этой разницы в механизмах начисления процентного дохода, процентные ставки по вкладам в банка на один и тот же срок отличаются для вкладов с выплатой процентов в конце срока и с ежемесячной капитализацией. Например, если предлагается открыть вклад на 100 тыс. руб. сроком на 365 дней исходя из ставки 8,3 % годовых (выплата процентов в конце срока) или 8,0 % годовых (ежемесячная капитализация) – то разницы никакой, так как итоговая сумма вклада будет одинаковой.

Но если вам вдруг удастся найти вклады с одинаковой процентной ставкой на один и тот же срок вклада, тогда чем чаще происходит начисление процентов, тем больший доход вы сможете получить. При прочих равных, ежемесячная (ежедневная) капитализация даст больший доход в конце срока по сравнению со вкладом с выплатой процентов в конце годового срока.

Обратите внимание, иногда указывается так называемая «эффективная ставка», то есть указывается ставка по вкладу с учетом капитализации процентов. Например, формула расчета эффективной ставки по вкладу с учетом ежемесячной капитализации процентов выглядит следующим образом:


где Т – срок размещения вклада в месяцах.


Например, чему будет равна эффективная ставка при условии открытия вклада на 3 года под простую ставку в размере 8 %?



В случае ежеквартальной капитализации, в формуле заменяем число «12» (12 месяцев в году) на «4» (4 квартала в году).


Так что механизм начисления процентов имеет значение! Чем больше процентная ставка – тем существеннее разница. С увеличением срока вклада разница увеличивается еще больше. Подобно снежку, сброшенному с вершины горы, который при движении вниз становиться все больше и больше, так и сложные проценты при увеличении срока вклада начинают нарастать лавинообразно.

Повторяюсь, к сожалению, есть один неприятный момент: люди плохо понимают силу сложных процентов. Потому что, умозрительно понять, что сложные проценты растут совершенно не интуитивным образом нельзя.


Таблица 10. Рост сложных процентов ставка/лет.


Итак, вы уже решили для себя, начиная с сегодняшнего дня начать думать иначе, и поставили перед собой цель: обеспечить себе дополнительный источник пассивного дохода на пенсии.

Допустим, в настоящее время ваш доход (доход домохозяйства) составляет 50 тыс. руб. Вы решили сберегать ежемесячно по 10 % от своего заработанного дохода (то есть 5 тыс. руб. в месяц) и откладывать их на свой депозит.

Ниже приведена таблица, в которой показан номинальный рост вклада при одинаковом ежемесячном взносе в зависимости от срока (строка), и от процентной ставки (столбец):

• «Взносы»: сколько суммарно своих заработанных денег вы внесете на счет;

• «Вклад»: величина вклада с учетом ваших взносов и накопленных процентов за истекший период;

• «% в месяц»: пассивный доход в месяц, который вы будете иметь в конце этого срока;


Как пользоваться таблицей? Из 60 вычтите свой текущий возраст и получите число лет, сколько вам осталось до выхода на пенсию. В течении этих лет вы можете из своего заработанного дохода создавать источник пассивного дохода. При этом величина вашего вклада и ежемесячный процентных доход зависит от доходности вашей инвестиции (столбец процентов слева).

Например, вам сейчас 20 лет, а возраст выхода на пенсию 60 лет. То есть у вас есть 40 лет впереди, чтобы обеспечить себе дополнительный пассивный доход. А если вам сейчас 40 лет, то у вас есть всего лишь 20 лет. Сумма ваших взносов за эти 20 лет разницы будет отличаться в два раза (1.2 миллиона против 2.4 миллиона). При этом, при условии 10 %-ой доходности вашей инвестиции, величина вклада будет отличаться более чем в 8 раз (3.8 миллиона против 31.8 миллиона).


Таблица 11. Пример номинального роста вклада при ежемесячном взносе в размере 5 тыс. руб. в зависимости от срока и от процентной ставки.


А теперь представьте себе, сколько бы лет вам сейчас не было, все последующие годы, вы будите тратить все, что зарабатываете… Из нуля ничего нельзя сделать ни при 10-ой, ни при 100 %-ой доходности.


Таблица 12. Пример номинального роста вклада при ежемесячном взносе в размере 0 тыс. руб. в зависимости от срока и от процентной ставки.


Чем старше вы становитесь, тем меньше у вас остается времени, чтобы успеть создать источники пассивного дохода, которые смогут обеспечить вам комфортные финансовые условия.

«Вы богаты только тогда, когда можете жить на проценты от Вашего капитала без необходимости работать: деньги работают на Вас. Богатым вы станете не благодаря деньгам, которые вы зарабатываете, а благодаря деньгам, которые вы сохраняете». Бодо Шафер, «Путь к финансовой независимости»

В настоящее время, вам 20 лет и вы имеет свою осознанную цель. Вы достаточно дисциплинированны все следующие 30 лет, откладываете по 5 тыс. руб. ежемесячно. Суммарно вы отнесете в банк за эти годы 1,8 миллиона руб. Но на счету, через 30 лет, будет уже более 11 млн. руб. Вам будет 50 лет. Ваш месячный процентный доход составит более 94 тыс. руб. На такие деньги уже можно достаточно спокойно жить. Уже можно позволить себе не работать ради добывания денег. Можно будет заняться любимым делом. Путешествовать. Учить внуков управлять деньгами. А еще можно даже будет открыть своим внукам такие же счета, как вы сделали в свое время 25–30 лет назад, и начать откладывать по 5–10 % со своего процентного дохода для них…

А если ваш доход не 50,0 тыс. руб. в месяц, а 100,0 тыс. руб.? Тогда ежемесячно можно сберегать 10,0 тыс. руб.… А если сберегать не 10,0 тысяч, а 30.0 тыс. руб.? Под 10 % годовых 30 тысяч и через 10 лет будет более 50,0 тыс. руб. в месяц процентного дохода!

Чем больше годовой процент и чем больше срок, тем круче кривая процентного дохода выглядит. Экспоненциальный рост. Чем раньше начнете сберегать часть своего заработанного дохода, тем раньше сможете позволить себе не работать!

На графике приведены кривые роста суммы вклада, открытого под различный процент (от 6 до 15 %), при условии ежемесячного взноса в размере 5 тыс. руб.


Рисунок 14. Кривые роста суммы вклада в зависимости от срока и процентной ставки.


Кстати, в экспоненциальном росте заключается и разрушительная сила процента. Когда вы платите даже самый, казалось бы, незначительный, процент за услуги финансовых посредников, то на длительном временном отрезке его влияние приобретает поистине колоссальное значение. И именно по этому, в своей инвестиционной деятельности следует всегда минимизировать расходы, связанные с 1) оплатой работы финансовых посредников (банков, брокеров, страховщиков и т.д.) и 2) стремится к оптимизации налогов (подробнее об этом поговорим в главе про инвестиции).

Как и у всего, так и у сложного процента есть две стороны:

• Созидательная сила, которая проявляется при накоплении доходности (которую, кстати, ни кто и ни что не гарантирует);

• Разрушительная сила, которая проявляется через инфляцию.

Вычисление доходности

Одним из показателей эффективности инвестиции является доходность – одно из фундаментальных понятий финансового управления. Часто требуется рассчитать усредненное значение доходности (например, для сравнения эффективности деятельности ПИФа в течении определенного времени). Среднюю доходность можно вычислить двумя способами:

• Средним арифметическим (сумма всех чисел, деленная на их количество).

• Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Другими словами, среднее геометрическое n чисел равно корню n-ной степени из их произведения.

Формулу расчета среднегодовой доходности (в процентах) вывести достаточно просто.

Допустим:

• Д(0) – исходное количество денег;

• Д(Х) – количество денег через Х лет;

• ГД – годовая доходность, в процентах.


Например, открываем вклад на 1 год, под ГД%. Сколько будет на вкладе? На вкладе будет сумма первоначального взноса Д(0) плюс процент от этой суммы в размере ГД. В виде формулы это можно записать следующим образом:

Через 1 год: Д(1) = Д(0)+Д(0)*ГД = Д(0)*(1+ГД);

Через 2 года: Д(2)=Д(1)*(1+ГД)=Д(0)*(1+ГД)*(1+ГД)=Д(0)*(1+ГД)2;

Через 3 года: Д(3)=Д(2)*(1+ГД)=Д(0)*(1+ГД)3;

в общем виде, формула принимает следующий вид:

Д(Х) = Д(0)*(1+ ГД)Х


Иногда надо решать обратную задачу. Требуется посчитать не какая получиться сумма через х лет при заданной годовой процентной ставке, а какая должна быть годовая процентная ставка, чтобы через Х лет первоначальная сумма выросла до известного результата.

Например, известно, что ваша инвестиция в размере 100 тыс. руб. за три года выросла на 30 тыс. руб. – то есть у вас на счету 130 тыс. руб. Какая должна быть среднегодовая доходность, чтобы получить этот результат?

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала необходимо определить суммарную доходность за три года. Это сделать достаточно просто. Надо просто посчитать, сколько процентов составляет 30 тыс. руб. от 100 тыс. руб. В нашем примере суммарная доходность за три года составила 30 %.

Чтобы подсчитать среднегодовую доходность за каждый год, нельзя просто разделить 30 % суммарной доходности на 3 (года) и получить среднеарифметическую доходность в размере 10 % годовой доходности.

Если бы это было так, то, используя вышеприведенную формулу расчета доходности, мы бы получили следующий результат:

100 тыс. руб. * (1+10,0 %)3 = 100 000 * (1 + 0,10)3 = 133 100,0 руб.

Но ведь по условиям задачи мы заработали 30 тыс. руб., а не 33,1 тыс. руб.[5]


Чтобы посчитать годовую доходность, если известен результат через Х лет, надо в формуле расчета доходности использовать годовую доходность не в процентном формате, а изменение в разах.

• Д(0) – исходное количество денег;

• Д(Х) – количество денег через Х лет;

• Р – ежегодное изменение в разах.

Через 1 год: Д(1) = Д(0)*Р;

Через 2 года: Д(2) = Д(1)*Р = Д(0)*Р2;

Через 3 года: Д(3) = Д(2)*Р = Д(0)*Р3;

В общем виде, формула расчета среднегодовой доходности (в разах) принимает следующий вид:

Д(Х) = Д(0)*РХ


В нашем примере, через 3 года (Х), 100 тыс. руб. – Д(0), стали 125 тыс. руб. Д(3). Надо найти во сколько раз изменилась инвестиция, то есть найти чему равно «Р»?



(что эквивалентно росту на 7,72 % в год).


Проверяем по формуле расчета среднегодовой доходности:

100 000 * (1+7,72 %)3 = 100 000 * (1+0,0772)3= 100 000 * 1,07723= 124 994 руб.


То, что ответ получился не ровно 125 тыс. руб. не должен вас пугать. Так получается из-за используемой точности вычисления. В нашем примере при расчете годового процента было использовано округление до двух значащих цифр после запятой. Если бы мы использовали при расчете не 2, а 6 знаков после запятой, то есть 7,721734 % (вместо 7,72 %), то ответ был бы равен 124 999,998 руб., что дает требуемый результат. Чем больше значащих цифр, чем точнее ответ. На практике не требуется такая точность вычислений, поэтому использование десятых или сотых долей дает приемлемую точность вычислений.

Итак, чтобы посчитать годовую доходность в процентах, нужно конечную стоимость разделить на начальную, затем вычесть корень той степени, равный количеству периодов начисления процентов и после этого вычесть единицу. Затем полученное число не забыть перевести в процентный формат, то есть умножить на 100 и поставить знак «%».



Если не вычитать единицу, получиться изменение в разах:




Проблема с использованием среднеарифметической доходности заключается в том, что она не учитывает наращивание доходности в течении определенного периода. Например, у нас есть три значения годовой доходности:


Таблица 13. Пример годовой доходности за 2014–2016 годов


Среднеарифметическая доходность составит:



Среднегеометрическая доходность составит:



При этом среднегеометрическая доходность будет в точности ровна годовой доходности, для определения которой используются только начальная и конечная величина баланса:



Стоит особо отметить, что среднеарифметическая доходность всегда больше среднегеометрической доходности. Они равны друг другу только в случае равенства доходностей за каждый период, то есть каждый год одна и та же доходность.

Например, банковский депозит на три года с 10 %-ой ставкой, тогда:

Среднеарифметическая доходность составит:



Среднегеометрическая доходность составит:



Как видно, проблема заключается в том, что при среднеарифметическом способе вычисления доходности не учитывается факт реинвестирования прибыли за предыдущий период. В нашем примере 10 % дохода за 2015 год были заработаны путем реинвестирования 20 % дохода за 2014 год, но это не было учтено в формуле расчета среднеарифметического.

Иначе говоря, среднеарифметическую доходность можно использовать только тогда, когда по окончанию периода прибыль выводится со счета (восполняется убыток) и новый период начинается точно с той же суммы, что и начальный период. Если же производится полное реинвестирование суммы прибыли (или если убыток не восполняется), то для расчета годовой доходности следует использовать формулу среднегеометрической доходности, которая позволяет учитывать сложные проценты.

Если в случае банковского депозита (когда проценты по вкладу оговорены и неизменны на все время действия договора), использование среднеарифметической формула не критично. Тогда как при инвестициях в активы с изменчивой доходностью, это имеет огромное значение.

Например, ваши активы в размере 100 тыс. руб. за 2015 год выросли на +100 %, а за 2016 год упали на -50 %. Сколько у вас теперь денег? Первое желание сказать – 125 тыс. руб., ведь среднеарифметическое есть 25 %:



Но на самом деле это не так. Для наглядности, давайте запишем все известные факты и посчитаем все изменения с инвестицией.


Таблица 14. Пример изменения инвестиции в размере 100 тыс. руб.


Среднегеометрическая доходность, как это и должно быть, будет равна нулю (ведь если начальная и конечная суммы равны, то о какой доходности может идти речь?):



Если цена акции вчера выросла на 10 %, а сегодня упала на 10 % – то, многие начинающие, или с опытом, инвесторы скажут про цену, что она «на месте», «не изменилась». Ведь арифметическое среднее это так просто! Плюс 10, минус 10 – сложить и разделить пополам, что в итоге дает ноль.

Но это не так. В действительности цена снизилась.


Таблица 15. Арифметическое так просто, но не верно!


В таблице ниже показано, на сколько процентов должен увеличится текущий капитал (или цена акции), чтобы достичь первоначального уровня капитала (цены) при заданном проценте падения первоначального капитала (цены).


Таблица 16. Требуемый рост в процентах до первоначального капитала при заданном падении.


Если вы купил какой-то актив, и его цена через год снизилась на 30 %, то чтобы вам требуется 42,9 % доходности, только лишь для того, чтобы у вас снова был первоначальный капитал. Если же падение составило 50 %, то вам потребуется уже 100 %-ый рост.

Следует отметить, что ни среднеарифметический, ни среднегеометрический способ расчета средней доходности за год не является наиболее «точным» или «правильным». Каждый из способов имеет свою сферу применения. Среднеарифметический способ следует использовать при расчете средней доходности за определенный период. Среднегеометрический способ расчета используется для нахождения доходности за несколько смежных временных периодов.


На заметку. Если у вас вызывает затруднение посчитать, сколько процентов составляет одна величина относительно другой, воспользуйтесь следующей техникой.

Чтобы определить какую долю составляет прибыль (25 тыс. руб.) от суммы первоначального взноса (100 тыс. руб.), нарисуйте на бумаге или мысленно представьте квадрат, разбитый на четыре сектора. В левом верхнем углу пишете сумму первоначального взноса (100 тыс. руб.). 100 тыс. первоначальных рублей это есть 100 % вашего баланса – поэтому в ячейке напротив записываете «100 %».

Нам также известно, что мы заработали 25 тыс. руб. В нижнем левом углу, пишем 25 тыс. руб., а в ячейки напротив ставим знак вопрос – так как нам требуется определить, сколько процентов составляет 25 от 100 тыс. руб.

В итоге получаем вот такую таблицу:


Таблица 17. Как составить пропорцию?


Теперь, чтобы найти Х%, надо перемножить числа расположенные по диагонали слева (внизу)/направо (вверху) и разделить на число, расположенное в ячейки по диагонали напротив искомого параметра:



Рекомендуется ставить числа в формулу с размерностями (использовать единицы измерения чисел, то есть рубли «руб.» или проценты «%»). В данном случае, в числителе дроби (сверху) стоит произведение «руб». на «%», а в знаменателе (внизу) – «руб.». «Рубли» сверху и снизу сокращаются, и остаются одни проценты «%». Как раз то, что мы и пытаемся вычислить!

Для чего следует использовать размерности? Использование размерностей поможет вам заметить ошибку (в случае составления неправильной пропорции). Если у вас вдруг сверху будут «руб.», а снизу произведение «руб.» на «%», то после сокращения «руб.», у вас останется размерность «1/%», чего быть не может. Или, если вы вдруг получите такую размерность руб.2/%, то понятно, что где-то допущена ошибка. Когда доведете навык составления пропорций до автоматизма, тогда можно будет уже не использовать размерности.

Этой техникой можно широко пользоваться при покупке однородных товаров в магазинах, особенно продуктовых. В наше время это становится актуальным как никогда. Предлагаемые продавцами «акции», «оптом дешевле» очень часто оказываются лишь маркетинговым ходом магазина с целью стимулирования продаж и оборачиваются бо́льшими тратами для потребителя, чем если бы он купили в розницу, а не оптом. Чтобы это понять, как раз и надо считать – что выгоднее купить одну упаковку из 20 штук или 2 упаковки по 10 штук каждая? Купить 1 кг на разновес или 4 индивидуальные упаковки по 250 гр. каждая?

Допустим, вам надо купить домой 30 штук яиц. Из предлагаемого ассортимента, вы видите, что упаковка из 10 шт. яиц стоит 50 руб., а из 15 шт. – 70 руб. Что выгоднее покупать? Что стоит дешевле?

Тут два варианта расчета: либо в качестве основы брать упаковку из 10 шт., либо из 15 шт. Ниже показаны оба варианта расчета.


Таблица 18. Варианты расчета.


Если бы мы купили 15 шт. яиц по ценнику, используемого для упаковки по 10 шт., то нам бы пришлось заплатить 75 руб., вместо 70 руб.

А если бы нам можно было бы купить 10 шт. из упаковки в 15 шт. (по цене 70 руб. за упаковку), то тогда десяток нам бы обошелся в 46,7 руб., что дешевле 50 руб. Таким образом, мы приходим к выводу, что яйца в упаковках по 15 шт. стоят дешевле яиц, продающихся в упаковках по 10 шт.

В данном случае, когда требуемое количество товара кратно упаковкам, можно посчитать и так: купить 2 упаковки по 15 шт. (140 руб.) будет выгоднее, чем 3 упаковки по 10 шт. каждая (150 руб.) – разница 10 руб. Фактически это эквивалентно скидки в 7,14 % (150 руб./140 руб.).

Или, например, палка колбасы 180 гр. стоит 150 руб. При этом эта же колбаса на разновес стоит 750 руб. за килограмм. Что дешевле?



Если купить ту же колбасу на разновес, то те же 180 гр. обойдутся уже в 135 руб., а не 150 руб. Что эквивалентно 11,11 % скидки.


Еще раз обращаем ваше внимание на то, что свои расходы сравнивайте в процентах!


5, 10 или 15 руб. сэкономленные на покупке товара могут не впечатлять из-за своей величины. Но если посмотреть на это с точки зрения процентов, то ситуация меняется кардинально! 7 % скидки получили при покупке этого товара, 15 % при покупке другого товара, а для этого товара все 25 % получилось выгадать просто из-за того, что вы достали калькулятор (ведь на сотовом телефоне есть у каждого, не так ли?) и посчитали простейшую пропорцию.

Выбираете (если есть такая возможность) желаемый товар по низшей цене. Затем на кассе используете дополнительно дисконтную карту магазина и еще 3–5–10–15 % дополнительно скидки получаете. А если используете дебетовую карточку с функций кэшбэк,[6] то еще дополнительно получаете несколько процентов в виде возврата денег на ваш счет (в зависимости от бонусной программы конкретного банка).

Если ваше домохозяйство в течении месяца тратит 20–30 тыс. руб. на питание дома и вне дома, то даже 10 % экономии уже оставляют 2–3 тыс. руб., которые вы можете использовать для инвестирования с целью создания источников пассивного дохода.

Просто помните о том, что 5–10–15 руб. скидки при покупке товара вроде небольшие суммы, но за год сколько покупок вы совершаете? Тысячи и тысячи, не так ли? А тысяча раз по 10 руб. уже будет 10 тыс. руб. А две тысячи раз по 15 руб. уже 30 тыс. руб. будет.

4Все эти вычисления достаточно просто сделать в Excel, используя математическую функцию БС (будущая стоимость).
5Из этого примера видно, что использование среднеарифметической доходности для сравнения начальной и конечной стоимости инвестиций приводит к завышению конечной стоимости.
6От англ. cashback или амер. cash back – возврат части стоимости покупки на ваш счет в виде денег, а не баллов или юонусов.
Нужна помощь
Купите 3 книги одновременно и выберите четвёртую в подарок!

Чтобы воспользоваться акцией, добавьте нужные книги в корзину. Сделать это можно на странице каждой книги, либо в общем списке:

  1. Нажмите на многоточие
    рядом с книгой
  2. Выберите пункт
    «Добавить в корзину»