Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможностиТекст

Читать 30 стр. бесплатно
Как читать книгу после покупки
Шрифт:Меньше АаБольше Аа

Призвание

Эрнё Рубик осуществил свою мечту: он создал механизм, свободно вращавшийся в трех измерениях. Это уже было бы чудом, даже не будь в этой истории Тома Кремера и не стань кубик «черным лебедем» благодаря своему нежданному всемирному успеху.

Осуществила мечту и английская мореплавательница Эллен Макартур. В 2001 году, всего в двадцать четыре года, она совершила одиночное кругосветное плавание. Вернувшись домой после девяноста четырех суток в открытом море, она сказала, что надеется своим примером вдохновить других молодых людей и помочь им воплотить их собственные мечты в реальность. Ее достижение не было уникальным; более того, в кругосветной регате яхт-одиночек Vendée Globe – «Вандейской кругосветке» – она заняла лишь второе место. Однако три года спустя, на яхте, специально сконструированной для нее, Макартур установила мировой рекорд по скорости одиночного кругосветного плавания. Он продержался лишь несколько лет, но это совершенно не важно. Это никак не умаляет ее достижения. Так чудо проявилось в мечте молодой англичанки – так же, как некогда в бесконечных экспериментах Эрнё Рубика. Форма чуда не столь важна, будь то одиночная девичья кругосветка, создание предмета, невозможного в теории, или даже разделение вод Чермного моря. Все эти события были непредставимы до того, как произошли, и произвели сенсацию, когда случились. И мы сочтем их чудесами.

Вот что пишет в романе «Училище на границе» великий венгерский стилист и прозаик Геза Оттлик (1912–1990):

Так оно всегда и бывает: ничего не получается, сотни и тысячи желаний и надежд кончаются ничем; но есть одна, в лучшем случае две самые важные вещи, без которых жизнь просто не может продолжаться, – и они-то в конце концов всегда удаются. Небрежным, случайным образом, разумеется. Судьба вполне может обойтись без нашей благодарности.

Впоследствии я перестал восхищаться такого рода вещами; я знал, что беспокоиться о вещах действительно важных – например, что я стану художником – излишне; я знал, что добьюсь этого, даже если ради этого мне придется сдвинуть с места Млечный Путь; я знал, что легко пройду сквозь самую толстую каменную стену, и Чермное море расступится предо мною[16].

Большой мечты и непреклонной настойчивости может хватить для явления чуда – и «судьба вполне может обойтись без нашей благодарности». Но что делать тем, у кого нет грандиозной мечты? Если отвечать не думая, можно сказать: найти великую цель и устремиться к ней. Однако… это верный способ сделать несчастными многих и многих, которым это вовсе не было суждено. Не всем дается талант мечтать, и лишь немногим его обладателям позволено осуществить мечту. А счастливую, осмысленную и яркую жизнь можно прожить и без чудес.

Я всегда завидовал тем, кто уже в десять лет решает, что будет молекулярным биологом, летчиком, моряком, художником, – и действительно становится им. Сам я всегда воспринимал как данность свою карьеру в математике. В детстве я побеждал в математических состязаниях, а потом стал профессиональным математиком. Было время, я мечтал доказать одну из великих недоказанных гипотез – теорему о четырех красках, гипотезу Пуанкаре, гипотезу Римана или Великую теорему Ферма. Вот было бы чудо! Но я быстро понял, что есть много математиков одареннее меня, и если уж они не могут решить эти знаменитые задачи, то мне их и подавно не решить.

Три чуда из четырех случились, хотя и не со мной. За сорок лет, что прошли со дня присуждения мне ученой степени, три задачи были решены. Но сотни других – ничуть не менее трудных, хотя, возможно, менее известных, – противостоят всем попыткам. О них вам не прочесть в газете. И вы не услышите о тысячах талантливых математиков, что посвящают всю карьеру попыткам разгадать хоть одну. Иные из них могут с гордостью и с полным правом утверждать: да, им не удалось достичь успеха, но они внесли свой вклад, пускай и небольшой, в успех, которого достигнет кто-нибудь другой. Но большинству не сказать и так, ибо путь, избранный ими для решения той или иной задачи, завел их в тупик.

Такова наша жизнь. Чтобы немногие смогли осуществить мечту, многим приходится гоняться за блуждающими огоньками, влекущими в болотную топь. На каждое чудо приходятся бесчисленные неудачи и разочарования. Но даже если вклад человека в успех других сводится к исследованию всего лишь нескольких перспективных с виду тупиков, его дело может быть весьма полезным. Возможно, он проживет плодотворную жизнь, пусть и лишенную чудес, займется достойным делом и, хочется надеяться, будет доволен и счастлив.

Для создания чего-то важного не обязательно беззаветно посвящать жизнь великой мечте. В наши дни чудесные и значимые научные результаты и технические достижения – чаще всего итог работы сотен, даже тысяч людей, и, если у каждого из них слишком грандиозная мечта, группа быстро распадется. Да, для чудес необходимы вдохновенные мечтатели, но не меньше нужны и целые армии специалистов в определенных областях, способных на решение правильно поставленных задач.

Два австралийских профессора, Джерри Маллинс и Маргарет Кайли, написали статью под не требующим объяснений заглавием «Это докторская степень, а не Нобелевская премия» (It’s a PhD, Not a Nobel Prize)[17]. Я заставляю всех своих аспирантов ее прочитать: она помогает многим из них сойти с небес на землю и умерить пыл, мешающий им написать добротную диссертацию и двигаться дальше, к вершинам профессии.

Следующую реплику в разных вариантах приписывают многим знаменитым людям: если в двадцать вы не коммунист (или социалист, или демократ), у вас нет сердца; но если вы коммунист в тридцать, у вас нет головы. Великие стремления и возвышенные идеалы естественны и уместны в юности, но рано или поздно мечты приходится смирять, осознав пределы своих сил. Путь Эллен Макартур – к мечте всей жизни – это лишь одна из дорог. А тем, кто не попал в чрезвычайно ограниченное число счастливчиков, воплотивших свою единственную великую мечту, приходится находить и возделывать какие-нибудь более реалистичные сады.

Свершение Макартур не смогло стать «черным лебедем»: оно не оказало сколько-нибудь заметного влияния на мир. Кругосветные плавания как таковые перестали быть «черными лебедями» с первой четверти XVI века, когда океаны бороздил еще Фернандо Магеллан. Хотя совершить такое плавание в одиночку на маленьком судне, как Эллен, – да, это по-прежнему кажется чудом. Но и до нее так плавали и мужчины, и женщины. Если бы ее успех вдохновил многих на осуществление мечтаний, тогда ее подвиг, возможно, и стал бы настоящим «черным лебедем». Но мы совсем недавно видели, как при участии тысяч мастеров воплощались и другие мечты – так было с устремлениями основателей Microsoft, Apple и Google.

Чудеса Гарри Поттера

В другой истории Оттлика принц убил дракона, построил замок, разбудил поцелуем принцессу, рассмешил ее, и они, разумеется, тут же поженились. Но сказка на этом не заканчивается:

Но прошел день, потом другой, потом еще один. Уже и первый день был достаточно долгим; он состоял из множества часов, часы – из множества минут, минуты – из множества секунд.

Они посмотрели друг на друга, и принц решил заточить принцессу, усыпить ее, разрушить замок и оживить дракона.

Он сразу же приступил к делу. Но дело оказалось не таким-то простым. Ни упорная работа, ни еще более героические свершения, ни приключения, ни бесцельная беготня не помогали ему разрушить замок, который то и дело уворачивался от него на своих курьих ножках. Еще меньше толку выходило из попыток приставить дракону отрубленные головы, да и снова усыпить или заточить принцессу принцу не удавалось. Шли дни, которые складывались в месяцы, а там и в годы, а у них по-прежнему ничего не получалось. И если они еще не умерли, то так и живут до сих пор[18].

Так вот что бывает, если свершить чудо и достичь своей мечты? Неужели мы просто спросим: «Все, конец?» Вот потому-то я и считаю книги о Гарри Поттере одним из величайших литературных достижений прошлого века. Джоан Роулинг совершила чудо – она сделала следующий шаг.

Гарри Поттер – не Эллен Макартур. У него никогда не было великой мечты. Просто случилось так, что именно он совершил чудо, которого не смог совершить никто другой, причем даже не верилось, что он на это способен. А когда после семи томов приключений он в конце концов побеждает ужасного Волан-де-Морта, он живет дальше, мирно, с пользой для общества, обычным волшебником без грандиозных мечтаний, – таким же, каким был бы, не окажись он единственным, у кого была надежда победить «Того-Кого-Нельзя-Называть». Он волшебник, и чудеса – его основное занятие, но он не совершает больше никаких чудес, и его это вполне устраивает. Он делает свое дело, любит жену и детей и лишь время от времени вспоминает о волнительной, полной опасностей жизни.

Роулинг совершила с «Гарри Поттером» еще одно чудо: заставила миллионы детей прочитать три с половиной тысячи страниц в эпоху, когда мы почти перестали надеяться, что молодое поколение способно предпочесть книги интернету и телевидению. Эта маниакальная страсть к чтению была столь же внезапной и неожиданной, как падение Берлинской стены или крупный экономический кризис, и, возможно, столь же неповторимой, – то есть речь, возможно, идет об истинном чуде в нашем смысле этого слова. Об этом же говорят и те трудности, с которыми Роулинг искала издателя. Точно так же, как бессчетные производители и продавцы игрушек отвергали кубик Рубика, десятки издательств отказались печатать «Гарри Поттера» – и, несомненно, с тех пор только и делают, что кусают локти.

 

В наше время для успеха масштабного проекта нужны «спецы», умеющие решать проблемы по ходу дела, – именно такие, каким стал повзрослевший Гарри Поттер. Возможно, именно поэтому его история могла возникнуть лишь в наши дни. Думаю, Роулинг изначально знала, что ее книги, помимо всех их великих приключений, рассказывают именно об этом – и, разумеется, о чуде любви.

Можно спросить: останется ли место для чудес, когда их у нас на глазах теснит наука, раскрывая суть все новых явлений, некогда казавшихся непостижимыми? Да, возможно, когда-нибудь она опишет нам все мысли Эрнё Рубика, всю отвагу Эллен Макартур или замечательный и неожиданный успех «Гарри Поттера». Пока что она явно на это не способна. Но может, уже сейчас она даст нам метод анализа этих необъяснимых, однократных, неповторимых чудес?

2
Мир тихий и мир дикий

У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения.


Альберт Эйнштейн распорядился в завещании, чтобы его мозг после смерти был передан исследователям, но изучение его анатомии не дало почти никаких интересных результатов[19]. Хотя мозг Эйнштейна во многих отношениях отличался от всех других, исследованных до этого, было невозможно выделить конкретные характеристики, сочетание которых сделало его гениальным. Для этого потребовалось бы изучение большого числа эйнштейнов, чтобы исследователи могли охарактеризовать типичный эйнштейновский мозг и выявить его отличия от столь же типичного мозга неэйнштейновского. Но Эйнштейн был только один, и его мозг оказался в точности таким же уникальным, как мозг любого другого человека.

Мы обычно считаем, что «средний» означает «типичный», а упоминания или изучения заслуживают отклонения от среднего. Однако очень часто это не так. По любому конкретному параметру – объему, весу, числу и глубине складок или любой другой характеристике – наш мозг так же отличается от среднего, как наш рост. Средний рост венгра – метр семьдесят пять, но мужчин именно этого роста мало. Почти все они слегка выше или ниже.

В связи с такими отклонениями от среднего статистики определяют не только среднее значение величины, которую исследуют, но и среднее отклонение от нее. На профессиональном языке статистиков этот параметр называется «стандартным отклонением». Например, рост типичного мужчины «ниже среднего» – на одно стандартное отклонение меньший среднего роста – равен 1 м 67 см, а рост типичного мужчины «выше среднего» – метр восемьдесят три. В этом смысле можно сказать, что мужчина ростом 167 см – такой же «средний», как и мужчина ростом 183 см; рост обоих отличается от среднего на одно стандартное отклонение. Строго говоря, то, что я тут описываю, не вполне точно соответствует стандартному отклонению; математики предпочитают использовать чуть более сложную формулу[20].

Из психологических исследований нам известно, что мы воспринимаем мир сквозь призму языка. Мы не считаем человека ростом 183 см поразительно высоким, как и человека ростом 167 см – удивительно низким. То, что большинство из нас считает примечательным, начинается где-то в паре стандартных отклонений от среднего. Так, рост 191 см мы считаем высоким, а уж когда со стула встанет человек, рост которого отличается от среднего на три стандартных отклонения – то есть равен 199 см, – он, несомненно, привлечет наше внимание. Но это все еще не чудо. А вот человек пятиметрового роста считался бы явлением чудесным. Его рост отличался бы от среднего более чем на сорок стандартных отклонений. Но на самом деле людей пятиметрового – и даже трехметрового – роста не существует.

Если кто-то говорит о среднем, не называя стандартного отклонения, к его словам всегда следует относиться с некоторым подозрением[21]. Такой человек вовсе не обязательно пытается нас обмануть; вполне возможно, что он говорит по незнанию. Но следует помнить, что средняя величина без стандартного отклонения дает мало информации. Взять, например, тот факт, что типичный ребенок начинает говорить в полтора года. Следует ли нам беспокоиться об умственном развитии нашей маленькой Моники, если ей уже исполнилось два года, а она все еще не научилась говорить? Если бы стандартное отклонение для возраста освоения речи равнялось паре месяцев, тогда у нас был бы повод для беспокойства. На самом деле оно составляет около полугода, так что запаздывание речевого развития Моники – вполне нормальное. Когда мама привела меня по этому же поводу к врачу, он сказал ей: «Не беспокойтесь, моя милая; он скоро наверстает упущенное».

Гений как чудо

У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения. Он – уникальное явление, которое невозможно объяснить методами статистики. Эта же уникальность так сильно затрудняет точное определение концепции гениальности. Многие скажут, что гений – это человек с необыкновенным талантом, но талант – это другая концепция.

По счастью, талантливых людей много, так что эту концепцию можно исследовать с использованием статистических методов. Мне нравится следующее определение: иметь талант означает знать или уметь нечто, чему вы никогда не учились. Психологические исследования талантливых людей приходят приблизительно к тому же определению, возможно более профессионально сформулированному. Кого бы мы ни исследовали – лучших учеников старшей школы или золотых медалистов Международной научной олимпиады, – психологические профили талантливых личностей выходят, по сути дела, одинаковыми: чем больше человек знает за пределами того, чему он учился, тем он талантливее.

Умения людей с разными уровнями талантливости различаются словно небо и земля. Например, необычайно талантливый программист может превосходить программиста среднеталантливого на целый порядок по эффективности. Это до некоторой степени удивительно. Ситуация такая же, как если бы человек ростом 190 см оказался в десять раз более эффективным – или в десять раз более каким угодно, – чем человек ростом всего 183 см. По-видимому, разница в росте не имеет столь радикальных последствий даже для баскетболистов, для которых большой рост является преимуществом. Однако уровень таланта оказывается чрезвычайно важен.

Что же нам делать с концепцией гениальности? Возможно, она подойдет для обозначения необычайно высокого уровня талантливости. Когда говорят об «интеллекте уровня гения», этот интеллект определяют по линейной шкале: гениальность подобна обычной разумности, только гораздо больше. Но, возможно, гениальность в чем-то отличается и от разумности, и от талантливости качественно. Может быть, гения точнее определить как человека, способного придумывать такие вещи, о которых никогда не помыслят даже необычайно талантливые люди? Представим себе Ньютона или Эйнштейна, Моцарта или Пикассо.

Хотя представление о сферической Земле существовало еще в Античности, а идея о гравитации как измеримой силе восходит по меньшей мере к Галилею, то есть к концу XVI века, именно Ньютон позволил понять, как именно может быть устроено мироздание с круглой Землей и почему люди, находящиеся на ее «нижней стороне», не падают с нее – или, если они каким-то образом приклеены к поверхности Земли, как они могут жить вверх ногами, а вся их кровь не изливается им в голову. Вопрос о людях, живущих вниз головой, на самом деле был трудной загадкой. Церковь не принимала концепцию круглой Земли, вращающейся вокруг Солнца, не из одного только злобного упрямства. Дело не только в том, что такие идеи противоречили богословским догматам; на научные вопросы, которые следовали из такой космологии, также не было убедительных ответов. Ньютон разрешил это затруднение, предложив закон всемирного тяготения: идею, что одна и та же сила вызывает вращение планет вокруг Солнца и удерживает ноги человека на земле. Для этого требовался гений, способный открыть концепцию, о которой никто до него не мог и помыслить, и дать общее объяснение явлениям, казавшимся до этого и не связанными друг с другом и необъяснимыми.

В этом смысле гений кажется явлением уникальным и неповторимым – то есть, в нашей терминологии, чудом. И потому мы еще раз убеждаемся, что чудеса все же существуют, ведь время от времени, пусть и не слишком часто, рождаются ньютоны или эйнштейны. Это люди не просто необычайно талантливые. Они не только знают гораздо больше, чем выучили; они также знают нечто, чему нельзя научить, нечто выходящее за пределы самого смелого воображения их современников.

Сегодняшняя гениальная идея завтра будет общеизвестной истиной. Теорию, которую мог разработать только гений, через некоторое время будут преподавать тысячи весьма далеких от гениальности учителей. Сначала, когда идеи новы и революционны, понять их и передать новые знания может только великий учитель. Но со временем те, кого интересует эта теория, совершенствуют и упрощают ее и находят новые способы ее объяснения, которые значительно облегчают ее преподавание. В оригинале «Начала» Ньютона очень трудны для понимания. Я читал эту книгу и могу засвидетельствовать, что читать ее невозможно. Но материалы, изложенные в ней, ежегодно преподают тысячам и тысячам старшеклассников и первокурсников. Человек гениальный открывает новую территорию, а люди необычайно талантливые следуют по пути, проложенному гением. Позднее по их следам идут люди, талантливые лишь умеренно.

Я утверждал, что гений есть чудо, но мне по-прежнему нечего ответить моему другу Алексу, убежденному, что никаких чудес не бывает. Алекс сказал бы: «То, что является чудом для тебя, совсем не обязательно будет чудом для человека гораздо более талантливого». Действительно, мне кажется чудом пятиметровый прыжок в длину, но существуют спортсмены, способные прыгнуть дальше чем на восемь метров, так что даже восьмиметровый прыжок чудом не считается[22].

Было бы полезно попытаться каким-то образом выразить редкость появления чудес в численной форме. Для этого давайте посетим две воображаемых страны, в которых мы сможем узнать о тихих, спокойных средних величинах и диких, буйных крайностях. Назовем их Тихонией и Диконией, миром тихим и миром диким.

Тихония и дикония

Попробуйте угадать ответы на следующие вопросы:

 

Каков средний рост людей, которые выше двух метров?

Каков средний возраст людей, которые старше девяноста лет?

Каков средний чистый капитал людей с «очень крупным чистым капиталом», то есть имеющих по меньшей мере $5 млн оборотных финансовых средств? В мире порядка двадцати миллионов таких людей.

Какова средняя стоимость акционерного капитала компаний, имеющих активов более чем на $5 млрд? В последние годы в мире насчитывается от семи до восьми сотен таких компаний.

Первый и последний из этих вопросов появлялись в «Черном лебеде» Талеба. Ответов на них там, однако, не было. Мы жадничать не будем и приведем ответы на все вопросы: 203 см, 93 года, $80 млн и $27 млрд.

Из этих ответов мы начинаем видеть, что математика, действующая в первых двух вопросах, радикально отличается от той, что работает во второй паре. Хотя обе пары вопросов касаются конкретных численных данных, кажется, что они относятся к разным мирам. В чем же их отличия? Прежде всего мы замечаем, что в случае роста или возраста нет по-настоящему больших отклонений от среднего. Не бывает людей пятиметрового роста, и никто не доживает до 969 лет, возраста библейского патриарха Мафусаила. С другой стороны, вне всякого сомнения, существуют очень богатые люди – например, пресловутые братья Кох, состояние каждого из которых составляет около $40 млрд. Существуют и чрезвычайно дорогостоящие корпорации, например компания Apple, рыночная стоимость которой в августе 2012 года составила около $750 млрд. В коммерческой деятельности бывают приливы и отливы, и тремя месяцами позже стоимость Apple упала ниже $450 млрд. Такое крупное в процентном исчислении снижение было бы катастрофическим для большинства частных лиц, но компания без труда выжила и оправилась от него.

Талеб называет страну, в которой таких крупных отклонений от среднего не бывает, «Среднестаном», а то место, в котором такие чудовищные аномалии случаются, – «Крайнестаном». Я ничего не имею против названия Крайнестан, но слово «Среднестан» кажется мне неудачным. Талеб относится к Среднестану с пренебрежением. Он отвергает его методы и образ мыслей несмотря на то, что они дают вполне успешные результаты. Кажется, что внезапное превращение Ливана, бывшего в течение более чем столетия мирным и процветающим Среднестаном, в преисполненный насилия Крайнестан, свидетелем которому стал Талеб, внушило ему ненависть ко всему «среднему» и недоверие к теориям, существующим в таких местах.

Я предпочитаю называть место, не подверженное резким отклонениям, более нейтральным именем – «Тихонией». А раз уж у нас будет Тихония, то и Крайнестан можно переименовать: мы будем называть его «Диконией». В отличие от Талеба я не считаю, что наука Тихонии – это сплошное очковтирательство, и с гордостью продолжаю преподавать тихонские методы, не забывая при этом, что они применимы лишь к некоторым частям мира, а там, где они не действуют, они, как правило, вводят нас в заблуждение.

Не следует считать, что наука тихонская и наука диконская – две разные вещи. В обеих используется один и тот же научный метод, одна и та же математика. Дело лишь в том, что явления двух разных типов описываются при помощи разных математических моделей. И в обоих случаях встречается масса шарлатанства, в том числе демонстрация поражающих воображение средних значений без какого-либо упоминания о стандартных отклонениях.

Нам кажется вполне целесообразным, что биологи описывают поведение волков одной моделью, а поведение овец – другой. Одна модель относится к хищникам, живущим в дикой природе, а вторая – к травоядным сельскохозяйственным животным. У каждой из этих моделей есть область применимости, и нас не удивляет тот факт, что модель, удовлетворительно описывающую поведение волков, нельзя применить к овцам.

Хотя биологам требуются разные модели для описания волков и овец, а у физиков есть одна модель для взаимодействия субатомных частиц и другая для движения планет, все ученые придерживаются одного и того же научного метода: мы наблюдаем, проводим эксперименты, разрабатываем модели на основе экспериментальных результатов и пытаемся определить для каждой из них область применимости. Успешная модель позволяет нам предсказывать события, которые могут произойти в границах ее применимости. Иногда оказывается, что модель, разработанная для описания одного набора событий, может подойти к совершенно другой области – как происходит, например, в случае успешного применения моделей, взятых из физики, к экономическим явлениям.

Жизнь в Тихонии течет медленно и спокойно, без больших неожиданностей. Здесь нет крупных отклонений от среднего. Хотя в Тихонии есть люди высокие и низкие, люди умные и не очень умные, в ней нет ни пятиметровых великанов, ни сверхбогатых властелинов мира, ни гениев. Тем не менее в этом тихом мире происходит немало событий, и для понимания широкого спектра явлений, происходящих в нем, потребовались усилия множества талантливых мыслителей. Наше понимание Тихонии образует основу большей части нашего понимания Вселенной, и модели тихого мира не следует отбрасывать только потому, что существуют явления, которые они не в состоянии адекватно описать, – например, поведение мировой экономики в последние десятилетия.

По другую сторону границы, в Диконии, есть риск нарваться на всякое. Там можно встретить огромные отклонения от среднего – например, компанию Apple, которая даже после уменьшения капитала возглавляла в 2013 году список корпораций мира, причем по капитализации она более чем вдвое превосходила ближайших преследователей – Shell и IBM. Значения, отстоящие от среднего на сорок стандартных отклонений, встречаются в Диконии сплошь и рядом. По оценочной стоимости Apple опережает «рядовую» гигантскую корпорацию более чем в четыреста раз.

Опытные завсегдатаи пивных могут предсказать, когда начнется драка. Плавное течение разговора внезапно начинает прерываться сердитыми словами. В этот момент равновесие рушится, и уютный мир благовоспитанных посетителей бара, не лезущих в чужие дела, возмущается потасовкой. Нечто подобное происходит и в науке. Можно предсказать, что общепринятая научная модель вот-вот будет поставлена под сомнение, когда обнаруживается все больше и больше явлений, которые эта модель должна, но не может объяснить, и озадаченные ученые начинают высказывать недовольство. Именно из этой озадаченности и возникают радикально новые модели.

16Ottlik (1966), р. 271.
17Mullins and Kiley (2002).
18Ottlik (1994), р. 308–309, англ. перев. Мартона Молдована.
19См., например, http://science.howstuffworks.com/life/inside-the-mind/humanbrain/einsteins-brain. htm или http://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein%27s_brain (https://ru.wikipedia.org/wiki/Мозг_Альберта_Эйнштейна).
20Более точную формулу стандартного отклонения и основополагающие концепции математической статистики см., например, в Schervish (1998) и Shao (2008).
21У любого распределения есть и другие характеристики помимо математического ожидания и стандартного отклонения. Например, стандартное отклонение ничего не говорит о наличии двойного «пика» у бимодального распределения. Но эти параметры не столь часто бывают по-настоящему важны, в то время как стандартное отклонение всегда имеет фундаментальное значение.
22Сейчас мировой рекорд по прыжкам в длину у мужчин, установленный в 1991 г. Майком Пауэллом, составляет 8 м 95 см.
Бесплатный фрагмент закончился. Хотите читать дальше?
Купите 3 книги одновременно и выберите четвёртую в подарок!

Чтобы воспользоваться акцией, добавьте нужные книги в корзину. Сделать это можно на странице каждой книги, либо в общем списке:

  1. Нажмите на многоточие
    рядом с книгой
  2. Выберите пункт
    «Добавить в корзину»