По математике составлено огромное количество книг и учебников на любой вкус. И мне бы не пришло в голову написать еще один такой же учебник, как две капли воды похожий на все остальные. Поэтому я сделал все иначе.

Во-первых, этот курс сфокусирован не на математике, а на нематематике. Это означает, что в нем самыми важными будут приложения математики к реальному миру и новые возможности, которые открываются любому непосвященному человеку, но заинтересованному увидеть что-то новое, необычное и полезное.

Во-вторых, в этой книжке вообще нет ни одной формулы. Это не означает, что математические формулы являются лишними или они не нужны вовсе. Просто я хотел показать, что для того, чтобы содержательно что-то обсудить, можно на некоторое время обойтись и без них. Тем любопытнее будет посмотреть, что изменилось бы с появлением формул, этих странных букв и непонятных значков.

В-третьих, каждая глава завершается конкретным заданием, относящимся к практической жизни и, возможно даже, к будущей профессии. После выполнения такого задания не должно оставаться вопроса, зачем нужно изучать ту или иную тему. Тем самым, курс имеет практическую направленность, в отличие от большинства курсов по математике, примеры и задачи в которых обычно рассматриваются как абстрактная гимнастика для ума.

И, наконец, в-четвертых. Все части этой книжки написаны очень кратко. Я полагал, что прочитать две страницы текста будет не так сложно. Но понять, что там написано будет практически невозможно без преподавателя. Эту книжку практически невозможно использовать как замену реальным занятиям в аудитории. С объяснением, обсуждением, ошибками, спорами и всем прочим, что характерно для живого общения. Тем, кто его избегает, эта книжка и этот курс будут абсолютно недоступны. Про математику и особенно нематематику нужно разговаривать.

Итак, начнем…

Август 2022 г.

НЕМАТЕМАТИКА

Глава 1. Математика

В этой главе обсуждается несколько определений математики. Если их несколько, это значит что одно определение выбрать невозможно. Далее приведены самые общие сведения о различных разделах математики, использовании математических моделей для анализа реального мира. В завершение главы порассуждаем о том, почему этот курс называется нематематикой.

1.1. Что такое математика

Рене Декарт: к области математики относятся тольĸо те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера. Фридрих Энгельс: математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Николя Бурбаки: Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, – именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм – математических структур. Герман Вейль: вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается отĸрытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярĸим и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.

1.2. Разделы математики

Разделы математики в самом обобщенном виде можно представить следующим образом. Количество: Число – Арифметика – Алгебра. Преобразования: Арифметика – Анализ – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса. Структуры: Теория множеств – Линейная алгебра – Топология. Пространственные отношения: Геометрия – Тригонометрия – Дифференциальная геометрия – Топология – Теория меры – Фракталы. Дискретная математика: Математическая логика – Комбинаторика – Теория графов – Теория алгоритмов – Информатика. Международный классификатор предметов математики: Mathematics Subject Classification (MSC2020).

1.3. Математические модели

Математический объект – это абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных объектов или на основе других математических объектов. Например: множество, число, функция, шар, пространство. Моделью можно назвать абстрактное представление реальности. Математика имеет дело с моделями, которые часто используются для анализа процессов, событий и явлений окружающего мира. Но для математиков они всего лишь математические объекты.

1.4. ПОЧЕМУ НЕМАТЕМАТИКА

В этом курсе математические понятия и объекты – не самоцель. Математики выходят в окружающий мир, чтобы найти себе задачку. После того, как они ее находят, они возвращаются в свой абстрактный мир, решают ее и остаются довольны. То есть, в отличие от обычных людей математике обычно не возвращаются со своим решением, чтобы изменить мир. Им математическое решение или доказательство теоремы важно само по себе. Математика (и математическая статистика) это во многом вещь в себе. А продюсер – это человек из окружающего мира. Для него математика и математики это ресурс и инструмент для чего-то большего, для решения проблем и изменения мира. Поэтому этот курс не про математику, а про нематематику. Он про реальный мир и про то, как в нем можно использовать полезные модели и инструменты. Нам часто приходится иметь дело с объектами нечисловой природы. И научиться измерять характеристики и свойства таких объектов, которые, к сожалению или к счастью, не выражаются числами. Практические занятия помогут нам в этом разобраться и мы поймем, как с этим быть.

Основные понятия

Математика – Mathematics

Математический объект – Object of Mathematics

Модель – Model

Измерение – Measurement

Контрольные вопросы

1. Что такое математика?

2. Какие разделы имеются в математике?

3. Что такое модель и для чего она используется?

4. С какими курсами связан курс математики для продюсеров?

Задание для выполнения

Сравнение двух наборов данных. Получите два набора данных. Сравните их между собой. Какие характеристики подлежат сравнению? Какие выводы можно получить в результате сравнения? В чем польза от такого сравнения?

МНОЖЕСТВО

Глава 2. Множества

В этой главе рассматривается одно из ключевых математических понятий. Под множеством понимается некоторая, вполне определенная совокупность объектов. Обсуждены основные операции, которые можно проводить с множествами, рассмотрено понятие алгебры множеств. Четвертая часть темы посвящена нечетким множествам, которые оказались подходящей моделью для большого числа практических ситуаций.

2.1. Понятие множества

Множеством называется некоторая вполне определенная совокупность объектов. Объекты, которые составляют множество, называются его элементами. Некоторый объект может принадлежать или не принадлежать данному множеству. Множество можно задать, например, перечислив все его элементы. Еще вариант – назвать некоторое характеристическое свойство, которому удовлетворяют все элементы данного множества и только они. Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, а конечное – из конечного. Подмножество данного множества включает некоторую часть его элементов. Очевидно, что множество является подмножеством для себя самого. Пустое множество не содержит ни одного элемента. Принято рассматривать также универсальное множество – оно включает элементы всех множеств, которые рассматриваются в конкретной ситуации. Универсальное множество это все, а пустое – ничего. Дополнение к некоторому множеству включает только те элементы, которые этому множеству не принадлежат. Множество и его дополнение вместе образуют универсальное множество. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

2.2. Операции над множествами

Что будет если объединить два множества? Это зависит от того, каким образом мы определим операцию объединения (или сложения) для двух множеств.

Под объединением двух множеств мы будем понимать новое множество, состоящее из элементов первого или второго множества. Союз «или» означает, что в объединение попадают также те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно, но в итоговой сумме эти каждый из этих элементов будет представлен один раз.

Пересечение двух множеств представляет собой третье множество, состоящее из элементов, которые являются одновременно элементами и первого, и второго множества. Пересечение может оказаться пустым, если множества не пересекаются. Операцию пересечения двух множеств называют еще их произведением.

Разность двух множеств представляет собой множество, которое содержит элементы первого множества и не включает элементы второго. Мы вычитаем, тем самым, второе множество из первого и получаем новое множество, называемое их разностью. Можно рассмотреть также еще одну операцию – дополнения одного множества по отношению к другому. В дополнение попадают те элементы второго множества, которые не являются элементами первого.

Операции над множествами для наглядности принято изображать при помощи диаграммы Эйлера. Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Позже эту идею развил английский логик Джон Венн.

Между двумя множествами можно устанавливать соответствие, когда всем или некоторым элементам первого множества ставятся в соответствие какие-то элементы второго множества. При этом одному элементу первого множества, вообще говоря, может соответствовать один или несколько элементов второго, или не соответствовать ни один из элементов.

Взаимно-однозначное соответствие между множествами устанавливается в том случае, если каждому элементу первого множества устанавливается в соответствие один и только один элемент второго и наоборот. Если между между двумя конечными множествами установлено взаимно-однозначное соответствие, то это означает, что они состоят из одинакового количества элементов.

Бесплатный фрагмент закончился. Хотите читать дальше?